《高等数学工本》自学考试辅导与典型例题.docx
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《高等数学工本》自学考试辅导与典型例题
《高等数学(工本)》自学考试辅导与典型例题
《高等数学工本》
自学考试辅导
与典型例题
课程代码00023
第一部分自学考试导航
一快速入门1
二试卷结构答题技巧及题型示例4
第二部分综合练习
第一章函数6
考核要点6
例题解析7
同步强化训练18
一单项选择题18
二填空题21
参考答案22
第二章极限与连续24
考核要点24
例题解析24
同步强化训练42
一单项选择题42
二填空题46
三计算与证明题48
参考答案50
第三章导数与微分57
考核要点57
例题解析57
同步强化训练73
一单项选择题73
二填空题78
三计算与证明题79
·1·
参考答案82
第四章导数的应用93
考核要点93
例题解析93
同步强化训练122
一单项选择题122
二填空题126
三计算与证明题128
参考答案131
第五章不定积分法146
考核要点146
例题解析146
同步强化训练164
一单项选择题164
二填空题167
三计算与证明题168
参考答案171
第六章定积分及其应用185
考核要点185
例题解析185
同步强化训练222
一单项选择题222
二填空题227
三计算与证明题228
参考答案233
第七章向量代数与空间解析几何253
考核要点253
例题解析254
同步强化训练275
一单项选择题275
二填空题281
·2·
三计算与证明题283
参考答案285
第八章多元函数微分学295
考核要点295
例题解析295
同步强化训练325
一单项选择题325
二填空题329
三计算与证明题331
参考答案334
第九章多元函数积分学353
考核要点353
例题解析354
同步强化训练395
一单项选择题395
二填空题401
三计算与证明题403
参考答案408
第十章常微分方程429
考核要点429
例题解析429
同步强化训练442
一单项选择题442
二填空题444
三计算与证明题445
参考答案445
第十一章无穷级数452
考核要点452
例题解析453
同步强化训练469
一单项选择题469
·3·
二填空题473
三计算与证明题474
参考答案476
第三部分模拟自测题及参考答案
模拟自测题一490
模拟自测题一参考答案496
模拟自测题二501
模拟自测题二参考答案506
第四部分近年考试试题选编及答案
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题16510
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题16答案517
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题28520
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题28答案528
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题38531
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题38答案538
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题91541
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题91答案549
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题41552
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题41答案559
·4·
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题23564
全国高等教育自学考试《高等数学工本》
试题23答案571
·5·
第一部分自学考试导航
