《计算物理(本科)》[第4章].ppt
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第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合第四章第四章实验数据的拟合实验数据的拟合数据拟合:
数据拟合:
经常需要根据物理实验的观测数据,经常需要根据物理实验的观测数据,来寻求物理量之间函数关系式。
来寻求物理量之间函数关系式。
数据拟合的意义:
数据拟合的意义:
由于存在偶然误差,测量数据由于存在偶然误差,测量数据在一定程度上有不确定性。
通过数据拟合,可以在一定程度上有不确定性。
通过数据拟合,可以找出反映两物理量间客观函数关系式。
找出反映两物理量间客观函数关系式。
插值与数据拟合的区别:
插值与数据拟合的区别:
插值得到的曲线是通过插值得到的曲线是通过所有测量数据点。
而数据拟合曲线不一定全部通所有测量数据点。
而数据拟合曲线不一定全部通过测量数据点。
过测量数据点。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合4.1实验数据的一元线性拟合实验数据的一元线性拟合一、最小二乘法原理一、最小二乘法原理在拟合曲线在拟合曲线y=f(x)上,测量点上,测量点xi的误差的误差i=yi-f(xi)按照某种标准达到最小,通常采用欧氏范数按照某种标准达到最小,通常采用欧氏范数|2作误差的标准,这种方法称为最小二乘法。
作误差的标准,这种方法称为最小二乘法。
二、一元线性拟合二、一元线性拟合设实验测量的一组数据是设实验测量的一组数据是合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合由拟合由拟合直线得直线得i=yi-A0-A1xi偏差的平方和为偏差的平方和为对于一个对于一个xi值,存在两个相应的值,一个是实验测值,存在两个相应的值,一个是实验测量值量值yi,另一个是拟合曲线值另一个是拟合曲线值f(xi)。
一般不相等,一般不相等,它们的差值称为偏差,记为它们的差值称为偏差,记为i=yi-f(xi)假设假设(x,y)间间存在线性关系存在线性关系f(x)=A0+A1x。
下面下面利用最小二乘法拟合此直线方程:
利用最小二乘法拟合此直线方程:
合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合解得解得其中其中利用最小二乘法原理,求上式最小,来计算利用最小二乘法原理,求上式最小,来计算A0和和A1合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合三、一元线性拟合的相关系数三、一元线性拟合的相关系数相关系数相关系数的大小反映了测量数据线性程度的好坏,的大小反映了测量数据线性程度的好坏,|介于介于(0,1)之间。
之间。
|越接近越接近1,说明实验数据越,说明实验数据越集中在拟合直线附近;集中在拟合直线附近;|越接近越接近0,说明实验数据,说明实验数据越分散,并不趋向直线。
越分散,并不趋向直线。
有的小计算器中都有一元线性回归有的小计算器中都有一元线性回归合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合4.2多元线性拟合多元线性拟合实际测量中影响物理量的因素往往不止一个。
设实际测量中影响物理量的因素往往不止一个。
设变量变量y随随x1,x2,xkk个个变量而变化。
实验测变量而变化。
实验测得一组数据是得一组数据是拟合曲线设为拟合曲线设为Y=A0+A1x1+A2x2+Akxk与一元与一元线性拟合思想相同,用最小二乘法原理线性拟合思想相同,用最小二乘法原理求系数求系数A0,A1,A2,Ak。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合偏差的平方和为偏差的平方和为可得到一个正规方程组解出可得到一个正规方程组解出A0,A1,Ak。
(求解正规方程的问题将在线性代数方程组的解法中(求解正规方程的问题将在线性代数方程组的解法中讨论。
)讨论。
)合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合4.3多项式曲线拟合多项式曲线拟合在物理学及各科学技术领域非线性函数关系才是在物理学及各科学技术领域非线性函数关系才是普遍的,而线性关系则是简化的。
普遍的,而线性关系则是简化的。
非线性改直非线性改直:
非线性函数可以先经过变量替换,:
非线性函数可以先经过变量替换,转化为线性函数关系,然后进行线性拟合,最后转化为线性函数关系,然后进行线性拟合,最后还原成原始的物理量。
还原成原始的物理量。
但有一些非线性关系并不能改直,常常要用到多但有一些非线性关系并不能改直,常常要用到多项式拟合或多元函数拟合。
项式拟合或多元函数拟合。
