全等三角形性质教案.docx
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全等三角形性质教案
教案序号
总第课时(一课一个教案)
教案书写人
田吉成
教学课题
全等三角形
三维目标
知识目标
掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,并能进行简单的推理计算。
能力目标
培养学生动手能力、观察能力、归纳知识的能力。
情感目标
通过观察、实验交流等活动增强学生对数学的兴趣。
教学重、
难、疑点
教学重点:
1会看图,会找到三角形的对应边、对应角。
2、掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
教学难点:
找全等三角形的对应边、对应角。
教学方法
教法
引导探索研究发现法
学
法
主动探索研究发现法
教具学具
准备
纸、剪刀、直尺
教学过程设计
巧设情景
导入新课
见过程
过
程
与
方
法
教学环节与步骤
课
堂
要
素
提
示
充分体现“自主、合作,分层评价”(渗透探究的内涵)的教学特色
(力求课堂活而不乱,实而不闷)
“知识是能力的基础,能力是知识的升华,情感是力量的源泉”
通过各种途径,培养学生的搜索力、发现力、概括力、想象力、记忆力
思维力、操作力、应变力、创造力和自我调控力
教师活动(恰到好处的主导作用)
学生活动(体现充分的主体作用)
知
识
与
技
能
情
感
态
度
与
价
值
观
一、实验活动
找出图画中全等的图形:
(课件展示)
从而引出全等三角形的定义及性质
1.全等三角形的定义及有关概念和性质.
(1)定义:
全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形.
(2)反例:
举出不全等的三角形的例子,利用教师和学生手中的含30°角的三角板说明只满足形状相同的两个图形不是全等形,强调定义的条件.
教师提问:
请同学们观察周围有没有能完全重合的两个平面图形?
学生在生活中找图形。
(3)对应元素及性质:
教师结合手中的教具说明对应元素(顶点、边、角)的含义,并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系,发现对应边相等,对应角相等.教师启发学生根据“重合”来说明道理.
2.学习全等三角形的符号表示及读法和写法.
解释“≌”的含义和读法,并强调对应顶点写在对应位置上.
举例说明:
如图,∵△ABC≌DFE,(已知)
∴AB=DF,AC=DE,BC=FE,(全等三角形的对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E.(全等三角形的对应角相等)
教师小结:
在书写全等三角形时,如果将对应顶点写在对应位置上,那么,将两个三角形的顶点同时按1→2→3→1的顺序轮换,可写出所有对应边和对应角相等的式子,而不会找错,并节省观察图形的时间.
二、总结寻找全等三角形对应元素的方法,渗透全等变换的思想
(1)全等用符号_________表示.读作__________.
(2)三角形ABC全等于三角形DEF,用式子表示为______________
(3)已知△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′∠C=∠C′;
阅读课文
理解概念
举手回答
理解推理过程
关注“易错点”
口答(抢答)
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.则△ABC_______△A′B′C′.
(4)如右图△ABC≌△BCD,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则
∠C与____是对应角;AB与_____是对应边,BC与_____是对应边,
AC与____是对应边.
(5)判断题:
①全等三角形的对应边相等,对应角相等.()
②全等三角形的周长相等.()
③面积相等的三角形是全等三角形.()
④全等三角形的面积相等.()
三、性质应用举例
1.性质的基本应用.
例1已知:
△ABC≌△DFE,∠A=96°,∠B=25°,DF=10cm.求∠E的度数及AB的长.
例2如图,已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,△ABE≌△ACD,∠C=20°,AB=10,AD=4,G为AB延长线上一点.求∠EBG的度数和CE的长.
分析:
(1)图中可分解出四组基本图形:
有公共角的Rt△ACD和Rt△ABE;
△ABE≌△ACD,△ABE的外角∠EBG或∠ABE的邻补角∠EBG.
(2)利用全等三角形的对应角相等性质及外角或邻补角的知识,求得∠EBG等于160°.
(3)利用全等三角形对应边相等的性质及等量减等量差相等的关系可得:
CE=CA-AE=BA-AD=6.
小结:
1.学生回忆这节课:
在自己动手实际操作中,得到了全等三角形的哪些知识?
听教师讲解
学生小结
(1)全等三角形的定义、判断方法、性质.
(2)找全等三角形对应元素的方法.注意挖掘图形中隐含的条件,如公共元素、对顶角等,但公共顶点不一定是对应顶点.
2.在运用全等三角形的定义和性质时应注意什么问题?
教师应强调全等三角形及性质的规范书写格式.
3.了解全等变换的思想,更好地识别全等三角形及对应元素.
