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梅涅劳斯定理入门篇最全word资料
梅涅劳斯定理(入门篇)
雷雨田(广西师范大学附属外国语学校高50班541004)
梅涅劳斯定理
这个定理怎么记最好呢?
个人感觉“顶到分、分到顶、顶到分、分到顶、顶到分、分到顶”这样记忆来得非常容易
不过找了很多资料,感觉仅仅是把这个定理(或者后面附一个逆定理)陈述然后证明完了之后,就直接给例题(或者直接讲赛瓦定理),看上去不怎么舒服,所以我把其他的一些东西附在这里,以供参考。
第一角元形式的梅涅劳斯定理
(就是把线段比改为正弦值比)其表达式为:
证明如下:
如图所示,由三角形面积公式(正弦定理)可得:
同理可得
把这三个式子相乘,运用梅氏定理,就可得到
这个式子怎么记最好呢?
个人感觉根据梅涅劳斯定理中线段所对应的角来记忆最好。
第二角元形式的梅涅劳斯定理
设O是不在三角形ABC三边所在直线上的任意一点,其他条件不变,则表达式为:
现证明如下:
如图,由
可得
同理得到另外两个对称式,相乘,运用梅氏定理即得证
这个式子就这样记吧:
先记住原来的梅涅劳斯定理形式,然后在每条线段表达式中间插一个O,然后再在前面加上
(比如BA'就变成
)
梅氏定理的用处
这个定理是平面几何的一个重要定理(好像所有竞赛书都把他与赛瓦定理放在第一节,不知是惯性还是怎么地),它大概有如下用处:
可以用来证明三点共线;
可以用来导出线段比例式;
可以用来寻求一条线段是另一条线段的几分之几或几倍(即线段倍分);
怎么用梅氏定理
知道了这个定理,还要会用才行。
问题是怎么用?
观察可以发现,用这个的关键是选好三角形,并找到它的截线(或作出截线)。
在题目中,经常会出现三点共线的情况,把这个看成是某个三角形的截线,然后导出一个式子加以运用。
另外要注意灵活应用这个定理(有时要用几次)及其逆定理。
在一些题目中可以找到不少三角形及其截线(不过个人感觉很不好找==`````),这时就可以多次运用往要证明的东西靠近。
相关试题
最后附上与之相关的全国高中数学联赛两道题
1.1996年联赛题:
2.1999年联赛题:
实验三 戴维南定理和诺顿定理的验证
──有源二端网络等效参数的测定
一、实验目的
1.验证戴维南定理和诺顿定理的正确性,加深对该定理的理解。
2.掌握测量有源二端网络等效参数的一般方法。
二、原理说明
1.任何一个线性含源网络,如果仅研究其中一条支路的电压和电流,则可将电路的其余部分看作是一个有源二端网络(或称为含源一端口网络)。
戴维南定理指出:
任何一个线性有源网络,总可以用一个电压源与一个电阻的串联来等效代替,此电压源的电动势Us等于这个有源二端网络的开路电压Uoc,其等效内阻R0等于该网络中所有独立源均置零(理想电压源视为短接,理想电流源视为开路)时的等效电阻。
诺顿定理指出:
任何一个线性有源网络,总可以用一个电流源与一个电阻的并联组合来等效代替,此电流源的电流Is等于这个有源二端网络的短路电流ISC,其等效内阻R0定义同戴维南定理。
Uoc(Us)和R0或者ISC(IS)和R0称为有源二端网络的等效参数。
2.有源二端网络等效参数的测量方法
(1)开路电压、短路电流法测R0
在有源二端网络输出端开路时,用电压表直接测
其输出端的开路电压Uoc,然后再将其输出端短路,
用电流表测其短路电流Isc,则等效内阻为
Uoc
R0=──
Isc
如果二端网络的内阻很小,若将其输出端口短路图3-1
则易损坏其内部元件,因此不宜用此法。
(2)伏安法测R0
