24.1.2.垂径定理.ppt

24.1.2.垂径定理.ppt

《24.1.2.垂径定理.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《24.1.2.垂径定理.ppt（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

课课题题1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形；2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；4.提高学习过程中的“动手操作”能力，培养合作学习的意识和对知识探索精神.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题，体会垂径定理的实际应用,感受数学的价值和魅力;4.提高学习过程中的“动手操作”能力，培养合作学习的意识和对知识探索精神.目标引入同学们,我们都明白在家庭中父在家庭中父母的地位同等重要母的地位同等重要，今天我们来共同欣赏一个故事。

今年中秋之夜，一家人坐在一起，吃着月饼，欣赏着天上的圆月，在这良辰美景之下，有这样一位同学，把自己仅有的一个月饼给他的父母，这看似微不足道的小礼品，却包含了身上地爱意，表达了他对父母亲的一片孝心.同学们，你知道这位同学是谁吗？

你认为这位同学应该怎样分给他的父母呢？

怎样才叫平分？

分小组讨论汇报！

分小组讨论汇报！

你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？

在折的过程中你有何发现？

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.上与下重合上与下重合向向下下折折叠叠折一折实际上折叠成半圆重合了，说明折痕过圆心实际上折叠成半圆重合了，说明折痕过圆心.要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在的直线（对称轴）的对称点也在圆上.如图，设CD是O的一条直径，A为O上的任意一点.过点A作AACD，交O于点A，垂足为M，连接OA，OA在OAA中，OA=OA，OAA是等腰三角形，又AACD，AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.所以所以对于于圆上任意一点上任意一点A，在，在圆上都有关上都有关于直于直线CD的的对称点称点A，因此，因此O关于直关于直线CD对称称.即即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆圆的对称轴的对称轴实践探究结合前面的“探究”，在条件不变的前提下你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?

线段:

弧:

理由如下：

连接AO,AO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点A重合.AM=AM弧弧AC与与AC重合重合.AM与与AM重合重合,弧弧AC与与AC重合重合,那么如何来叙述这个结论呢？

探究延伸垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径，CDABAE=BE,推理格式：

温馨提示：

垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.小结判断说理由：

下列图形是否具备垂径定理的条件？

如果不是，请说明为什么？

是不是因为没有垂直是不是因为CD没有过圆心介绍：

能运用垂径定理的几个基本图形加深理解如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

.过圆心；.垂直于弦；.平分弦；.平分弦所对的优弧;.平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

已知:

求证：

.CD.CD是直径是直径.CDAB.CDAB，垂足为，垂足为EE.AE=BE.AE=BE结合示意图写出五个条件：

结合示意图写出五个条件：

举例证明其中一种组合方法.CD.CD是直径是直径.AE=BE.AE=BE.CDAB.CDAB猜想思考如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.CDAB吗？

为什么？

.弧AC与弧BC相等吗？

弧AD与弧BD相等吗？

为什么？

.由垂径定理可得:

.CDAB.理由如下：

又AE=BEAEO=BEO=90CDAB.AOEBOE（SSS）略解：

连接AO,BO,则AO=BO,垂径定理垂径定理的推论的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.思考：

“不是直径”这个条件能去掉吗？

如果不能，请举出反例.证明举例实际上就是“.过圆心”和“平分弦”来推证.垂径定理及其推论：

垂径定理及其推论：

.过圆心；过圆心；.垂直于弦；垂直于弦；.平分弦；平分弦；.平分劣弧；平分劣弧；.平分优弧平分优弧.ABAB是直径，是直径，ABDCABDCABAB是直径，是直径，ABAB平分弦平分弦CDCD（弦（弦CDCD不是直径）不是直径）归纳总结例例1.如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径略略解：

解：

答：

O的半径为5cm.OEAB,且O为圆心在RtAOE中，变式练习：

如例1图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.16连接OA典例1例2如图,O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.略解：

连接半径OA.设OC=xcm，则OD=x-2,由勾股定理，得：

解得x=5即半径OC的长为5cm.x2=42+（x-2）2CEAB于D变式：

如图一圆的弦AB8cm，C为弧AB的中点，CDAB于D，CD2cm，求此圆的半径长.略析：

延长CD交圆交圆于点E.根据垂径定理的推论容易证明CE过圆心，这里设为点O,连接OA,然后按例2方式解答.此圆的半径为5cm典例2例3.已知：

O中弦ABCD；证明：

作直径MNAB.典例3求证：

（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）ABCD，MNCD.变式：

O的半径为13cm,AB、CD是O的两条弦，且弦ABCD，AB=24cm,CD=10cm；求AB与CD之间的距离.提示:

两种情况，如图见辅助线.同学们完成书面解答解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.小结与练习1.下列命题中：

