荆州市初中数学竞赛.docx
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荆州市初中数学竞赛
荆州市2004年初中数学竞赛
2005年全国初中数学竞赛选拔赛试题
考生注意:
题号后标有“初二”者,为初二年级考生试题;题号后标有“初三”者为初三年级考生试题;没有特别标志的试题为公共试题,两个年级考生都做。
初二年级考生不能做初三年级试题,初三年级考生不能做初二年级试题。
满分均为120分。
一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1.若n满足(n-2004)2+(2005-n)2=1,则(2005-n)(n-2004)等于()
A.-1B.0C.
D.1
2.如图1,已知∠CGE=120°,则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=()
A.150°B.210°
C.240°D.270°
3.设x、y、z均为正实数,且满足
,则x、y、z三个数的大小关
系是()
A.z 4.(初三)两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点(如图2);A点 和B点之间的距离是100米,陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60°角的直线 上滑行,在陈洁离开A点的同时,李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点, 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是() A.18秒B.20秒 C.22秒D. 秒 5.(初三)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和点 (-1,0)两点,则S=a+b+c的值的变化范围是() A.0 6.(初三)方程组 在实数范围内解的组数为() A.多于5组B.5组C.3组D.1组 7.(初二)已知a、b都是正整数,那么a、b和8为边组成的三角形有() A.3个B.4个C.5个D.无数个 8.(初二)将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形(顺序不 一定按此).则此五边形的面积为() A.680B.720C.745D.760 9.(初二)水果市场有甲、乙、丙三种水果,如果买甲2千克,乙1千克,丙4千克,共付 钱6元;如果买甲4千克,乙2千克,丙2千克,共付钱4元;今要买甲4千克,乙2 千克,丙5千克,则共应付钱() A.8元B.6元C.5元D.4元 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 10.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则p+q=. 11.如图3,G是边长为4的正方表ABCD 的边BC上一点,矩形DEFG的边EF 过点A,GD=5,则FG的长为. 12.若干名游客要乘坐汽车,要求每辆汽车坐的人数相等,如果每辆汽车乘坐30人,那么有一人未能上车;如果少一辆汽车,那么,所有游客正好能平均分到各辆汽车上,已知每辆汽车最多容纳40人,则有游客人. 13.(初三)已知△ABC是非等腰直角三角形,∠BAC=90°,在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE,连结AD、AE;已知∠BAD=45°,那么tan∠CAE=. 14.(初三)如图4,已知圆内接等边三角 形ABC,在劣弧BC上有一点P,若 AP与BC交于点D,且PB=21, PC=28,则PD=. 15.(初三)四条直线y=x+10,y=-x+10,y=x-10,y=-x-10,在平面直角坐标系中围成的正方形内(包含四边)整点的个数有.(注: 若x,y为整数,则(x、y)为整点) 16.(初二)某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的盈利是元. 17.(初二)方程|x-2y-3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是. 18.(初二)已知点A(1,1)在平面直角坐标系中,在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有个. 三、(本大题满分15分) 19.(初三)已知k是整数,且方程x2+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根,求k的值. 20.(初二)如图5所示,将1到9这9个自然数填入3×3的方格中,使每一行、每一列,每条对角线的和都相等,试确定正中间方格x的值并说明理由. 四、(本大题满分15分) 21.