拉普拉斯定理就是独立同分布中心极.docx

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拉普拉斯定理就是独立同分布中心极

第1卷..第2期....贵阳学院学报（自然科学版）..（季刊）..Vo.l1..No.2

JOURNALOFGUIYANGCOLLEGE

2006年6月NaturalSciences（Quarterly）Jun.2006

中心极限定理在实际中的使用

*

戴..亮

（贵阳学院数学系,贵州贵阳..550008）

摘..要:

中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量,它们

的总和渐近地服从正态分布。

对概率论中的三个重要中心极限定理进行了论述,并总结了它

们各自在实际中的使用。

关键词:

中心极限定理;正态分布;概率

中图分类号:

O211..4....文献标识码:

A....文章编号:

1673-6125（2006）02-0001-04

ApplyCentralLimitTheoremtoPractice

DAILiang

（DepartmentofMathematics,GuiyangCollege,GuiyangGuizhou550008,China）

Abstract:

Centrallimittheoremstatessomerandomvariabledonotobeynormaldistribution,buttheir

summationabidebynormaldistributionapproximately,Thispaperpresentsthreecentrallimittheorems

ofprobabilitytheoryapplytopractice.

Keywords:

centrallimittheorem;normaldistribution;probability

....在概率论中,随机现象的统计规律性只

有在对大量随机现象的考察中才能体现出

来,往往采用极限的方法去研究这些大量的

随机现象。

而在客观实际中有许多随机变

量,它们是由大量的相互独立的随机因素的

综合影响而形成的,而其中每一个因素在总

的影响中所起的作用都是很微小的,均匀

的,没有一项因素起特别突出的影响,这种

随机变量往往近似地服从正态分布。

中心

极限定理就是用来描述随机变量和的概率

分布的极限的一系列定理,就是阐明有些即

使原来并不服从正态分布的一些独立的随

机变量,它们的总和的分布近似地服从正态

分布。

..1..

*收稿日期:

2006-02-25

作者简介:

戴..亮（1974-）,女,贵州贵阳人,贵阳学院数学系讲师。

1..独立同分布的中心极限定理

..lim

n....

P

..n

i=1

Xi-n..

n..

..x

=..x

-..

1

2..

e

-

t2

2dt=..（x）

该定理表明:

当n充分大时,Yn=

Sn-n..

n..

的分布近似服从N（0,1）,Sn=

..n

i=1

Xi。

又由于Sn=n..Yn+n..,即Sn为Yn

的线性函数,故Sn的分布也近似于服从正

态分布,且Sn的分布近似于N（n..,n..2

）。

于

是我们知道,相互独立同分布且存在期望和

方差的随机变量的和也近似服从正态分布。

故而独立同分布的中心极限定理给我们提

供了近似计算独立同分布的随机变量之和

的概率的方法。

Sn近似服从正态分布N（n..,

n..2

）,当n较大时,可先将Sn标准化,然后再

查标准正态分布表得之。

这个定理的另一个形式是均值为..,方

差为..2的独立同分布序列X1,X2,..,Xn,其

算术平均值X=

1

n..n

i=1

Xi在n充分大时,渐

近服从均值为..,方差为..2

n

的正态分布,这

一结果是数理统计中大样本统计推断的基

础。

独立同分布的中心极限定理主要适用

以下两个方面:

使用一:

求随机变量之和Sn落在某区

间的概率。

对这类情形,首先构造一列独立同分布

且期望和方差已知的随机变量,其次将所求

事件的概率转化为此列随机变量之和Sn在

某一区间取值的概率,最后再用正态分布的

概率公式计算。

例1..设各零件的重量都是随机变量,

它们相互独立,且服从相同的分布,其数学

期望为0.5kg,均方差为0.1kg,问5000只零

件的总重量超过2510kg的概率是多少?

解:

设Xi（i=1,2,..,5000）表示第i个

零件的重量,X1,X2,..,X5000独立同分布,且

E（Xi）=0.5,D（Xi）=0.12

由独立同分布

的中心极限定理知

..

..5

000

i=1

Xi-5000..0.5

5000..0.12

=

..5

000

i=1

Xi-2500

50

~N（0,1）

..P..5000

i=1

Xi>2510

=P

..5

000

i=1

Xi-2500

50

..2510-2500

50

..1-..

10

50

=1-..

（2）

=1-..（1.414）=1-0.9215

=0.0785

使用二:

已知随机变量之和Sn取值的

概率,求随机变量的个数n。

对这类问题,其解法的顺序同上述情形

刚好相反。

首先是利用独立同分布极限定理

将所给概率转换成一个和n有关的标准正

态分布的函数值..（f（n））,通过查表求出

f（n）,再解出f（n）中所含的未知数n。

例2..一生产线生产的产品成箱包装,

每箱的重量是随机的,设每箱平均重50千

克,标准差为5千克。

若用最大载重量为5吨

的汽车承运,每辆车最多可以装多少箱,才

能保证不超载的概率大于0.977（..

（2）=

0.977）?

解:

设Xi（i=1,2,..,n）是装运第i箱

..2..

的重量,n是所求的箱数。

由条件可以把X1,

X2,..,Xn视为独立同分布的随机变量,而n

箱的总重量Tn=X1+X2+..+Xn是独立

同分布的随机变量之和。

由于E（Xi）=50,D（Xi）=5,E（Tn）=

50n,D（Tn）=5n,由独立同分布的中心极

限定理,Tn~N（50n,25n）,箱数n取决于

..P（Tn..5000）

=P

Tn-50n

5n

..5000-50n

5n

....1000-10n

n

>0.977=..