.垂直平分弦的直径经过圆心；.平分弦的直径一定垂直于弦；.同圆中，两平行弦所夹的两条弧相等；.垂直于弦的直径必平分弦所对的弧.其中正确的（）AA.B.C.D.练习（续）2.下列说法不正确的是（）A.经过弦所对的两条弧的中点的直线是圆的对称轴B.经过圆心的直线是圆的对称轴C.垂直于弦的直径所在且直线是圆的对称轴D.垂直平分半径的直线是圆的对称轴5.O的直径为20cm,AB、CD是O的两条弦，且弦ABCD，AB=16cm,CD=12cm；求AB与CD之间的距离.D1cm3x56.如图，在半径为5的O,AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8,求OP的长？

参照前面例3的两种辅助线方法解答.2cm或或14cm例例1.（新人教版九年级数学上册新人教版九年级数学上册82页例页例2）赵州桥是前我国隋代建造的石拱桥,距今约1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m.求赵洲桥主桥的半径求赵洲桥主桥的半径.（结果保留小数点后一位）（结果保留小数点后一位）应用例1略析：

由于拱桥的主桥是一个圆弧形，再加上告诉了弦长（跨度）略析：

由于拱桥的主桥是一个圆弧形，再加上告诉了弦长（跨度）和弓形高（拱高），所以可以利用垂径定理把问题转化在直角三和弓形高（拱高），所以可以利用垂径定理把问题转化在直角三角形中，根据勾股定理建立方程解决角形中，根据勾股定理建立方程解决.解:

如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得R27.3（m）即主桥拱半径约为27.3m.应用例1解答在在圆中，垂径定理和勾股定理是好姐妹！

中，垂径定理和勾股定理是好姐妹！

例例2.如图，某地有一座圆弧形的拱桥，巧下面宽7.2m，拱顶高出水面2.4m；现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？

请说明理由.略析：

主要是垂径定理和勾股定相结合起来计算出NF、HD、ME并与货船高出水面的高度（2m）进行比较.略解：

设O的半径为R，在RtAOD中有：

能顺利通过.理由如下：

解得：

R=3.9若HN=1.5,在RtOHN中计算：

OD=OC-DC=3.9-2.4=1.5DH=OH-OD-=3.6-1.5=2.1NF=MH=DE=2.12此船能顺利通过.应用例22.如图,有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60米，拱桥高为18米，当洪水泛滥到水面跨度只有30米时，就要采取紧急措施；若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否需要采取紧急措施？

追踪练习辅助线提示.略解：

不用采取紧急措施易证点P、N、M、0共线1.如图,已知一个圆弧形门拱的拱高为1m，跨度AB为4m,则这个门拱的半径为.2.5m在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：

方法归纳综合运用例1例例1.如图，AB为O的直径，从圆上一点C作弦CDAB,OCD的平分线交O于点P；求证：

略析：

略析：

证明两段弧相等，可以考虑用垂径定理，本题连接AP后,证明POAB后问题便解决了.略证：

略证：

OP=OC1=3CP平分OCD1=22=3CDOPCDABPOABO为O的圆心连接AP例例2.如图，P为O的直径AB延长线上的一点，PD交O于点C；若；求O的直径.略析：

要求O的直径可以转化为求半径.若过圆心作已知弦的垂线段，再连接半径，把问题化归在直角三角形中，利用垂径定理和勾股定理问题便解决了.略解：

过点O作OEPD于点E,连接APRtOEP中,P=30OP=2OE在RtOEP中有：

即则在RtOED中根据勾股定理有：

则O的直径为综合运用例21.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为.5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30则弦AC=_.巩固练习13.如图，O的直径AB=12,CD是O的弦，CDAB,垂足为P；且BP:

AP=1:

5;则CD的长为.4.如图，以点O的为圆心的两个圆中径，大圆的弦交小圆于点C、D；已知AB=4，CD=2,点O到弦AB的距离等于1，那么这两个圆的半径之比为.5.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为（4,2）,点A的坐标为（2,0）,则B的坐标为圆.8.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD,点O是弧CD的圆心）,其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.10巩固练习27.如图，点A、B是O上的两点，点P是O上的动点连接AP、PB，过点O分别作OCAP于点C,ODPB于点D，则CD=.545m6.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的O交于G、B、F、E，若GB=8cm,AG=1cm,DE=2cm;求EF的长为.6cm9.半径为5，以点O为圆心的O与x轴交于A（2,0）,B（10,0）,.求出圆心O的坐标；.求经过这三点的二次函数图象的解析式.本题需分类讨论，见示意图提示，请同学们课外完成书面解答谈谈收获！

垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:

过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：

连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形作业布置作业布置书面作业：

书面作业：

再再见见！

1.1.书上书上8383页练习页练习11、22题；题；2.89-902.89-90页页11、22、77、99题；题；课外探究：

课外探究：

实践与探究实践与探究8888、9292页的页的“拓展与探究拓展与探究”