精选课堂练习
基础题有广度
(投影显示或书面练习)
提高题有梯度
(投影显示或书面练习)
(习题适应全体学生)
见过程
(习题适应不同层次的学生)
巧布课外
作业
巩固基础提升能力拓展思维
(巧字体现在试题能面向生活,面向生产,面向社会,面向“三考”,能紧跟时代步伐,将知识转化为能力,着力培养学生的应用能力、探究精神、创新精神及其能力)
(自编或从各种资料上精选试题,份量适中,不能给学生加重负担)
课本P137习题5.7:
1、2。
课
后
记
(本课或本章节教学反思)
第十二章全等三角形
12.1全等三角形
知识点一全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。
能够()的两个图形叫做全等形.两个图形是否全等只与这两个图形的形状、大小有关,与图形的位置无关。
判断两个图形全等的条件:
1、叠合在一起看是否能够完全重合
2、形状相同、大小相等二者缺一不可。
知识点二全等三角形
能够()两个三角形叫做全等三角形,“全等”用
表示,读作“全等于”
两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上,如
全等时,点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点,记作
知识点三全等变换
一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形(),这样的只改变图形的位置,不改变图形形状、大小变换就是()
知识点四对应顶点、对应边、对应角
把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角
寻找对应元素的规律(一般地说)
(1)有公共角的,公共角是对应角;
(2)有对顶角的,对顶角是对应角;
(3)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角。
(4)一对最大的角是对应角,一对最小的角是对应角。
对应边的方法
(1)有公共边的,公共边是对应边
(2)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
(3)一对最长的边是对应边,一对最短的边是对应边。
例题1、如图1,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的对应边和对应角.
图1图2图3
知识点五全等三角形的性质
全等三角形性质:
1、全等三角形的对应边相等;
2、全等三角形的对应角相等。
3、全等三角形对应边上的中线、高、对应角的平分线也重合也相等。
4、全等三角形的周长和面积也相等。
练习1.全等用符号__表示.读作__.
2.△ABC全等于三角形△DEF,用式子表示为__.
3.△ABC≌△DEF,∠A的对应角是∠D,∠B的对应角∠E,则∠C与__是对应角;AB与__是对应边,BC与__是对应边,AC与__是对应边.
4.判断题:
(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.()
(2)全等三角形的周长相等.()
(3)面积相等的三角形是全等三角形.()(4)全等三角形的面积相等.()
常见题型一运用三角形的性质求角度及线段的长。
1、如图2,
已知:
,BE=4,求
的大小,DC的长。
常见题型二利用全等变换解决几何问题
2、如图3,矩形ABCD沿AM折叠,使D点落在BC上的N点处,如果AD=7cm,DM=5cm,∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___.
3、如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移BE的距离,就得到此图形,其中AB=8,BE=5,DH=3,求阴影部分的面积。
(32.5)
4、如图,两个重叠的直角三角形,将其中一个直角三角形沿
BC方向平移得到△DEF,如果AB=8,BC=4,DH=3求S阴()
5、如图,长方形ABCD沿AE折叠,使点D恰好落在BC边上,
得点F,若∠FEC=40°,求∠EAF的度数
全等三角形的判定(SSS)
知识点一三角形全等的判定一----边边边
三边对应相等的两个三角形全等(简写成边边边,或SSS)
问题:
△ABC和△DEF全等是不是一定要满足AB=DE,BC=EF,AC=DF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F这六个条件呢?
若满足这六个条件中的一个、两个或三个条件,这两个三角形全等吗?
一个条件可分为:
一组边相等和一组角相等
两个条件可分为:
两个边相等、两个角相等、一组边一组角相等
探究一:
1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等)。
①只给一条边:
②只给一个角:
2.给出两个条件:
①一边一内角:
②两内角:
②两内角:
③两边:
问题3:
两个三角形若满足这六个条件中的三个条件能保证它们全等吗?
满足三个条件有几种情形呢?
3.给出三个条件
三个条件可分为:
三条边相等、三个角相等、两角一边相等、两边一角相等
例:
画△ABC,使AB=2,AC=3,BC=4
画法:
1画线段BC=4
2分别以A、B为圆心,以2和3为半径作弧,交于点C。
则△ABC即为所求的三角形
把你画的三角形与其同桌所画的三角形剪下来,进行比较,它们能否互相重合?
归纳:
有三边对应相等的两个三角形全等.
可以简写成“边边边”,或“SSS”
用数学语言表述:
在△ABC和△DEF中
AB=DE
BC=EF
CA=FD
∴△ABC≌△DEF(SSS)
例题1、如图,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?