一快速入门
一本书特点和自学方法
1本书的特点
本书是我们长期学习辅导和研究的成果主要是让学生在全面
掌握书本知识的基础上对学习和考试中的重点和难点进行理解和
把握本书具有以下特点
1全面性全面性是指综合练习题覆盖考试大纲所要求的各
个考核知识点这包括所有需要识记领会和运用部分
2技巧性本辅导书的技巧性主要表现为同一内容可采用几
种不同的出题方法这些方法主要包括正面与反面顺向与逆向因
前果后与果前因后直接与间接单一与综合等
3综合性本辅导书的综合性是指理论知识内容的综合理
论与实际的综合
4侧重性本辅导书主要侧重于基本知识基本运算方法是
为了让考生多见题型使学生提高运算能力和做题技巧
5典型性本辅导书的典型性是每个试题都包含一个或几个
知识点也可通过试题了解每一个知识点可能以何种题型出现
2自学方法
1在开始阅读某一章之前先翻阅大纲中有关这一章的考核
知识点自学要求重点难点以及对各知识点的能力层次要求和具
体要求以便在阅读教材时能做到心中有数避免平均使用力量
2每一章节要逐段细读逐句推敲集中精力吃透每一个知
识点对基本概念必须深刻理解对基本理论必须彻底弄清对基本
方法必须牢固掌握
3在自学过程中既要思考问题也要进行演算把定理证明
公式推导例题计算等再演算一遍这样可以加深和巩固对定理公
·1·
式的印象也有利于了解推理和计算中的关键所在训练解题能力
从而不断提高自学能力
4定理是由条件与结论两部分构成的定理的条件在证明结
论的过程中必然用到因此在学习时要注意在证明的哪些地方用到
了这些条件应用定理时必须要求定理中的条件得到满足不顾条
件任意滥用定理必定会导致错误的结果教材中有些定理的证明
没有给出因为它超出了本课程的要求但对这些定理的含义与作用
必须理解透彻不要轻易放过
5做作业是帮助理解消化和巩固所学知识培养分析问题
解决问题以及提高运算能力的重要环节在做作业之前必须认真阅
读教材内容切勿误认为会做题就是掌握了教材内容做题要步骤清
楚运算准确书写整洁要演算出最后结果切勿草率了事急于求
成否则效果往往会适得其反教材中的自我检查题是用来检查
各阶段的学习效果衡量经过自学是否已经达到了大纲要求具有阶
段测验性质要在做完一般作业的基础上再做这些题并要在规定的
时间内独立闭卷完成
二自学和应试时应注意的问题
1自学时应注意的问题
1要紧扣课本和考纲学习由于自学考试自身具有的特点要
求考生在自学时必须紧扣课本把考试大纲的考核知识点研究好研
究透对考纲规定的识记部分要加强记忆对领会部分要加深理解和
把握对运用部分要做到灵活运用
2要学会运用练习题练习题一般有两个方面的作用一是巩
固以前学过的知识二是发现学习中没有注意到的问题学生在自学
的过程中应学会把握练习题的这两个方面的作用达到事半功倍的
效果
3要正确区分易混淆的知识点对于易混淆的知识点学生在
自学过程中应特别注意其联系与区别因为这部分往往是考试中出
现频率较高的知识点
4要正确处理重点和一般的关系课程的内容有重点与一般
之分但考试内容是全面的而且重点与一般是相互联系的不是截
·2·
然分开的考生在全面系统地学习教材掌握全面考核内容和考核知
识点的基础上应重点突出
2应试时应注意的问题
很多考生在平日学习中能够很好地理解领会掌握书本的知
识但是在考场上受时间心理等各种因素的影响制约往往不能
发挥应有的水平为了克服不利因素的影响考生在考试中就要注意
一些问题这些问题克服了就能起到事半功倍的效果
1头脑清醒情绪平稳考试是一种高强度高难度的脑力劳
动因此一定要在考试过程中保持健康的身体清醒的头脑考前要
休息好考试是一种静思沉思而紧张的思维活动不宜太紧张太惧
怕需要保持一种平稳的心态使答题过程达到并保持最佳的思维状
态才有可能考出自己水平甚至超水平的成绩切忌进考场前说说笑
笑打打闹闹和答题过程中注意力分散
2按序做题先易后难一般重要的正规考试试题有难有易
难易兼顾既有理论知识的理解记忆又有理论知识的分析综合
推理等运用整个试题的排列顺序是先易后难由低分到高分考生
不必把试题通读一遍既浪费时间又会遇到一些难题而引起不必要
的惊恐假如在本该容易答的前面试题中遇到一些不会答的试题时
也不要紧张把不会答的试题留下继续往后做对自己来说容易的试
题当返回来再做时也许就会答了
3审题仔细务求准确审题是答题的前提审题不准不全就