（2）,

故1000-10n

n

>2,n<98.0199,即最多可

以装98箱。

2..棣莫弗......拉普拉斯定理

lim

n....

P

Xn-np

np（1-p）

..x=..（x）

....棣莫弗......拉普拉斯定理是独立同分

布中心极限定理的一个特例。

如果将服从二

项分布的随机变量Xn看成n个相互独立的

服从（0,1）分布的随机变量之和时,棣莫弗

......拉普拉斯定理就是独立同分布中心极

限定理。

该定理主要适用于以下几个方面:

使用一:

近似计算服从二项分布的随机

变量在某范围内取值的概率。

我们知道,正态分布可近似二项分布,

而泊松分布可近似二项分布,当二项分布

b（n,p）n较大而p较小时,可用泊松分布近

似计算其概率;如果p接近1,由于q=1-p

很小,这时也可用泊松分布近似计算。

但当

n较大,且p不太接近0或1时,再用泊松分

布近似估算二项分布的概率就不够精确了,

这时应选用棣莫弗......拉普拉斯定理来计

算。

例3..某药厂断言,该厂生产的某种药

品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为

0.8,医院检验员任意抽查100个服用此药

品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受

这一断言,否则就拒绝。

若实际上此药品对

这种疾病的治愈率是0.8,则接受这一断言

的概率是多少?

解:

把每一位病人服用此药的疗效当作

一次试验,则100个人服用此药的效果视为

100重伯努利试验。

设事件A={病人服用

此药后治愈},X表示其中治愈的病人人数,

则X~b（100,0.8）。

已知p=P（A）=0.8,X~b（100,0.8）,

且np=80,np（1-p）=4,由于0.1

=0.8<0.9,且npq=np（1-p）=4

>3,故用棣莫弗......拉普拉斯定理计算所

求概率较为精确。

由X-80

4

~N（0,1）,得

..P（75..X..100）

=P

75-80

4

..X-80

4

..100-80

4

=P-1.25<

X-80

4

<5

=..（5）-..（-1.25）=0.8944

故接受这一断言的概率为0.8944。

使用二:

已知服从二项分布的随机变量

在某范围内取值的概率,估计该范围（或该

范围的最大值）。

例4..某一复杂系统由n个相互独立起

作用的部件所组成,每个部件的可靠性为

0.90,且必须至少有80%的部件工作才能

使整个系统工作,问n至少为多少才能使系

统的可靠性不低于0.95。

[1]

解:

该问题即求P（0.8n..X..n）,由于

np=0.9n,np（1-p）=0.3n,由棣莫弗

..3..

......拉普拉斯定理知

..P（0.8n..X..n）

=P-

n

3

<

X-0.9n

0.3n

<

n

3

=P

|X-0.9n|

0.3n

<

n

3

=2..n

3

-1..0.95

即..n

3

..0.975,

n

3

..1.96,n..

5.88,故n至少为35。

使用三:

和用频率估计概率有关的二项

分布的近似计算。

例5..投掷一枚骰子,为了至少有95%

的把握,使点2向上的频率和概率之差落在

0.01的范围之内,需要掷多少次?

解:

p=

1

6

q=

5

6

..=0.01,Xn~b（n,

p）,故P

Xn

n

-

1

6

<0.01=

P

Xn-np

npq

<..n

pq

..2....n

pq

-1

..0.95,即..0.01

n

pq

..0.975,查表得

..（1.96）=0.975,故0.01

n

pq

..1.96,n

..5336,即需要投掷5336次。

该题也可用切比雪夫不等式估计,其应

用条件是随机变量具有期望和方差。

对任何

具有方差的随机变量X,它可以估计事件

{|X-E（X）|<..}的概率,但其结果比较

粗糙。

3..李雅普诺夫定理

lim

n....

P..n

i=1

Xi-..n

i=1

..i

Bn

..x

=..（x）

....李雅普诺夫定理说明了不论各个随机

变量Xi（i=1,2,..,n）服从什么样的分布,

只要满足条件,则当n很大时,它们的和

..n

i=1

Xi渐近服从正态分布。

上述三个中心极限定理都是研究可列

个相互独立的随机变量和的分布函数。

在

一定条件下,当n充分大时,转化为正态分

布,它们的区别仅仅是各自的条件有所差

异。

除中心极限定理外,切比雪夫大数定律

也可用于近似计算。

设E（Xi）=..,D（Xi）=

..2

>0,则由切比雪夫大数定律可知,对任

意给定的..>0,有

lim

n....

P

1

n..n

i=1

（Xi-..）<..=1

而由独立同分布的中心极限定理有

..P

1

n..n

i=1

（Xi-..）....

=P

..n

i=1

（Xi-..）

..n

..n..

..

....n..

..

-..-

n..

..

=2..n..

..

-1

由此可见,在所设条件下,中心极限定

理比大数定理在上述近似计算中更为精确。

中心极限定理以严格的数学形式阐明

了在大样本条件下,不论总体的分布如何,

样本均值总是近似地服从正态分布。

正是

这个结论使得正态分布在数理统计和误差

分析中占有特殊的地位,是正态分布得以广

泛使用的理论基础。

参考文献:

[1]盛骤.概率论和数理统计[M].北京:

高等教育

出版社,2001:

147-155.

..4..