中考数学压轴题定值问题.docx
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中考数学压轴题定值问题
【中考数学压轴题】
•、乘积、比值类型
定值问题
7分
1.(2009•株洲)如图,已知△ABC为直角三角形,/ACB=90°AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
(1)求点A的坐标(用m表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结PQ并延长交BC于点E,连结BQ并延长交AC于点F,试证明:
FC(AC+EC)为定值.
解析:
(1)由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC为等腰直角三角形,
AC=BC=m,OA=m-3,所以点
(2)tODA"OAD=45
.OD=OA=m-3,则点D的坐标是(
又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D,
2
y=a(x-1),得:
a(3-1)=m解得ai
a(0-1)2=m-3m=4
.抛物线的解析式为y=x2-2x•1
(3)过点Q作QM_AC于点M,过点Q作QN_BC于点N,设点Q的坐标是(x,x2-2xT),则QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x.
2
•/QM//CE/..PQMs.:
PEC.型=空即(x-1)_x-1,得EC=2(x—1)
ECPCEC2
•/QN//FC/•BQNs.BFC.QN即3~x_4-(x_1)2,得fc二丄
FC一BCFC4x+1
4
又•••AC=4.FC(ACEC)[42(x-1)]二
x+1
二、定长、定角、定点、定值类型
1.(2011?
东营)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,1),点D
1
是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线y=—^-x+b交折线OAB于点E.
(1)记厶ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,且tan/DEO=<-.若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形
O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
考点:
一次函数综合题。
>
分析:
(1)要表示出△ODE的面积,卄”
要分两种情况讨论,①如果点E在OABC
边上,只需求出这个三角形的底边OE
长(E点横坐标)和高(D点纵坐标),_\
代入三角形面积公式即可;②如果点?
-
3
此时E(-3,b—2-),D(2b-2,1),
+~YX3(b—
115
•S=S矩—(ocd+Saoae+Sadbe)=3—[_2-(2b—2)^+_2-x(5—2b)?
(—b)
3、-52
2)]=2b—b,
『3
bcb2兰一
S=■=
2.
I?
5235
—b—b2(— 222 (2)如图3,设0识1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积. 由题意知,DM//NE,DN//ME,•四边形DNEM为平行四边形,根据轴对称知,/MED=/NED, 又/MDE=/NED, •/MED=/MDE,•MD=ME, •平行四边形DNEM为菱形.过点D作DH丄OA,垂足为H, 1 由题勿知,...=,DH=1,—HE=2, 2 设菱形DNEM的边长为a,则在Rt△DHN中,由勾股定理知: a2=(2—a)2+12, 5^__5 …a=',•S四边形dnem=NE? DH=. 44 •矩形OA伯1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为据P、Q两点的运动速度,结合运动时间t,求出DQ、CP的长度表达式,解方程即可; (2)PH的长度不变,根据P、Q两点的速度比,即可推出QD: BP=1: 2,根据平行线的性质推出 三角形相似,得出相似比,即可推出PH=20. 解答: 解: (1)vAD//BC,BC=20cm,AD=10cm,点P、Q分别从B、D两点同时出发,点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动,点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动, •••DQ=t,PC=20-2t, •••若四边形PCDQ为平行四边形,则DQ=PC, •20-2t=t,解得: 上=乎; (2)线段PH的长不变, •••AD//BH,P、Q两点的速度比为2: 1,二QD: BP=1: 2, •QE: EP=ED: BE=1: 2, •/EF//BH,•ED: DB=EF: BC=1: 3, •PH=20cm. 点评: 本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质,解题的关键在于求得DQ和PC的长度表达式,推出DQ和PC的长度比为1: 2. 3.(2011? 