13.1.2线段垂直平分线.ppt
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概念复习概念复习轴对称图形的概念是什么?
轴对称图形的概念是什么?
两个图形轴对称的概念是什么?
两个图形轴对称的概念是什么?
ACBABCNM思考:
如图,思考:
如图,ABC与与ABC关于直线关于直线MN对称,点对称,点A,B,C分别为点分别为点ABC的对的对称点,线段称点,线段AA,BB,CC与直线与直线MN有什有什么关系?
么关系?
PMPA=MPA=90AP=PA对称轴所在直对称轴所在直线经过对称点线经过对称点所连线段的中所连线段的中点,并且垂直点,并且垂直于这条线段于这条线段经过线段经过线段中点中点并且并且垂直垂直于这条线段的于这条线段的直线,叫做这条线段的直线,叫做这条线段的垂直垂直平分平分线线ACBABCNM如果两个图形关于某条直线对称,那么对称如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线llAAAA轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线连线段的垂直平分线ABP3P2P1ll如左图,木条如左图,木条L与木条与木条AB钉在一起,钉在一起,L垂直于垂直于AB,P1、P2、P3是是l的点,分别量一量点的点,分别量一量点P1、P2、P3到与到与B的距离,你有什么发现的距离,你有什么发现?
猜想:
猜想:
线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等点到这条线段两个端点距离相等.已知已知:
如图如图,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点.求证求证:
PA=PB.:
PA=PB.ACBPMNACBPMN已知已知:
如图如图,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点.求证求证:
PA=PB.:
PA=PB.证明:
证明:
MNAB,PCA=PCB=90在在APC与与BPC中中PC=PC(公共边)(公共边)PCA=PCB(已证)(已证)AC=BC(已知)(已知)PCAPCB(SAS);PA=PB(全等三角形的对应全等三角形的对应边相等边相等)这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.线段垂直平分线线段垂直平分线的性质的性质:
线段垂:
线段垂直平分线上的点直平分线上的点到这条线段两个到这条线段两个端点距离相等端点距离相等.wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等).).基础闯关基础闯关如图如图,已知已知AB是线段是线段CD的垂直平的垂直平分线分线,E是是AB上的一点上的一点,如果如果EC=7cm,那么那么ED=cm;如果如果ECD=600,那么那么EDC=0.EDABC760如果有一个点到线段两个端点的如果有一个点到线段两个端点的距离相等,那么这个点在这条线段的距离相等,那么这个点在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上即到线段两个端点的距离相等的点在即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上如果把这个命题反过来说,还成立吗?
如果把这个命题反过来说,还成立吗?
你能证明这个结论吗?
你能证明这个结论吗?
已知:
线段已知:
线段AB,点,点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求证:
求证:
P点在点在AB的的垂直平分线上垂直平分线上证明:
过点证明:
过点P作已知线段作已知线段AB的垂的垂线线PC,PCA=PCB=90在在RtPACRtPBC中中PA=PB,PC=PC(公共边),(公共边),RtPACRtPBC(HL)CBPAAC=BC(全等三角形(全等三角形对应角相等)对应角相等)即,即,P点在点在AB的垂直平的垂直平分线上分线上证法二:
证法二:
取取AB的中点的中点C,连接,连接P,CAPC与与BPC中中AP=BPPC=PCAC=CBAPCBPC(SSS)BPA已知:
线段已知:
线段AB,点,点P是平面内一点是平面内一点且且PA=PB求证:
求证:
P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上CPCA=PCB(全等三角形全等三角形的对应角相等的对应角相等)又又PCA+PCB=180PCA=PCB=90即即PCABP点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上线段垂直平分线的判定:
线段垂直平分线的判定:
定理:
定理:
到线段两个端点的距离相到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上等的点在这条线段的垂直平分线上PA=PB(已知已知),点点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两到一条线段两个端点距离相等的点个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平在这条线段的垂直平分线上分线上).回味无穷w线段垂直平分线性质线段垂直平分线性质定理定理w线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等相等.w符号语言符号语言,wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一点上任意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等端点距离相等).).w线段垂直平分线判定线段垂直平分线判定定理定理到一条线段两个端点距到一条线段两个端点距离相等的点离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上.w符号语言符号语言,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点PP在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).小结拓展ACBPMN二、判定:
二、判定:
到到线段两个端点距离相等的点,在这条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线线段的垂直平分线一、性质:
一、性质:
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
点的距离相等。
PA=PB点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上平分线上到线段两个端点距离相等的点,到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等三、三、线段的垂直平分线的集合定义:
线段的垂直平分线的集合定义:
线段的垂直平分线可以看作是到线线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合段两上端点距离相等的所有点的集合任何图形都是有点组成的。
因任何图形都是有点组成的。
因此我们可以把图形看成点的集此我们可以把图形看成点的集合。
由上述定理和判定,线段合。
由上述定理和判定,线段的垂直平分线可以看作符合什的垂直平分线可以看作符合什么条件的点组成的图形?