某出版公司为一本畅销书价如下: 这里的n表示订购书的数量,C(n)是订购书所付的钱款数(单位: 元) (1)有多少个n,会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少? (2)若一本书的成本是5元,现有两个人来买书,每人至少买一本,两人共买60本,则出版公司最少能赚多少钱? 最多能赚多少钱? 五、(本大题满分15分) 22.(初三)如图6: 已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线,且BD垂直平分半径OC;在AC上取一点P使CP=OC,连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项. 23.(初二)如图7: 已知在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD;连结AC,过A点作AE⊥AC,且使AE=AC;连结BE,过A点作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证BF=EF. 六、(本大题满分15分) 24.(初三)如图8,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S,求S的是大值. 25.(初二),如图9,某古城护城河在CC′处起直角转弯,河宽均为5米,从A处到达B处,须经两座桥: DD′,EE′(桥宽不计).设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A,B在东西方向上相距65米,南北方向上相距85米.恰当地架桥可使 ADD′E′ED的路程最短.这个最短路程是多少米? 参考答案及评分标准 说明: 评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档;解答题请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数. 一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 1.若n满足(n-2004)2+(2005-n)2=1,则(2005-n)(n-2004)等于(B) A.-1B.0C. D.1 解答: 设(2005-n)=a,(n-2004)=ba+b=1a2+b=1 故选B. 2.如图1,已知∠CGE=120°,则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=(C) A.150°B.210° C.240°D.270° 解答: 连结AG,则∠AGC=∠B+∠BAG,∠AGE=∠F+∠FAG, ∴∠B+∠BAF+∠F=∠EGC=120° 则理∠C+∠D+∠E=∠BGF=120° 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°故选C 3.设x、y、z均为正实数,且满足 ,则x、y、z三个数的大小关 系是(A) A.z 解答: ∵x、y、z为正实数,则有 , 从而 即得z 4.(初三)两名滑冰运动员陈洁和李莉分别在平坦的冰面上的A点和B点(如图2);A点 和B点之间的距离是100米,陈洁离开A以每秒8米的速度沿着与AB成60°角的直线 上滑行,在陈洁离开A点的同时,李莉以每秒7米的速度也沿着一条直线滑行离开B点, 这条直线能使这两名滑冰者以所给的速度 最早相遇.则最早相遇的时间是(B) A.18秒B.20秒 C.22秒D. 秒 解答: 如图: 过C作CD⊥AB于点D 设满足题设的时间为t秒,则有AC=8t,BC=7t,又∠A=60°. 由勾股定理知 (舍)故选B. 5.(初三)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和点 (-1,0)两点,则S=a+b+c的值的变化范围是(B) A.0 解答: 分别令x=0,y=1和x=-1,y=0.求得c=l,a=b-1∴S=a+b+c=2b.由题设知 ,且a<0,可以推知2b>0又由b=a+1及a<0可以推知2b<2. ∴0 6.(初三)方程组 在实数范围内解的组数为(A) A.多于5组B.5组C.3组D.1组 解答: 设|x|=a,|y|=b,,则原方程组可化为 两式相减并化为(a-b)(a+b-6)=0 ∴a-b=0或a+b-6=0由此可得 前者解得(a,b)=(0,0),(4,4) 后者解得,(a,b)=(3+ ,3- )或(3- ,3+ ) 因此(a,b)的第一组解推得(x,y)=(0,0);其它三组解分别可推得的4组解,所以原方程组有13组不同的实解.故选A. 7.(初二)已知a、b都是正整数,那么a、b和8为边组成的三角形有(D) A.3个B.4个C.5个D.无数个 解答: 对于a=b>4的任何正整数,均可与8一起构成三角形的三边,故选D. 8.(初二)将一长方形切去一角后得一边长分别是13、19、20、25和31的五边形(顺序不 一定按此).