试说明理由。
解:
△ABC≌△DCB,理由如下:
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌()
例2.如下图,△ABC是一个刚架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架。
求证:
△ABD≌△ACD
证明的书写步骤:
①准备条件:
证全等时把要用的条件要先证好;
②三角形全等书写步骤:
1写出在哪两个三角形中
2摆出三个条件用大括号括起来
3写出全等结论
注意事项:
有的题目可以直接从题中和图中找到全等的条件,二有些题目的已知条件隐含在题设和图形中,如公共边,公共角,对顶角等等,解题是认真读图,把握题意,找准所需条件。
中考考点说明:
概念和性质在中考中难度不大,试题多以填空选择出现,考察图形的平移,旋转,翻折对全等三角进行变换,主要靠性质。
12.2全等三角形的判定(SSS)
1、如图1,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是()
°°°°
2、如图2,线段AD与BC交于点O,且AC=BD,AD=BC,则下面的结论中不正确的是()
A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D
3、在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,则补充条件____________,可得到△ABC≌△A1B1C1.
4、如图3,AB=CD,BF=DE,E、F是AC上两点,且AE=CF.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性质证明AF=________,再用“SSS”证明______≌_______得到结论.
5、如图,AB=AC,BD=CD,求证:
∠1=∠2.
6、如图,已知AB=CD,AC=BD,求证:
∠A=∠D.
7、如图,AC与BD交于点O,AD=CB,E、F是BD上两点,且AE=CF,DE=BF.请推导下列结论:
⑴∠D=∠B;⑵AE∥CF.
8、已知如图,A、E、F、C四点共线,BF=DE,AB=CD.
⑴请你添加一个条件,使△DEC≌△BFA;
⑵在⑴的基础上,求证:
DE∥BF.
9、如下图,△ABC是一个风筝架,AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架。
求证:
AD⊥BC
12.2全等三角形的判定(SAS)
知识点二两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(可以简写成边角边或SAS)
知识点三有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形()全等。
(自己画图)
知识点四1、尺规作图:
用无刻度的直尺和圆规作图的方法称为尺规作图。
2、作一个角∠AOB等于已知∠C。
(保留作图痕迹)
3、作∠AOB的平分线,(保留痕迹)
1、如图1,AB∥CD,AB=CD,BE=DF,则图中有多少对全等三角形()
A.3B.4C
2、如图2,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件()
A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD
3、如图3,AD=BC,要得到△ABD和△CDB全等,可以添加的条件是()
∥∥BCC.∠A=∠CD.∠ABC=∠CDA
4、如图4,AB与CD交于点O,OA=OC,OD=OB,∠AOD=________,根据_________可得到△AOD≌△COB,从而可以得到AD=_________.
5、如图5,已知△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,请补充完整过程说明△ABD≌△ACD的理由.
∵AD平分∠BAC,∴∠________=∠_________(角平分线的定义).
在△ABD和△ACD中,
∵____________________________,∴△ABD≌△ACD()
6、如图6,已知AB=AD,AC=AE,∠1=∠2,求证∠ADE=∠B.
7、如图,已知AB=AD,若AC平分∠BAD,问AC是否平分∠BCD?
为什么?
8、如图,在△ABC和△DEF中,B、E、F、C,在同一直线上,下面有4个条件,请你在其中选3个作为题设,余下的一个作为结论,写一个真命题,并加以证明.
①AB=DE;②AC=DF;③∠ABC=∠DEF;④BE=CF.
9、如图⑴,AB⊥BD,DE⊥BD,点C是BD上一点,且BC=DE,CD=AB.
⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由.
⑵如图⑵,若把△CDE沿直线BD向左平移,使△CDE的顶点C与B重合,此时第⑴问中AC与BE的位置关系还成立吗?
(注意字母的变化)
全等三角形(三)AAS和ASA
【知识要点】
1.角边角定理(ASA):
有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
2.角角边定理(AAS):
有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
【典型例题】
例1.如图,AB∥CD,AE=CF,求证:
AB=CD
例2.如图,已知:
AD=AE,
,求证:
BD=CE.
例3.如图,已知:
,
求证:
OC=OD.
例4.如图已知:
AB=CD,AD=BC,O是BD中点,
过O点的直线分别交DA和BC的延长线于E,F.求证:
AE=CF.
例5.如图,已知
,AB=AD.求证:
BC=DE.
例6.如图,已知四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC,点F在AD上,
点E在BC上,AF=CE,EF的对角线BD交于O,请问O点有何特征?
【经典练习】
1.△ABC和△
中,
,
则△ABC与△
.
2.如图,点C,F在BE上,
请补充一个条件,使△ABC≌DFE,补充的条件是.
3.在△ABC和△
中,下列条件能判断△ABC和△
全等的个数有()
①
,
②
,
,
③
,
④
,
,
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,已知MB=ND,
,下列条件不能判定是△ABM≌△CDN的是()
A.