用电压表、电流表测出有源二端网
络的外特性曲线,如图3-1所示。
根据
外特性曲线求出斜率tgφ,则内阻
△U Uoc
R0=tgφ=──=──。
△I Isc
也可以先测量开路电压Uoc,图3-2
再测量电流为额定值IN时的输出
Uoc-UN
端电压值UN,则内阻为R0=────。
IN
(3)半电压法测R0
如图3-2所示,当负载电压为被测网络开
路电压的一半时,负载电阻(由电阻箱的读数
确定)即为被测有源二端网络的等效内阻值。
(4)零示法测UOC图3-3
在测量具有高内阻有源二端网络的开路电压时,用电压表直接测量会造成较大的误差。
为了消除电压表内阻的影响,往往采用零示测量法,如图3-3所示.。
零示法测量原理是用一低内阻的稳压电源与被测有源二端网络进行比较,当稳压电源的输出电压与有源二端网络的开路电压相等时,电压表的读数将为“0”。
然后将电路断开,测量此时稳压电源的输出电压,即为被测有源二端网络的开路电压。
三、实验设备
序号
名称
型号与规格
数量
备注
1
可调直流稳压电源
0~30V
1
DG04
2
可调直流恒流源
0~500mA
1
DG04
3
直流数字电压表
0~200V
1
D31
4
直流数字毫安表
0~200mA
1
D31
5
万用表
1
自备
6
可调电阻箱
0~99999.9Ω
1
DG09
7
电位器
1K/2W
1
DG09
8
戴维南定理实验电路板
1
DG05
四、实验内容
被测有源二端网络如图3-4(a)。
(a)图3-4(b)
Uoc
(v)
Isc
(mA)
R0=Uoc/Isc
(Ω)
1.用开路电压、短路电流法测定戴维南等效
电路的Uoc、R0和诺顿等效电路的ISC、R0。
按
图3-4(a)接入稳压电源Us=12V和恒流源Is=10mA,
不接入RL。
测出UOc和Isc,并计算出R0。
(测UOC
时,不接入mA表。
)
2.负载实验
按图3-4(a)接入RL。
改变RL阻值,测量有源二端网络的外特性曲线。
U(v)
I(mA)
3.验证戴维南定理:
从电阻箱上取得按步骤“1”所得的等效电阻R0之值,然后令其与直流稳压电源(调到步骤“1”时所测得的开路电压Uoc之值)相串联,如图3-4(b)所示,仿照步骤“2”测其外特性,对戴氏定理进行验证。
U(v)
I(mA)
4.验证诺顿定理:
从电阻箱上取得按步骤“1”所得的等效电阻R0之值,然后令其与直流恒流源(调到步骤“1”时所测得的短路电流ISC之值)相并联,如图3-5所示,仿照步骤“2”测其外特性,对诺顿定理进行验证。
U(v)
I(mA)
5.有源二端网络等效电阻(又称入端电阻)的直接测量法。
见图3-4(a)。
将被测有源网络内的所有独立源置零(去掉电流源IS和电压源US,并在原电压源所接的两点用一根短路导线相连),然后用伏安法或者直接用万用表的欧姆档去测定负载RL开路时A、B两点间的电阻,此即为被测网络的等效内阻R0,或称网络的入端电阻Ri。
6.用半电压法和零示法测量被测网络的等效内阻R0及其开路电压Uoc。
线路及数据表格自拟。
五、实验注意事项
1.测量时应注意电流表量程的更换。
2.步骤“5”中,电压源置零时不可将
稳压源短接。
3.用万表直接测R0时,网络内的独立
源必须先置零,以免损坏万用表。
其次,欧
姆档必须经调零后再进行测量。
图3-5
4.用零示法测量UOC时,应先将稳压电源的输出调至接近于UOC,再按图3-3测量。
5.改接线路时,要关掉电源。
六、预习思考题
1.在求戴维南或诺顿等效电路时,作短路试验,测ISC的条件是什么?
在本实验中可否直接作负载短路实验?