广州)已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0) (1)求c的值; (2)求a的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点,设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点卩,记厶PCD的面积为S,,△PAB的面积为,当0vav1时,求证: S1-S2为常数,并求出该常数. 考点: 二次函数综合题;解一元一次方程;解二元一次方程组;根的判别式;根与系数的关系;待定系数法求一次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;抛物线与x轴的交点;相似三角形的判定与性质。 专题: 计算题。 分析: (1)把C(0,1)代入抛物线即可求出c; (2)把A(1,0)代入得到0=a+b+1,推出b=—1—a,求出方程ax2+bx+1=0,的b2—4ac的值即可; 1+a11_a (3)设A(a,0),B(b,0),由根与系数的关系得: a+b=,ab=—,求出AB=,把y=1 aaa 代入抛物线得到方程ax2+(—1—a)x+仁1,求出方程的解,进一步求出CD过P作MN丄CD于M, PMCD 交x轴于N,根据△CPDBPA,得出=..,求出PN、PM的长,根据三角形的面积公式即可求出3—S2的值即可. 解答: (1)解: 把C(0,1)代入抛物线得: 1=0+0+c,解得: c=1,答: c的值是1. (2)解: 把A(1,0)代入得: 0=a+b+1, 2 •b=—1—a,ax+bx+1=0, b2—4ac=(—1—a)2—4a=a2—2a+1>0, --a工1且a>0, 答: a的取值范围是a^l且a>0; 即不论a为何只,0—Q的值都是常数. 答: 这个常数是1. 点评: 本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,解二元一次方程组,解一元一次方程,相似三角形的性质和判定,根的判别式,根与系数的关系,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数与x轴的交点等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,题型较好,难度适中. 4.(2011? 株洲)孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(av0)的 性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、 B两点,请解答以下问题: (1)若测得OA=OB=2Q2(如图1),求a的值; (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF丄x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标; (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经 过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标. 解: (1)设线段AB与y轴的交点为C,由抛物线的对称性可得C为AB中点, T0A=0B=22,AOB=90, •AC=OC二BC=2, •-B(2,-2) 将B(2,-2)代入抛物线y=ax2(av0)得,a=丄 2 (2)解法一: 过点A作AE_x轴于点E, v点B的横坐标为1, 二BF二一 又.AOB二90,易知AOE二OBF,又.AEO二OFB二90, •••△AEOOFB, •AE=OF=1=2•ae=20E5分 OE-帝"T- 2 、12112 设点A(—m,—m)(m>0),则OE=m,AE=丄m2,•—m=2m 222 •m=4,即点A的横坐标为-4.6分 解法二: 过点A作AE_x轴于点E, 一1 T点B的横坐标为1,•B(1,),4分 2 _OF1 …tan三OBF2 BF1 2 vAOB=90,易知AOE二.OBF, AE tanZAOE=tan./OBF=2,.・.AE=2OEOE 、121212设点A(-m,—一m)(m>0),则OE=m,AE=—m,•—m=2m 222 (3)解法一: 设A(-m,-1m2) 2 (m>0),B(n 12n 2 )(n0), 设直线AB的解析式为: y=kx•b, rr-mkb 则 12m 2 (1) nk亠b= 12n 2 (2) •m=4,即点A的横坐标为-4.6分 7分 11 (1)n (2)m得,(mn)b(m2nmn2)mn(mn),•b 22 1mn 2 又易知△AEOOFB, 2 AEOE0.5mm'八 •2,•mn=49分 OFBFn0.5n2 •b=-14=-2•由此可知不论k为何值,直线AB恒过点(0,-2) 2 10分 解法二: 设A(-m,-! m2 2 m>0),B(n,_丄门2)(n>0), 2 直线AB与y轴的交点为C,根据Saob 二S梯形ABFE-SPOE-S;B0F二SAOC'SBOC,可得 nn2JOCm1OCn, 222 化简,得 1OCmn. 2 穿缶,•mn=4 10分 •••OC=2为固定值•故直线AB恒过其与y轴的交点C(0,-2) 说明: mn的值也可以通过以下方法求得 由前可知, _22〔422〔42212122 OA2=m2m4,OB2=n2n4,AB2=(m亠n)2」(m2n2), 4422 由OA? OB? =AB? ,得: (m2亠】m4)亠(n2亠1n4)=(m亠n)2亠(-】m2亠1n2)2, 4422 化简,得mn=4. 