则此五边形的面积为(C) A.680B.720C.745D.760 解答: 如图: 注意到切去的三角形的三边分别为5、12、13. ∴S五边形=S长方形-S三角形=31×25- ×5×12=745故选C. 9.(初二)水果市场有甲、乙、丙三种水果,如果买甲2千克,乙1千克,丙4千克,共付 钱6元;如果买甲4千克,乙2千克,丙2千克,共付钱4元;今要买甲4千克,乙2 千克,丙5千克,则共应付钱(A) A.8元B.6元C.5元D.4元 解答: 设甲、乙、丙三种水果每千克价分别为x、y、z元,由题设知 (1)×2+ (2)得8x+4y+10z=16即4x+2y+5z=8,故选A. 二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分) 10.已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则p+q=15. 解答: 因为5p2+3q为奇数,故p,q必为一奇一偶,而 p,q均为质数,故p,q中有一个为2.若q为2,则 5p2= ,不合题意,舍去;若p为2,则q=13即p+q=15. 11.如图3,G是边长为4的正方表ABCD 的边BC上一点,矩形DEFG的边EF 过点A,GD=5,则FG的长为 . 解答: 连结AG∵S△ADG= S正方形ABCD= S长方形DEFG=16 ∴FG= ,注: 利用△AED∽△GDC亦可. 12.若干名游客要乘坐汽车,要求每辆汽车坐的人数相等,如果每辆汽车乘坐30人,那么有一人未能上车;如果少一辆汽车,那么,所有游客正好能平均分到各辆汽车上,已知每辆汽车最多容纳40人,则有游客961人. 解答: 设有x辆汽车,少一辆汽车后每辆车坐y人,有30x+1=y(x-1) 从而 所以x=2(不合题意);x=32. 因此游客数为30×32+1=961人. 13.(初三)已知△ABC是非等腰直角三角形,∠BAC=90°,在BC所在直线上取两点D、E使DB=BC=CE,连结AD、AE; 已知∠BAD=45°,那么tan∠CAE= . 解答: 分别过B、C两点作BM//AC,CN//AB 分别交AD、AC于M、N;容易知道AC=2BM, AB=2CN又tan∠BAD=BM,tan∠ 从而tan∠BAD·tan∠CAE= 又tan∠BAD=1 即tan∠CAE= . 14.(初三)如图4,已知圆内接等边三角 形ABC,在劣弧BC上有一点P,若 AP与BC交于点D,且PB=21, PC=28,则PD=12. 解答: 由△ABD∽△CPD知 又由△ACD∽△BPD知 二式相除得 (注: 此处用角平分线定理亦可直接得出) ∵△ABD∽△CPD知 15.(初三)四条直线y=x+10,y=-x+10,y=x-10,y=-x-10,在平面直角坐标系中围成的正方形内(包含四边)整点的个数有221.(注: 若x,y为整数,则(x、y)为整点) 解答: 如图: 分4个三角形考虑: △AOB (仅不含BO边),△BOC(仅不含CO边) △COD(仅不含DO边)△DOA(仅不含 AO边)每个三角形内所含整点的个数均为: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,再考虑原点,故共有55×4+1=221. 16.(初二)某商店在某一时间以每件90元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的盈利是-12元. 解答: 设盈利25%的成本价为x元,亏损25%的成本价为y元,则有90-x=25%x, 90-y=-25%y解得x=72,y=120.从而利润为: (x+y)-180=-12元 17.(初二)方程|x-2y-3|+|x+y+1|=1的整数解的个数是1. 解答: 由题设知 从而得到—F面四个方程组: ① ② ③ ④ 解以上方程组,得惟一整数解 . 18.(初二)已知点A(1,1)在平面直角坐标系中,在坐标轴上确定点P使△AOP为等腰三角形.则符合条件的点P共有8个. 解答: ①当P在x轴上若OA为腰时,由OA=OP得P1( ,0),P2(- ,0);由OA=AP得P3(2,0);若OA为底时,得P4(1,0)有4个点.②当P在y轴上对称地也有4个点,所以满足题设的点共有8个. 三、(本大题满分15分) 19.(初三)已知k是整数,且方程x2+kx-k+1=0有两个不相等的正整数根,求k的值. 解: 设方程两个不相等的正实数根为a,b(不妨设a 于是a+b=-k,ab=-k+1.消去k有ab-a-b=1,即(a-1)(b-1)=2……(10分) 只有a-1=1,b-1=2.即a=2,b=3.进而k=-5.……………………(15分) 20.(初二)如图5所示,将1到9这9个自然数填入3×3的方格中,使每一行、每一列,每条对角线的和都相等,试确定正中间方格x的值并说明理由. 解: x=5.………………(5分) 其理由是: 按如图所示填字母a,b,c,d,e,f,g,h, 有: a+b+c+d+x+e+f+g+h=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45…8分 且有 四式相加得(a+b+c+d+x+e+f+g+h)+3x=60 从而3x=15即x=5.