会答错答偏审题差之毫厘答题就会谬之千里自考试题有一部分
不是简单明了一目了然的选择题的一个问题有四个备选答案看
错或理解错一句话甚至一个字就会全错了因此在考试中一定要仔
细审题切忌马马虎虎看一眼就马上做题
4胸中有数对号入座所谓胸中有数就是考生在考前对基
本理论基本知识的重点内容有一个全面的系统的理解和记忆审
题时把试题输入大脑并同已储存的知识信息相联系进而判断试题
所考的范围与要求最后给出正确的答案只有胸中有数才能实现
对号入座
5稍息后查不急交卷试卷答完后为了防止思维定势不要
·3·
立即就查待稍息一会再复查也许能查出不妥之处有的考生为了
显示能耐考试时间未到就急于交卷这是不必要的
二试卷结构答题技巧及题型示例
1试卷结构
本课程的命题考试以大纲规定的考试内容和考试目标为根据
考试命题覆盖到各章并突出重点章节加大重点内容的覆盖密度
试卷中不同能力层次的试题所占分数的比例大致是识记占
15领会占30简单应用占35综合应用占20试题
的难易程度比较合理试题的难度可分为五档易较易一般较难
难每份试卷中五档试题所占的分数比例依次约为1∶2∶4∶2∶1
2答题技巧及题型示例
根据教学大纲的有关要求和历年来的考试实际本课程的题型
有填空题选择题计算题证明题和应用题等几种常见题型现分别
说明如下
1填空题填空题也属于客观性试题考查考生对重要概念
定理等的掌握情况并适当地灵活运用已掌握的知识
如函数fxtan4πx3的最小正周期是
2选择题单项选择题属于客观性试题其特点是难度较小
在四个备选答案中只有一个正确答案题量大一般在15道以上覆
盖面广教材中每一章节都会涉及因此选择题的得分情况常常关
系到考生能否及格这类题主要考查考生的记忆判断和理解能力
在答题时应注意首先认真审题弄清题干的内容要求这是选择题
选准正确答案的关键
如直线xyz与平面2xyz1的位置关系是
A互相平行B互相垂直
C相交D直线在平面内
3计算题计算题是一种主观性试题也是较难的一类题它
考查考生运用所学知识综合解决问题的能力做这类试题首先要认
真分析然后写出公式必要的解答过程最后写出结果即可
·4·
1-x
如求xedx
∫
4证明题证明题也是一种主观性试题它主要考查考生综合
运用知识的能力做此类试题首先要认真分析理清证明的思路然
后再把必要的证明步骤写出来否则就会出现证明到中途而此路不
通的情况浪费考试时间进而影响成绩
1
如证明当x1时不等式2x3-成立
x
5应用题应用题属主观性很强的试题重在考查考生综合分
析问题和解决实际问题的能力一般题目不多且均为各章重点内
容但单题分值较高往往一道题就可直接影响考生能否及格因此
应倍加重视在解答应用题时要做到观点正确思路清晰条理明
确一目了然
如求曲线yx与直线y12xy10所围成的图形的
面积
·5·
第二部分综合练习
第一章函数
考核要点
1正确理解函数的定义要弄清楚定义中的两个要素定义域和
对应法则要能区分fx与fa要会计算函数值包括分段函
数
2要牢记基本初等函数的定义域会求比较简单的函数的定义
域
3要弄清楚反函数的概念以及它与原函数在表示式上几何图
形上的关系要牢记反三角函数的主值范围
4要弄清复合函数的概念并能将几个函数正确地复合成一个
函数更为重要的是把一个函数分解成几个简单函数的复合
5能判定一些比较简单函数的单调性有界性奇偶性周期性
如果函数存在这些性质
6要熟悉基本初等函数的图形与形态
重点函数概念初等函数
难点复合函数
·6·
例题解析
一填空题
1-x2
1函数yln1x1-x的定义域为
解-11
1-x2
由01-x≥0x≠-1得-1x1即定义域为
1x
-11
x1x2
2设fx则fx1的定义域为
12≤x≤3
解-32]
因为fx的定义域为-23]故-2x1≤3即-3
x≤2所以fx1的定义域为-32]
3设yfx-2的定义域为[14则fx的定义域为
解[-12
因为fx-2的定义域为[14故-1≤x-22即fx的
定义域为[-12
4设fx2x21则fx-1
2
解x-6x10
因为fx2x2-221故fx-1x-1-22
22
1x-31x-6x10
π
5如果fxsinx则f-sin
4
2
解-sin
2
·7·
ππ2
f-sinsin-sinsin-
442