请实验前对线路3-4(a)预先作好计算,以便调整实验线路及测量时可准确地选取电表的量程。
2.说明测有源二端网络开路电压及等效内阻的几种方法,并比较其优缺点。
七、实验报告
1.根据步骤2、3、4,分别绘出曲线,验证戴维南定理和诺顿定理的正确性,并分析产生误差的原因。
2.根据步骤1、5、6的几种方法测得的Uoc与R0与预习时电路计算的结果作比较,你能得出什么结论。
3.归纳、总结实验结果。
4.心得体会及其他。
练习三高斯定理
一、选择题
1.关于高斯定理,以下说法正确的是:
(A高斯定理是普遍适用的,但用它计算电场强度时要求电荷分布具有某种对称性。
(B高斯定理对非对称性的电场是不正确的。
(C高斯定理一定可以用于计算电荷分布具有对称性的电场的电场强度。
(D高斯定理一定不可以用于计算非对称性电荷分布的电场的电场强度。
2.如果对某一闭合曲面的电通量为0d=⋅SEv
v,以下说法正确的是(AS面上的Ev
必定为零。
(BS面内的电荷必定为零。
(C空间电荷的代数和为零。
(DS面内电荷的代数和为零。
3.如图所示.有一电场强度Ev
平行于x轴正向的均匀电场,
则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为
(AπR2E。
(BπR2
E/2。
(C2πR2E。
(D0。
4.有两个点电荷电量都是+q,相距为2a,今以左边的点电
荷所在处为球心,以a为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积S1和S2,其位置如图所示。
设通过S1和S2的电场强度通量分别为Φ1和Φ2,通过整个球面的电场强度通量为Φ,则
(AΦ1>Φ2,Φ=q/ε0。
(BΦ1<Φ2,Φ=2q/ε0。
(CΦ1=Φ2,Φ=q/ε0。
(DΦ1<Φ2,Φ=q/ε0。
5.在空间有一非均匀电场,其电力线分布如图所示。
现在电场中取一半径为R的闭合球面。
已知通过球面上ΔS的通量为ΔΦ,则通过球面其余部分的电通量为:
(A–ΔΦ。
(B4πR2ΔΦ/ΔS。
(C(4πR2−SΔΦ/ΔS。
(D−(4πR2−SΔΦ/ΔS。
(E0。
6.图所示为一球对称性静电场的E~r关系曲线,请指出该电场
是由哪种带电体产生的(E表示电场强度的大小,r表示离对称中心的距离。
l(A点电荷。
(B半径为R的均匀带电球体。
(C半径为R的均匀带电球面。
(D内外半径分别为r和R的同心均匀带球壳。
7.如图所示,一个带电量为q的点电荷位于一边长为l的正方形abcd的中心线上,q距正方形l/2,则通过该正方形的电场强度通量大小等于:
(A02εq。
(B06εq
。
(C012εq。
(D0
24εq
。
8.两个同心均匀带电球面,半径分别为Ra和Rb(Ra (A20π41 rQQba+⋅ε。 (B20π41 rQQba−⋅ε。 (C ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝⎛+0 π41bbaRQrQε。 (D 20π41r Qa⋅ε。 9.如图所示,两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电,轴线方向单位长度上的带电量分别为λ1和λ2,则在内圆柱面里面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小(Ar 021π2ελλ+。 (B 2 02 101π2π2RRελελ+ 。 (C 1 01 π4Rελ。 (D0。 二、填空题 1.如图所示,均匀电场Ev 中有一袋形曲面,袋口边缘线在一平面S 内,边缘线所围面积为S0,袋形曲面的面积为S′,法线向外,电场与S面的夹角为θ,则通过袋形曲面的电通量为2.如图所示,真空中有两个点电荷,带电量分别为Q和−Q,相距2R。 若以负电荷所在处O点为中心,以R为半径作高斯球面S,则 通过该球面的电场强度通量Φ=;若以表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a、b 两点的电场强度分别为re ˆ。 •q1 •q3 •q4 3.电荷q1、q2、q3和q4在真空中的分布如图所示,其中 q2是半径为R的均匀带电球体,S为闭合曲面,则通过闭合曲面S的电通量SEvvd⋅,式中电场强度Ev是电荷产生的。 是它们产生电场强度的矢量和还是标量和? 答: 是。 ΔS 4.有一带电球体,其电荷体密度为常数k。 则球体内距球心为r处的 电场强度的大小为。 5.真空中一半径为R的均匀带电球面,总电量为Q(Q>0。 今在球面上挖去非常小块的面积ΔS(连同电荷,且假设不影响原来的电荷分布,则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=。 其方向为。 6.一半径为R的半球面放在水平面上,如图所示,在距球心O的正上方l(l>R远处有一点电荷q,则通过该半球面的电通量为。 P 7.一均匀带电直线长为d,电荷线密度为+λ,以导线中点O为球心,R为半径(R>d作一球面,如右图所示,则通过该球面的电场强度通量为。 