数学超纲内容.docx
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数学超纲内容
在圆锥曲线里:
设椭圆
上有一定点
有一动点
,那么有
变换得到
时
就可以看成
这一点切线的斜率,写成导数的形式就是
函数不等式:
拉格朗日中值定理,洛必达法则(在下面),柯西不等式的变式,赫尔德不等式,闵可夫斯基不等式,(安利一本贝肯鲍尔的《不等式入门》,小册子)第二数学归纳法(在下面)
解析几何:
极坐标系,参数方程,隐函数求导(在上面)(事实上背过切线公式和切点弦公式就好),各种二级结论做过的最好就背过。
立体几何:
向量叉乘,暴力破解一个爽
数列:
各种二三级递推、递归,以及特征很方程
选填最后一两题:
高斯函数被考滥了,三角形四心的向量性质(在下面),一些典型的涂色问题,还有就是一些几何性质,阿波罗尼斯圆(在下面)什么的,毕业久了记不得了
“四心”
1若P是△ABC的重心PA+PB+PC=0
2若P是△ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积)
3若P是△ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边)
4若P是△ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|
(AP就表示AP向量|AP|就是它的模)
5AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞)则直线AP经过△ABC内心
6AP=λ(AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞)经过垂心
7AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞)
或AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,∠C的外角平分线的交点
洛必达法则
0/0型不定式极限
若函数
和
满足下列条件:
⑴
,
;
⑵在点
的某去心邻域内两者都可导,且
;
⑶
(
可为实数,也可为±∞),
则
∞/∞型不定式极限
若函数
和
满足下列条件:
⑴
;
⑵在点
的某去心邻域内两者都可导,且
;
⑶
(
可为实数,也可为
),
则
其他类型不定式极限
不定式极限还有
,
,
,
,
等类型。
经过简单变换,它们一般均可化为
型或
型的极限。
(1)
型
可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上,化为
型或
型。
例:
求
解:
原式=
(2)
型
把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数,再通分使其化为
型。
例:
求
解:
原式=
(3)
型
可利用对数性质
将函数化简成以e为底数的指数函数,对指数进行求极限。
针对不同的问题,还可以利用等价无穷小
作替换,化简算式。
例:
求
解:
原式=
=
=
=
=
=
上式求解过程中,利用了等价无穷小的替换,即把
替换成了
。
(4)
型
同上面的化简方法
例:
求
解:
原式=
(5)
型
同上面的化简方法
例:
求
解:
原式=
注意
不能在数列形式下直接用洛必达法则,因为对于离散变量
是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹-切萨罗定理(Stolz-Cesàrotheorem)作为替代。
作为竞赛狗,我负责任地说些非纯竞赛,自招难度的东西……哪些能用,请知友根据实际情况自己定夺~
1.牢记,牢记!
三角恒等式和三角不等式,很有用,把证明记住,一证引理,一步到位妥妥的~
2.阿贝尔变换。
还有其他恒等变换,暴算不等式的时候很有用。
3.几何法做解析,找准几何意义,超级简单~比如用个角平分线定理,感觉可神奇了~得看题怎么样,需要运气和智商,毕竟有的题确实没有几何意义
4.复数做平几。
李伟固说今年Imo中国队就败在了不会算平几,2010年联赛那个很难的平几,建系很方便……一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要~
5.换元法,待定系数,有时会起到简化作用,算代数题,很有用
6.函数题,特值法,逼值,会比描述简单,但条件必须很好~
7.见到三角的题,设复数算,配以微积分基本定理,特别简单……好像大家对复数都不是很熟悉,其实复数是很好的数学工具
8.做不等式之前,先猜取等条件。
给某个变量取极限看其他变量变化,所谓,冻结变量法~
9.求值域,解不等式,多想几何意义,线性规划简单很多
10.导数部份用拉格朗日中值定理,泰勒公式
11.解析,点差法,圆锥曲线的第二定义,拉格朗日恒等式变形,运算中常用。
定比分点。
多记着小结论最好了~
12.用行列式展开多项式,方便
13.切比雪夫,排序,都很巧
14.母函数
15.高次方程韦达定理
16.复数中的Hlawka不等式。
柯西不等式有条件成立,还有反向柯西。
17.斐波那契数列性质
18.复数中,单位根
19.解析中常常会用到阿波罗尼斯圆。
错位相减公式:
所有错位相减题都可以化成
的形式。
设
,那么
(q≠1)
此公式经本人上学时反复验证。
记住这个,再碰到错位相减题直接写答案。
如果是大题象征性地写一写过程就行了。
涉及圆锥曲线焦半径长度的题目:
用圆锥曲线统一定义
几率秒杀。
焦半径长度用直角坐标不好表示,用统一定义简单得不要不要的。
第二数学归纳法
原理是设有一个与正整数n有关的命题,如果:
(1)当n=1时,命题成立;
(2)假设当n≤k(k∈N)时,命题成立,由此可推得当n=k+1时,命题也成立。
那么根据①②可得,命题对于一切正整数n来说都成立。
数列放缩(不一定靠谱)
花了一周时间,总算找到了一个通法,至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题,包括不是固定值的,而是一个表达式的思想同样适应。
话不多说,见下
0x1思考这个值如1/3的得来,你会发现基本上都是等比求和的极限,没错。
这机是关键,原因也很简单,我们基本上只能对这类数列求和。
0x2利用分析法。
既然是一个等比数列,那么我们就直接构造这个等比数列,a1和q都设出来。
一般来说q就是前面需要放缩的式子中指数下的那个(题目难的话,可能会调整这个q)然后就利用放缩的逆过程,即两个数列中的每一项都有固定的大小关系(如要证A>B那么对应的a(n)>b(n))这里会用到很多技巧,比如可能这个式子的前几项不满足,但后面的所有项都成立,那么可以把前几项单独拿出来说明。
0x3最后再用综合法书写过程。
0x4总之,这类问题的思想就是这样,但几年过去了,很多细节也忘了。
希望能帮到题主。
///////////我也是一条安静的分割线/////
//我是一个简单的栗子,随便在网上找的一道题,若有错误,请指正。
步骤:
0x1设an=(a1*(1-q^n))/(1-q),然后去掉q^n因为可以看作这个数列的极限就是5/3,a1/(1-q)=5/3,
观察前面的式子,可令q=1/2这里的q可以不一样(但是为了后面的分析法容易证明)解得a1=5/6;
0x2现在an=5/3*(1-1/2^n),利用分析法比较1/(2^n-1)<5/3*(1-1/2^n)(选取1/2也是因为这里比较容易证明)这时你就会发现第一项不满足(1>5/6)但从第二项开始,后面的每一项都小于,所以我们第一项单独提出来说明(1<5/3利用原式子),因为从第二项开始都小于,所以每一项相加也同样小于。
综上该不等式成立。
0x3最后利用综合法书写过程。
完毕!
然后这里附上参考答案的做法,可以对比一下
可以发现,构造那个数列很完美,但是你能想到吗?
也说明了其实构造这个数列证明可以有很多,只是我的这种方法比较暴力。
//回忆高中数列的做题总结
有人评论说高中的数列压轴题没这么简单,的确如此。
因为还要和很多方法技巧一起连用解决。
比如逆向相加比较,构造函数放缩等等等等。
总之,多做题肯定是不会错的,但是也要有方法的做题。
学会研究答案,多思考,总结才能学得活。
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