B.AB=CD
C.AM=CN
D.AM∥CN
5.如图2所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,给出下列结论:
①∠1=∠2②BE=CF③△ACN≌△ABM④CD=DN
其中正确的结论是__________________。
(注:
将你认为正确的结论填上)
图2图3图4图5
6.如图3所示,在△ABC和△DCB中,AB=DC,要使△ABO≌DCO,请你补充条件________________(只填写一个你认为合适的条件).
7.如图4,已知∠A=∠C,AF=CE,DE∥BF,求证:
△ABF≌△CDE.
8.如图5,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE交CD于F,
且AD=DF,求证:
AC=BF。
9.如图6,AB,CD相交于点O,且AO=BO,试添加一个条件,
使△AOC≌△BOD,并说明添加的条件是正确的。
(不少于两种方法)
10.如图,已知:
BE=CD,∠B=∠C,求证:
∠1=∠2。
11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90º,多点A的任一直线AN,BD⊥AN于D,
CE⊥AN于E,你能说说DE=BD-CE的理由吗?
直角三角形全等HL
【知识点】
斜边直角边公理:
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)(适用于直角三角形)
【典型例题】
例1如图,B、E、F、C在同一直线上,AE⊥BC,DF⊥BC,AB=DC,BE=CF,试判断AB与CD的位置关系.
例2已知如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=DC,求证:
AD∥BC.
例3公路上A、B两站(视为直线上的两点)相距26km,C、D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=16km,BC=10km,现要在公路AB上建一个土特产收购站E,使CD两村庄到E站的距离相等,那么E站应建在距A站多远才合理?
例4、如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,
具有BF=AC,FD=CD,试探究BE与AC的位置关系.
例5如图,A、E、F、B四点共线,AC⊥CE、BD⊥DF、
AE=BF、AC=BD,求证:
△ACF≌△BDE.
【经典练习】
1.在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠ACB=∠DFE=
,AB=DE,AC=DF,那么Rt△ABC与Rt△DEF(填全等或不全等)
2.如图,点C在∠DAB的内部,CD⊥AD于D,CB⊥AB于B,CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是()
A.SSSB.ASAC.SASD.HL
3.如图,CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为E、F,AC∥DB,且AC=BD,那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是().
A.SSSB.AASC.SASD.HL
4.下列说法正确的个数有().
①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等;
②有两边对应相等的两个直角三角形全等;
③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等;
④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.过等腰△ABC的顶点A作底面的垂线,就得到两个全等三角形,其理由是.
6.如图,△ABC中,∠C=
,AM平分∠CAB,CM=20cm,那么M到AB的距离是()cm.
7.在△ABC和△
中,如果AB=
,∠B=∠
,AC=
,那么这两个三角形().
A.全等B.不一定全等C.不全等D.面积相等,但不全等
8.如图,∠B=∠D=
,要证明△ABC与△ADC全等,还需要补充的条件是.
9.如图,在△ABC中,∠ACB=
,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E,
求证:
DE=AD+BE.
10.如图,已知AC⊥BC,AD⊥BD,AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB,
垂足分别为E、F,那么,CE=DF吗?
谈谈你的理由!
11.如图,已知AB=AC,AB⊥BD,AC⊥CD,AD,BC相交于点E,
求证:
(1)CE=BE;
(2)CB⊥AD.
提高题型:
1.如图,△ABC中,D是BC上一点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F分别为垂足,
且AE=AF,试说明:
DE=DF,AD平分∠BAC.
2、如图,在ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别是E、F,且DE=DF,试说明AB=AC.
3.如图,AB=CD,DF⊥AC于F,BE⊥AC于E,DF=BE,求证:
AF=CE.
4、如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,
点N在BC上,MN⊥AB。
求证:
AN平分∠BAC。
角平分线的性质及判定及典型例题
一、角平分线的作法(尺规作图)
①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA、OB于C、D两点;
②分别以C、D为圆心,大于CD长为半径画弧,两弧交于点P;
③过点P作射线OP,射线OP即为所求.
2.角平分线的性质及判定
(1)角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
①推导
已知:
OC平分∠MON,P是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:
PA=PB.
证明:
∵PA⊥OM,PB⊥ON
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OC平分∠MON
∴∠1=∠2
在△PAO和△PBO中,
∴△PAO≌△PBO
∴PA=PB
②几何表达:
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
如图所示,∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,
∴PA=PB.
(2)角平分线的判定:
角的内部,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
①推导
已知:
点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.
求证:
点P在∠MON的平分线上.
证明:
连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)
∴∠1=∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上.
②几何表达:
(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)
如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB∴∠1=∠2(OP平分∠MON)
3.角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路;
②实际生活中的应用.
例:
一个工厂,在公路西侧,到公路的距离与到河岸的距离相等,并且到河上公路桥
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- 全等 三角形 性质 教案