设有设有n个实验数据个实验数据合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合用用k次多项式拟合次多项式拟合Y=A0+A1x+A2x2+Akxk与一元线性拟合思想相同,用最小二乘法原理求系与一元线性拟合思想相同,用最小二乘法原理求系数数A0,A1,A2,Ak。
偏差的平方和为偏差的平方和为可得到一个正规方程组解出可得到一个正规方程组解出A0,A1,A2,Ak。
(与与上一节基本相同,只是上标和下标操作的区别。
上一节基本相同,只是上标和下标操作的区别。
)合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合注意:
注意:
多项式拟合的正规方程具有唯一解,但多多项式拟合的正规方程具有唯一解,但多项式的阶次较高时,系数的微小差异有时可能会项式的阶次较高时,系数的微小差异有时可能会引起解的巨大变化。
为了避免这种情况发生,多引起解的巨大变化。
为了避免这种情况发生,多项式的阶次不要过高,一般在项式的阶次不要过高,一般在5次方以内为宜。
次方以内为宜。
MATLAB实现实现:
n次多项式曲线拟合在次多项式曲线拟合在MATLAB中不需要自编程序,自身提供了一个函数中不需要自编程序,自身提供了一个函数polyfit(x,y,k)其中其中(x,y)为测量点向量;为测量点向量;k为拟合多项式的最高为拟合多项式的最高次数。
函数返回长度为次数。
函数返回长度为k+1的向量,即多项式系数的向量,即多项式系数Ak,A1,A0。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合在在MATLAB中编写程序,例中编写程序,例jswlx_4_3_1.m%jswlx_4_3_1.mx=0.51.01.52.02.53.0;y=1.752.453.814.808.008.60;a=polyfit(x,y,2)x1=0.5:
0.05:
3.0;y1=a(3)+a
(2)*x1+a
(1)*x1.2;plot(x,y,*)holdonplot(x1,y1,-r)运行结果:
运行结果:
a=0.49001.25010.8560【例例】设设y=span1,x,x2,用多项式曲线拟合如表所示的数据用多项式曲线拟合如表所示的数据x0.51.01.52.02.53.0y1.752.453.814.808.008.60合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合【例例】模拟模拟sin函数的多项式曲线拟合。
要求:
函数的多项式曲线拟合。
要求:
1、在、在-,+间每隔间每隔/10,模拟,模拟sin函数一个实验数据点函数一个实验数据点2、拟合多项式的最高次数为、拟合多项式的最高次数为5次次3、在同一绘图板上绘出、在同一绘图板上绘出sin函数模拟点、拟合多项式函数和函数模拟点、拟合多项式函数和sin函数三条曲线函数三条曲线在在MATLAB中编写程序,例中编写程序,例jswlx_4_3_1.mx=-pi:
pi/10:
pi;%x在在-pi,pi内以步长内以步长pi/10取点取点y=sin(x);%对应对应x的的y=sin(x)的值的值a=polyfit(x,y,5)x1=-pi:
0.05:
pi;y1=a(6)+a(5)*x1+a(4)*x1.2+a(3)*x1.3+a
(2)*x1.4+a
(1)*x1.5;y2=sin(x1);plot(x,y,*)%绘制模拟实验点曲线绘制模拟实验点曲线holdonplot(x1,y1,-r)%绘制拟合曲线绘制拟合曲线%plot(x1,y2,-g)%绘制原曲线绘制原曲线合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合实验三实验三实验数据的拟合实验数据的拟合一、实验目的一、实验目的1了解最小二乘法;了解最小二乘法;2掌握一元线性拟合法;掌握一元线性拟合法;3掌握非线性拟合方法。
掌握非线性拟合方法。
二、实验内容二、实验内容1进一步熟悉进一步熟悉Matlab程序设计环境;程序设计环境;2利用最小二乘法拟合线性方程的方法。
利用最小二乘法拟合线性方程的方法。
3.一元线性拟合法一元线性拟合法合肥工业大学电子科学与应用物理学院第第四四章章实实验验数数据据的的拟拟合合三、练习题三、练习题1、简述利用最小二乘法拟合线性方程的方法、简述利用最小二乘法拟合线性方程的方法。
2、如何实现多元线性拟合?
、如何实现多元线性拟合?
3、设一组测量数据、设一组测量数据x0.51.01.52.02.53.0y1.752.453.814.808.008.60假设假设x与与y的关系是二次多项式关系,在的关系是二次多项式关系,在MATLAB中中编写程序对曲线进行拟合,求出多项式系数和多项式编写程序对曲线进行拟合,求出多项式系数和多项式形式,并画出拟合曲线形状。
形式,并画出拟合曲线形状。
合肥工业大学电子科学与应用物理学院
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- 计算物理本科 第4章 计算 物理 本科
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