史上最全相似三角形难题精选.docx
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史上最全相似三角形难题精选
相似三角形难题精选
模块一:
相似三角形中的动点问题
如图,在RtAABC中,ZACB二90。
,AC二3,BC二4,过点B作射线BB1//AC・动点D从点A岀发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动•过点D作DH丄AB于H,过点E作EF丄AC交射线BBI于F,G是EF中点,连接DG-
如图,在ZiABC中,ABC=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动•同时,动点Q以lm/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动•设移动的时间为讶少・
⑴①当t=2.5s时,求ZkCPQ的面积;
②求ACPQ的面积S(平方米)关于时间t(秒)的函数解析式;
(2)在P,Q移动的过程中,当ACPQ为等腰三角形时,出t的值.
如图丄在RtAABC中,ACB二90。
,AC二6,BC二8,点D在边AB上运动,DE平分CDB交边BC于点E,EM丄BD,垂足为IVbEN丄CD,垂足为N・
(1)当AD=CD时,求证:
DE〃AC:
(2)探究:
AD为何值时,Z\BME与Z\CNE相似?
如图所示,在AABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动•设运动的时间为x-
(1)当X为何值时,PQ〃BC?
(2)AAPQ与ACQB能否相似?
若能,求岀AP的长;若不能,请说明理山.
如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动;
点Q沿DA边从点D开始向点A以lcm/s的速度移动如果P、Q同时出发,用t⑸表示移动的时间(0 (1)当t为何值时,AQAP为等腰直角三角形? (2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似? 模块二: 构造辅助线一双垂直模型 在平面直角坐标系Xoy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段0A的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式 在ZiABC中,AB二2伫AC二4,BC二2,以AB为边在C点的异侧作ZiABD,使Z'ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长• 在Z\ABC中,AC二BC,ZACB二90。 点IVI是AC上的一点,点N是BC上的一■点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点•求证: MC: NC-AP: PB. B 如图,在直角坐标系中,矩形ABCo的边OA在X轴上,边°C在y轴上,点B的坐还为(1, 3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E那么D点的坐标为() 412213113312 已知,如图,直线2x十2与坐标轴交于A、B两点•以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1: 2。 求C、D两点的坐标。 BEBC2 四边形ABCD中,AC为AB.AD的比例中项,且AC平分ZDAB.求证: DECD 在梯形ABCD中,AB〃CD,AB二b,CD二a,E为AD边上的任意一点,EF〃AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,发现如下事实: DEa+b ⑴当AE二|时, EF=2; DE a+2b ⑵当AE=2时, EF=3, DE a+3b (3)当AE二3时,ef=4 当AE=R时,参照上述研究结论,请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论,并给出证明 已知: 如图,在ZXABC中,M是AC的中点,E、F是BC上两点,且BE=EF=FC求BN: NQ: QM・ 2 证明: (i)重心定理: 三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的3.(注: 重心是三角形三条中线的交点) (2)角平分线定理: 八2角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例 模块四: 相似中的定值问题 如图,在等边AABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BDSCD的延 II3 ]——二—— 长线分别交AC、AB于点E、F.求证CEBFABe 已知: 如图,梯形ABCD中,AB//DC,对角线AC、BD交于6过0作EF//AB分别交AD、BC 111 于e、Fo求证: ABCDEO. 如图,在AABC中,已知CD为边AB土的高,正方形EFGH的四个顶点分别在AABC上。 求 III ]— 证: ABCDEF DGB Ill 已知,在AABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a-求证: ACBC3. 模块五: 相似中的共线线段成比例问题⑴如图4点P在平行四边形ABCD的对角线BD土,一直线过点P分别交BA, BC的延长线于点CbS,交AD,CD于R,T.求证: PQ・PR=PS・PT ⑵如图2,图3,当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时, PQ・PR=PS・PT是否仍然成立? 若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2 已知: 如I图,AABC中,AB二AGAD是中线,P是AD土一点,过C作CF〃AB,延长BP交AC于E,交CF于F・求证: BP2二PE・PF. 如图,已知Z\ABC中,AD,BF分别为BGAC边上的高,过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G,交AC延长线于H。 求证: DE=EG-EH・ 已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC土一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、 PEPH AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证: PFPG 已知,如图,锐角AABC中,AD丄BC于D,H为垂心(三角形三条高线的交点);在人。 士有—点P,且ZBPC为直角•求证: PD2二AD・DH 模块六: 相似中的积式问题综合已知如图,CD是RtAABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。 求证: AC-CF=BC-DE DB 如图,Z\ABC是直角三角形,ZACB=90°,CD丄AB于DE是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F. (1)求证: FD-FB・FC (2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗? 并说明理山 如图,四边形ABCD.DEFG都是正方形,连接AE.CG.AE与CG相交于点IvbCG与AD相交于点N.求证: AN・DN=CN・MN 如图,BD、CE分别是AABC的两边上的高,过D作DG丄BC于G分别交CE及BA的延长线于F、H0求证: (1)DG2=BG・CG; (2)BG-CG=GF・GH 模块七: 相似基本模型运用 △ABC和ADEF是两个等腰直角三角形,ZA二ZD二90°,ADEF的顶点E位于边BC的中点上. (1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与Ae交于点N,求证: Z'BEMsMNE; (2) 如图2,将ADEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除⑴中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论・ 如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点PXQ・ (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外); (2)求BP: PQ: QR- AEAC 如图,在Z\ABC中,AD丄BC于D,DE丄AB于E,DF丄AC于F。 求证: AFAB A 模块八: 相似里的垂直模型 3F在厶ABC中,ZA=90°,AD丄BCQE丄AB.求证: ~7八二一 ACAL已知: RtAABC中,ZACB=90°,CD丄AB于D,DE丄AC于EQF丄BC于F.求证: CD3=AB-AE-BF 正方形ABCD中,AE二*D,AO=BO,OF丄CE于F.求证lOF^CFEF 已知: △ABC中zAB二AGD是BC的中点QE丄AC于E,H是DE中点,连结AH,BE.求证: AH丄BE △ABC中,AB二ACBD丄AC于D.求证: BC? 二2CD・AC △ABC中zZACB=90°,CD±AB于DZE是BC的中点QE和AC的延长线交于F.求证: 1)FD? 二FC・FA; ACFA 2) BCFD 已知,RtAABC中’ZABC=90°,D是BC上一点,BE丄AC于E.BF丄AD于F.求证: ZkAEFsAADC
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