带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大小为,方向。 8.带有宽为a的狭缝的无限长圆柱面,半径为R,电荷面密度为σ,求其轴线上一点P的场强为。 练习三答案 一、 1.A,2.D,3.D,4.D,5.A,6.C,7.B,8.D,9.D。 二、 1.−ES0sinθ, 2.−Q/ε0; 20π9ˆ2Re Qrε−; 20π2ˆReQrε−,3.(q1+q4/ε0;q1、q2、q3、q4;矢量和,4.kr/3ε0, 5.( 402π16RSQεΔ;由球心O点指向ΔS, 6. ⎟⎠ ⎞⎜⎝⎛+−012Rllqε, 7.0ελd;2 2 04πd Rd −ελ;沿矢径方向, 8. R l 02πεσ;垂直于轴线从P点指向狭缝。 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 大数定理与中心极限定理 一、大数定理 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。 定理1(bernoulli定理) 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数,p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意正数ε,总有 注: 定理说明,当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率。 定理2 设随机变量 相互独立且具有相同的数学期望和方差: 作n个随机变量的算术平均数 对于任意正数ε,总有 注: 定理说明,当n充分大时,算术平均数必然接近于数学期望。 二、中心极限定理 在概率论中,把研究在什么条件下,大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。 定理3如果随机变量 独立同分布,且 则 注: 无论各个随机变量 具有怎样的分布,只要满足定理 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 条件,那么它们的和 当n很大时,近似服从正态分布。 例1一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50kg,标准重为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977。 解设 为装运第i箱的重量,n是所求的箱数。 由题意可把 看作独立同分布的随机变量,令 则 就是这n箱货物的总重量。 又 由中心极限定理,有 从而,有 故最多可以装98箱。 定理4设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,则对于任意x,恒有 证可将X看作是n个独立同服从(0-1)分布的随机变量 之和,即 , 所以由定理3得 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 注当n充分大时,二项分布近似于正态分布。 计算应先进行连续性校正。 离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应,即 当n充分大时,Poisson分布也近似于正态分布。 其连续性校正公式为 例2某病的患病率为0.005,现对10000人进行检查,试求查出患病人数在[45,55]内的概率. 解设患病人数为X,则X~B(10000,0.005).由定理4得 例3某公司生产的电子元件合格率为99.5%。 装箱出售时, (1)若每箱中装1000只,问不合格品在2到6只之间的概率是多少? (2)若要以99%的概率保证每箱合格品数不少于1000只,问每箱至少应该多装几只这种电子元件? 解: (1)这个公司生产的电子元件不合格率为1-0.995=0.005,设X表示“1000 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 只电子元件中不合格的只数”,则X~B(1000,0.005)。 (2)设每箱中应多装k只元件,则不合格品数X~B(1000+k,0.005),由题设,应有 ,因而可得 于是k应满足 解之,有 这就是说,每箱应多装11只电子元件,才能以99%以上的概率保证合格品数不低于1000只。 本次课小结: 介绍了大数定律和中心极限定理。 要求理解伯努利定理;理解独立同分布的中心极限定理和二项分布、Poisson分布的也正态近似的有关计算。 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注 新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
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