14页辅助线初二辅助线的作法例题及练习答案.docx
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14页辅助线初二辅助线的作法例题及练习答案
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种:
1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”.
2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
应用:
1、(09崇文二模)以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
,
连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当
为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
(0<
<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由.
二、截长补短
1、如图,
中,AB=2AC,AD平分
,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD
3、如图,已知在
内,
,
,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是
,
的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
,
求证:
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;AB-AC>PB-PC
应用:
在BC上截取BF=BE,因为∠B=60°,所以三角形BEF为等边三角形,EF=BE=BF
AB=BC所以AE=FC
又因为∠DEC=60°,所以∠AED+∠BEC=120
又∠BCE+∠BEC=120所以∠AED=∠BCE∠A=∠EFC=120
所以三角形AED和三角形FCE全等,所以AD=EF=BE
AD+AE=AE+EB=AB=BC
三、平移变换
例1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于为MN上一点,△ABC周长记为
,△EBC周长记为
.求证
>
.
设C1点为C的对称点,连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上(1/2∠BAC+1/2∠CAC1=90°,所以∠BAC+∠CAC1=180°),那么BEC1为三角形,BE+C1E>BA+AC1(BC1),因此BE+CE>BA+AC,不等式两边同加BC得:
Pb>Pa.
砂砂tCR42014-10-20
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>AD+AE.
取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA(SAS),
∴DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则
BN+BP>PN,DP+PA>AD,
相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>DN+AD,
∴AB+AC>AD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
①∵AD、CE分别平分∠BAC、∠BCA,
∴∠OAC+∠OCA=1/2(∠BAC+∠BCA)=1/2(180°-∠B)=60°,
∴∠AOC=120°,
∴∠AOE=∠COD=60°,
②在AC上截取AF=AE,连接OF,
∵A=AF,∠OAE=∠OAF,AO=AO,
∴ΔAOE≌ΔAOF(SAS),
∴∠AOF=∠AOE=60°,OE=OF,
∴∠COF=120°-∠AOF=60°,
③在ΔOCF与ΔOCD中:
∠COD=∠COF=60°,OC=OC,∠OCF=∠OCD,
∴ΔOCF≌ΔOCD(ASA),
∴OD=OF,
∴OE=OD。
证明:
连接OB,过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N
∵∠ABC=60∴∠BAC+∠ACB=180-∠ABC=120
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB
∴∠OAC=∠BAC/2,∠OCA=∠ACB/2
∴∠AOC=180-(∠OAC+∠OCA)=180-(∠BAC+∠ACB)/2=120
∴∠DOE=∠AOC=120∴∠ABC+∠DOE=180∵∠ODB+∠OEB+∠ABC+∠DOE=180
∴∠ODB+∠OEB=180∵∠OEB+∠OEA=180
∴∠OEA=∠ODB又∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB
∴O是△ABC角平分线交点∴OB平分∠ABC
∵OM⊥AB,ON⊥BC∴OM=ON,∠OME=∠OND=90
∴△OME≌△OND(AAS)
∴OE=OD
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=
,AC=
,求AE、BE的长.
(1)证明:
连接BD,CD,
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,
∵DG⊥BC且平分BC,
∴BD=CD,
在Rt△BED与Rt△CFD中,
,
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:
在△AED和△AFD中,
,
∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,
设BE=x,则CF=x,
∵AB=a,AC=b,AE=AB﹣BE,AF=AC+CF,
∴a﹣x=b+x,
解得:
x=
∴BE=,AE=AB﹣BE=a﹣=.
应用:
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
(2)FE=FD.(5分)
如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAF=∠GAF,
在△EAF和△GAF中
∵AE=AG∠EAF=∠FAGAF=AF
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.(6分)
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠DFC=∠GFC.(7分)
在△FDC和△FGC中
∵∠DFC=∠GFCFC=FC∠FCG=∠FCD
∴△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG.
∴FE=FD.(8分)
(3)
(2)中的结论FE=FD仍然成立.(9分)
同
(2)可得△EAF≌△HAF,
∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.(10分)
又由
(1)知∠FAC=12∠BAC,∠FCA=12∠ACB,
∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠ACB)=12(180°-∠B)=60°.
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°.(11分)
同
(2)可得△FDC≌△FHC,
∴FD=FH.
∴FE=FD.(12分)
1、FE=FD.
如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠EAF=∠GAF,
在△EAF和△GAF中
∵AE=AG∠EAF=∠FAGAF=AF
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴FE=FG,∠EFA=∠GFA=60°.
∴∠GFC=180°-60°-60°=60°.
又∵∠DFC=∠EFA=60°,
∴∠DFC=∠GFC.
在△FDC和△FGC中
∵∠DFC=∠GFCFC=FC∠FCG=∠FCD
∴△FDC≌△FGC(ASA),
∴FD=FG.
∴FE=FD.