5.(2011? 可北)如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的 速度运动t秒(t>0),抛物线y=x+bx+c经过点O和点P,已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0). (1)求c,b(用含t的代数式表示): (2)当4VtV5时,设抛物线分别与线段AB,CD交于点M,N. 1在点P的运动过程中,你认为/AMP的大小是否会变化? 若变化,说明理由;若不变,求出/AMP的值; 2求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,要S=^; 8 (3)在矩形ABCD的内部(不含边界),把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”•若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分,请直接写 出t的取值范围. 考点: 二次函数综合题。 分析: (1)由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P,将点O与P的坐标代入方程即可求得c,b; (2)①当x=1时,y=1—t,求得M的坐标,则可求得/AMP的度数, ②由S=S四边形amnp—Safam=Sadpn+S梯形ndam—S^pam,即可求得关于t的二次函数,列方程即可求得t 的值;(3)根据图形,即可直接求得答案. 2 解答: 解: (1)把x=0,y=0代入y=x+bx+c,得c=0,再把x=t,y=0代入y=x+bx,得t+bt=0, *•*t>0,「・b=—t; (2)①不变. 如图6,当x=1时,y=1—t,故M(1,1—t), 1 (t—4)(4t—16)(4t—16)+(t—1)]>3 •/tan/AMP=1,•/AMP=45° 13215小 2-(t-1)(t-1)=-tt+6. 解孑t2-字上+6=辛,得: "4-,t2=9 19 •••4 子 23 此题考查了二次函数与点的关系,以及三角形面积的求解方法等知识•此题综合性很强,难度解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用. F。 (1) 交占 八、、 (2) 1.(2011? 莆田)已知菱形ABCD边长为1./ADC=60°等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、 特殊发现: 如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证: 菱形ABCD对角线AC、BDO即为等边△AEF的外心; 若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P. 1猜想验证: 如图2•猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明; 2拓展运用: 如图3,当厶AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC 11 的延长线于点N,试判断〒矿+—是否为定值.若是.请求出该定值;若不是.请说明理由。 DMDN 25.解: (1)证明: 如图I,分别连接OE、OF •••四边形ABCD是菱形 •••AC丄BD,BD平分/ADC.AO=DC=BC •••/COD=/COB=/AOD=90° 11 /ADO="2-/ADC=~2->60°30° •••/PIE=/PJD=90°,•••/ADC=60° •••/IPJ=360°-ZPIE-/PJD-ZJDI=120° •••点P是等边△AEF的外心,•••/EFA=120°,PE=PA, •ZIPJ=ZEFA,.・.ZIPE=ZJFA •△PIE◎△PJA,•PI=PJ •••点P在ZADC的平分线上,即点P落在直线DB上。 11②亦+贡为定值2. 当AE丄DC时.△AEF面积最小, 此时点E、F分别为DC、CB中点. 连接BD、AC交于点卩,由 (1) 可得点P即为△AEF的外心[来自中" 解法一: 如图3.设MN交BC于点G 设DM=x,DN=y(x^0沪O)贝UCN=y—1 •/BC//DAGBPs^MDP.•BG=DM=x. •/BC//DAGBPNDM CNCGy—11—x •市=亦,•〒==•x+y=2xy •丄+丄=2即一1—+—1—=2 xy2'即DMDN2 •OE^2~CD,OFn-^BC,AO=*AD •OE=OF=OA•••点O即为△AEF的外心。 (2)①猜想: 外心P一定落在直线DB上。 证明: 如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI丄CD于I,PJ丄AD于J
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