………………(15分) 四、(本大题满分15分) 21.某出版公司为一本畅销书价如下: 这里的n表示订购书的数量,C(n)是订购书所付的钱款数(单位: 元) (1)有多少个n,会出现买多于n本书比恰好买n本书所花的钱少? (2)若一本书的成本是5元,现有两个人来买书,每人至少买一本,两人共买60本,则出版公司最少能赚多少钱? 最多能赚多少钱? 解: (1)由C(25)=275,C(24)=288,C(23)=276,C(22)=264;有C(25)<(23) 由C(49)=490,C(48)=528,C(47)=517,C(46)=506,C(45)=495,C(44)=484,有C(49) 故共有6个n(即23,24,45,46,47,48)出现买多于n本书比恰买n本所花的钱少.……(5分) (2)设两人共购买a本和b本共付钱S元,不妨设a≤b,由a+b=60知道1≤a≤30 (i)当1≤a≤11时,49≤b≤59,S=12a+10b=10(a+b)+2a=600+2a602≤S≤622 (ii)当12≤a≤24时,36≤b≤48S=12a+11b=660+a672≤S≤684 (iii)当25≤a≤30时,30≤b≤48S=11a+11b=660 故出版公司最少赚602-60×5=302元,最多赚684-60×5=384元……(15分) 五、(本大题满分15分) 22.(初三)如图6: 已知AC、BD是圆O的内接四边形ABCD的对角线,且BD垂直平分半径OC;在AC上取一点P使CP=OC,连结BP并延长交AD于点E交圆O于点F.求证PF是EF和BF的比例中项. 证明: 连结OB、AF. ∵BD垂直平分半径OC,∴BO=BC 又OB=OC=CP∴CP=CB从而∠PBC=∠BPC; 又∵∠PBD=∠PBC-∠CBD ∠ABP=∠BPC-∠BAC 而已知OC⊥BD得到点C是弧BD中点 ∴∠BAC=∠DAC=∠CBD 因此∠PBD=∠ABP即P为△ABD的内心.……(10分) 这样一来,∠EAF=∠ABF,∠F=∠F, ∴△AEF∽△BAF即得AF2=EF·BF 又因为∠FAP=∠FAE+∠CAD ∠FPA=∠ABF+∠BAC 由内心可知,∠CAD=∠BAC,∠FAE=∠ABF 所以∠FAP=∠FPA即PF=AF…………………………(15分) 因此PF2=EF·BF结论成立. 23.(初二)如图7: 已知在四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD;连结AC,过A点作AE⊥AC,且使AE=AC;连结BE,过A点作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证BF=EF. 证明: 过B点作BM⊥AH,过E点作EN⊥AH, 交AH或其延长线分别于点M、N ∵AB⊥AD∴∠BAM+∠ABM=90° 又∵AH⊥CD∴∠DAH+∠ADH=90° ∴∠BAM=∠ADH 而∠AMB=∠AHD=90°,AB=AD ∴Rt△ABN≌Rt△DAH ∴BM=AH…………………………(5分) 同理可证明Rt△EAN≌Rt△ACH得到EN=AH………………(10分) 在Rt△BMF和Rt△ENF中,有EN=AH,∠BFM=∠EFN,∠BMF=∠ENF=90° ∴Rt△BMF≌Rt△ENF 因此BF=EF……………………………………………………(15分) 六、(本大题满分15分) 24.(初三)如图8,已知矩形ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P在CD上移动,AP与DM交于点E,PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S,求S的是大值. 解: 连结PM,设DP=x,则PC=4-x,∵AM//OP 同理可求 ……………………(8分) 因此 ………………(13分) 当x=2时,上式等号成立.………………………(15分) 25.(初二),如图9,某古城护城河在CC′处起直角转弯,河宽均为5米,从A处到达B处,须经两座桥: DD′,EE′(桥宽不计).设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A,B在东西方向上相距65米,南北方向上相距85米.恰当地架桥可使 ADD′E′EB的路程最短.这个最短路程是多少米? 解: 如图所示,作AA′⊥CD,AA′⊥DD′; BB′⊥CE,BB′⊥EE′,则折线 ADD′E′EB的长度等于折线AA′D′E′B′B的长度, 等于折线A′D′E′B′以线段A′B′最短.…………………………(10分) 故题目所示最短路程S=A′B′+10.而A′,B′在东西方向上相距65-5=60米,南北方向上相距85-5=80米,从而由勾股定理知A′B′= =100米,故S=110米.………………(15分)
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