么条件的点组成的图形?
判断判断(11)如图,)如图,CDCDABAB于于DD,则,则ACACBCBC。
(。
()ABCDABCD判断判断(11)如图,)如图,CDCDABAB于于DD,则,则ACACBCBC。
(。
()ABCDABCD(22)如图,)如图,ADADBDBD,则,则ACACBCBC。
(。
()如如图图,AB,AB是是ABCABC的的一一条条边边,DEDE是是ABAB的的垂垂直直平平分分线线,垂垂足足为为EE,并并交交BCBC于于点点DD,已已知知AB=8cm,BD=6cm,AB=8cm,BD=6cm,那么那么EA=_,DA=_.EA=_,DA=_.ABEDC
(1)4cm6cmMN是是AB的垂直平分线,的垂直平分线,EF是是BC垂直平分垂直平分线。
线。
PA与与PC是否相等,为什么?
是否相等,为什么?
MMEEPPAABBCCFFN如图,在如图,在ABCABC中,中,AB=AC=16cmAB=AC=16cm,ABAB的垂直平的垂直平分线交分线交ACAC于于DD,如果,如果BC=10cmBC=10cm,那么,那么BCDBCD的周的周长是长是_cm._cm.ABCDE
(2)26如图,已知点如图,已知点DD在在ABAB的垂直平分线上,如果的垂直平分线上,如果AC=5cm,BC=4cm,AC=5cm,BC=4cm,那么那么BDCBDC的周长是(的周长是()cmcm。
ADEBCMNA.6B.7C.8D.99你能找到图中相等的角吗你能找到图中相等的角吗?
如图,在如图,在ABCABC中,中,C=90C=90,ABAB的中垂线的中垂线DEDE交交BCBC于于DD,交,交ABAB于于EE,连接,连接ADAD,若,若ADAD平分平分BACBAC,找出图,找出图中相等的线段,并说说你的理由。
中相等的线段,并说说你的理由。
解:
解:
AB的中垂线的中垂线DE交交BC于于D,交交AB于于E,EB=EA,DB=DA;AD平分平分BAC,DCAC,DEAB,DC=DEAC=AEDAB=ABC=DAC,13.1线段的垂直平分线线段的垂直平分线例例1已知已知:
如图如图,在在ABC中中,边边AB,BC的垂直平分线交于的垂直平分线交于P.求证:
求证:
PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点点P在线段在线段BC的的垂直平分线上垂直平分线上PA=PB点点P在线段在线段AB的的垂直平分线上垂直平分线上分析:
结论:
结论:
三角形三边垂直平分线交于一点,三角形三边垂直平分线交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等。
这一点到三角形三个顶点的距离相等。
已知已知:
如图如图,在在ABC中中,边边AB,BC的垂直平分的垂直平分线交线交于于P.求证:
求证:
PA=PB=PC;证明:
证明:
点点P在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN上,上,PA=PB().同理同理PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNP已知已知:
如图如图,在在ABCABC中中,AB,AB、BCBC的中垂的中垂线交于点线交于点OO,那么点,那么点OO在在ACAC的中垂线上吗?
的中垂线上吗?
为什么?
为什么?
BACMNEFO开启智慧这点这点O是三角是三角形的形的心,心,它到三角形三它到三角形三个顶点的距离个顶点的距离相等相等外外例例如图,点如图,点A和点和点B关于某条直线成轴关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗?
对称,你能作出这条直线吗?
想一想,做一做想一想,做一做用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线已知:
线段已知:
线段AB求作:
线段求作:
线段AB的垂直平分线的垂直平分线作法:
作法:
1分别以点分别以点A和和B为圆心,以为圆心,以大于大于AB的长为半径作弧,两弧相的长为半径作弧,两弧相交于点交于点C和和D2作直线作直线CD直线直线CD就是线段就是线段AB的垂直平分的垂直平分线线DCBA练习练习1如图,已知点如图,已知点A、点、点B以及直线以及直线l,在直线,在直线l上求上求作一点作一点P,使,使PAPB提示:
连结AB,作AB的垂直平垂直平分线,交直线分线,交直线l于于P,点点P就是所求就是所求的点。
的点。
2如图,已知AECE,BDAC求证:
ABCDADBC证明:
AECE,BDACBA=BCDA=DC(线段的垂直平分线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的线上的点到这条线段的两个端点的距离相等距离相等)BA+DA=BC+DC3如图,在ABC上,已知点D在BC上,且BDADBC求证:
点D在AC的垂直平分线上证明:
BDADBCAD=BC-BD=CD点D在AC的垂直平分线上(到一条线段两个端到一条线段两个端点距离相等的点点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上)3如图,AB=AC,MB=MC上,求证:
直线AM是线段BC的垂直平分线上BACM东城新区政府为了方便居民东城新区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区的生活,计划在三个住宅小区AA、BB、
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- 13.1 线段 垂直平分线
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