2、第一问中的结论FE=FD仍然成立.
同
(1)可得△EAF≌△HAF,
∴FE=FH,∠EFA=∠HFA.
又由
(1)知∠FAC=1/2∠BAC,∠FCA=1/2∠ACB,
∴∠FAC+∠FCA=1/2(∠BAC+∠ACB)=1/2(180°-∠B)=60°.
∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°.
同
(1)可得△FDC≌△FHC,
∴FD=FH.
∴FE=FD.
五、旋转
例1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
延长CB,在CB延长线上取点G使得GB=DF,连结AG
那么GB=DF,GE=GB+BE=DF+BE=EF
在直角三角形ADF和直角三角形ABG中,
因为角ADF=角ABG是直角
又因为GB=DF,AB=AD(都是正方形的边)
所以直角三角形ADF全等于直角三角形ABG
所以AF=AG,角DAF=角BAG
对于三角形AGE和三角形AFE
因为AE=AE;AG=AF;GE=FE
所以三角形AGE全等于三角形AFE
所以角GAE=角EAF
2*角EAF=角GAE+角EAF=角BAG+角BAF=角FAD+角BAF=角BAD=90度
所以角EAF=90度/2=45度
例2D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)当
绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
解:
(1)连CD,如图,
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点,
∴CD平分∠ACB,CD⊥AB,∠A=45°,CD=DA,
∴∠BCD=45°,∠CDA=90°,
∵∠DM⊥DN,
∴∠EDF=90°,
∴∠CDE=∠ADF,
在△DCE和△ADF中,
,
∴△DCE≌△ADF,
∴DE=DF;
(2)∵△DCE≌△ADF,
∴S△DCE=S△ADF,
∴四边形DECF的面积=S△ACD,
而AB=2,
∴CD=DA=1,
∴四边形DECF的面积=S△ACD=CDDA=.
例3如图,
是边长为3的等边三角形,
是等腰三角形,且
,以D为顶点做一个
角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则
的周长为;
应用:
1、已知四边形
中,
,
,
,
,
,
绕
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
.
当
绕
点旋转到
时(如图1),易证
.
当
绕
点旋转到
时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立若成立,请给予证明;若不成立,线段
,
又有怎样的数量关系请写出你的猜想,不需证明.
解:
如图1,AE+CF=EF,
理由:
∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,
在△ABE和△CBF中,
AB=BC
∠A=∠C=90°
AE=CF
,
∴△ABE≌△CBF(SAS);
∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE=∠CBF=30°,
∴AE=BECF=BF
∵∠MBN=60°,BE=BF,
∴△BEF为等边三角形;
∴AE+CF=BE
BF=BE=EF;
故答案为:
AE+CF=EF;
(2)如图2,
(1)中结论成立
证明:
延长FC到H,使CH=AE,连接BH,
∵AB⊥AD,BC⊥CD,
∴∠A=∠BCH=90°,
∵在△BCH和△BAE中
BC=AB
∠BCH=∠A
CH=AE
∴△BCH≌△BAE(SAS),
∴BH=BE,∠CBH=∠ABE,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE+∠CBF=120°-60°=60°,
∴∠HBC+∠CBF=60°,
∴∠HBF=60°=∠MBN,
在△HBF和△EBF中
∵
BH=BE
∠HBF=∠EBF
BF=BF
∴△HBF≌△EBF(SAS),
∴HF=EF,
∵HF=HC+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
图3中的结论不成立,线段AE、CF,EF的数量关系是AE=EF+CF,
证明:
在AE上截取AQ=CF,连接BQ,
∵AB⊥AD,BC⊥CD,
∴∠A=∠BCF=90°,
在△BCF和△BAQ中
2、(西城09年一模)已知:
PA=
PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
解:
(1)①如图
(1),作AE⊥PB于点E,△APE中,∠APE=45°,PA=,
∴AE=PA·sin∠APE==1,PE=PA·cos∠APE==1,
∵PB=4,
∴BE=PB-PE=3,
在Rt△ABE中,∠AEB=90°,
∴;
如图
(2),因为四边形ABCD为正方形,可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,可得△PAD≌△P'AB,PD=P'B,PA=P'A
∴∠PAP'=90°,∠APP'=45°,∠P'PB=90°,
∴,
;
(2)如图(3)所示,将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB,PD的最大值即为P'B的最大值,
∵△P'PB中,P'B ∴当P'、P、B三点共线时,P'B取得最大值(见图(4)),此时P'B=PP'+PB=6,即P'B的最大值为6, 此时∠APB=180°-∠APP'=135°。 3、在等边 的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为 外一点,且 BD=DC.探究: 当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及 的周长Q与等边 的周长L的关系. 图1图2图3 ( )如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时 ; ( )如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM DN时,猜想( )问的两个结论还成立吗写出你的猜想并加以证明; ( )如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 若AN= ,则Q=(用 、L表示).
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