2
-sin
2
6函数fxtan4πx3的最小正周期是
1
解
4
1
因为tan4πx3πtan4πx3tan4πx3
4
1
故最小正周期是
4
x-3
7如果xx2且f[x]x≠-1则
x1
5
f
2
5
解-
3
x2-5
因为fx2f[x]
x2-1
x-5
所以fx
x-1
5555
故f-5-1-
2223
8函数yπarcsinx的反函数为
2
π3π
解y2sinx-π
22
πxππx3
因为-≤arcsin≤所以≤πarcsin≤π由y
222222
x
πarcsin2得x2siny-π故所求反函数为y2sinx-
π3
ππ
22
-12x1
9设fxlnx函数x的反函数x则
x-1
·8·
f[x]
x2
解ln
x-2
2x1y2x2
由y得x知x所以
x-1y-2x-2
x2
f[x]ln
x-2
2
xx≤0
10设fx3的反函数是x则4
-xx0
解-2
2
因为当x≤0时yx所以y≥0x-y
33
又因为当x0时y-x所以y0x-y
-xx≥0
即x3故4-4-2
-xx0
二单项选择题
x2x≤-2
1设fxx9-2x2则下列各式中不成立的
x
2x≥2
是
Af-2f2Bf1f4
Cf-1f3Df0f-3
解选B
因为f-3-329f-2-224f-1-1
23
98f09f110f224f328f4
4
216显然f1≠f4
2已知函数fx的定义域为[-12]则函数Fxfx2
f2x的定义域为
A[-30]B[-31]
·9·
11
C-1D-0
22
解选D
因为fx的定义域为[-12]故有
-3≤x≤0
-1≤x2≤2
即1
-1≤2x≤2-≤x≤1
2
1
所以Fx的定义域为-0
2
x2x≤02-cosxx≤0
3设fxx则
lnxx01-xx0
[f-1]
A0B1
C2-cos1Dln2-cos1
解选A
因为f-11[f-1]11-10故选A
22
4函数fxlnxax-lna是
A偶函数B奇函数
C非奇非偶函数D奇偶言取决于a值
解选B
22
因为f-xln-xax-lna
2
a22
ln22-lna2lna-lnxax-lna
xax
22
-[lnxax-lna]-fx
5使等式arcsinsinxx成立的所有x为
A-∞∞B[-11]
ππ
C-D-ππ
22
解选C
ππ
因为-≤arcsiny≤令xarcsiny则ysinx于是得
22
·10·
ππ
到-≤x≤时有
22
xarcsinyarcsinsinx
6函数fxx2-∞x∞是
1x
A有界函数B无界函数
C上无界下有界D上有界下无界
解选A
222x
因为x-1≥0即x1≥2x2≤1所以
1x
xx2x
22≤2≤1故fx-∞x∞是有
1x1x1x
界函数
11-x
7函数ye-∞x∞是
2
A单调增函数B单调减函数
C非单调函数D有界函数
解选B
11-xe-x
因为y2e2e显然由图形可知为单调减函数
8函数fx在-∞∞有定义则对任意的xy
有fxyfxfyf12则f2
A-2B-1
C-4D4
解选D
由fxyfxfy
得f11f1f1224即f24
9下列各对函数中为相同函数的是
32
Afxxx-1fxx-x
12
Bfxarcsinsinxfxx
12
2
Cfx1-cos2xfx2sinx
12
2
Dfxlnxfx2lnx
12
·11·
解选C
因AD中两函数的定义域不同B中两函数的对应规律不同例
3π33
如fπ-fππ
122222
10设fxx在-∞∞上有定义且fx为奇函数
x为偶函数则[fx]为
A奇函数B偶函数
C非奇非偶函数D有界函数
解选B
因为[f-x][-fx][fx]故[fx]为偶函
数
11已知偶函数fx在[04]上是单调增函数则f-π与
flog18的大小关系是
2
Af-πflog18Bf-πflog18
22
Cf-πflog18D不能确定
2
解选C
因为fx为偶函数且在[04]上是单调增函数故fx在[-
-3
1
40]上是单调减函数又log18log1-3-π故f-π
222
flog18
2
12下列函数中为周期函数的是
2
Aysi
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