二分图匹配题目类型总结.docx
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二分图匹配题目类型总结
二分图匹配题目类型总结
二分图最大匹配的匈牙利算法
二分图是这样一个图,它的顶点可以分类两个集合X和Y,所有的边关联在两个顶点中,恰好一个属于集合X,另一个属于集合Y。
最大匹配:
图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配:
如果所有点都在匹配边上(x=y=m),称这个最大匹配是完美匹配。
最小点覆盖:
(二分图)最小覆盖要求用最少的点(X集合或Y集合的
都行)让每条边都至少和其中一个点关联。
可以证明:
最少的点(即覆盖数)=
最大匹配数。
支配集:
(二分图)最小点覆盖数+孤立点
最小边覆盖:
找最大匹配(注意可能是任意图最大匹配)m
则有2*m个点被m条两两不相交的边覆盖。
对于剩下的n-2*m个点,每个点用
一条边覆盖,总边数为n-m条;
最小路径覆盖:
用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图G的所有结点。
解决此类问题可以建立一个二分图模型。
把所有顶点i拆成两个:
X结点集中的i和Y结点集中的i',如果有边i->j,则在二分图中引入边i->j',设二分图最大匹配为m,则结果就是n-m。
最大独立集问题:
(二分图)n-最小点覆盖;
任意图最大匹配:
(没有奇环)转换为二分图:
把所有顶点i拆成两个:
X结点集中的i和Y结点集中的i',如果原图中有边i->j,则在二分图中引入边i->j',j->i’;设二分图最大匹配为m,则结果就是m/2。
最大完全子图:
补图的最大独立集
三大博弈问题
威佐夫博奕(WythoffGame):
有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。
我们用(ak,bk)(ak≤bk,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经输了,这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是:
(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20)。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk=ak+k,奇异局势有
如下三条性质:
1。
任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中。
由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak>ak-1,而bk=ak+k>ak-1+k-1=bk-1>ak-1。
所以性质1。
成立。
2。
任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势。
事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势。
如果使(ak,bk)的两个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势。
3。
采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势。
假设面对的局势是(a,b),若b=a,则同时从两堆中取走a个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a=ak,b>bk,那么,取走b-bk个物体,即变为奇异局势;如果a=ak,b 从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜。 那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢? 我们有如下公式: ak=[k(1+√5)/2],bk=ak+k(k=0,1,2,...,n方括号表示取整函数) 奇妙的是其中出现了黄金分割数(1+√5)/2=1。 618...,因此,由ak,bk组成的矩形近似为黄金矩形,由于2/(1+√5)=(√5-1)/2,可以先求出j=[a(√5-1)/2],若a=[j(1+√5)/2],那么a=aj,bj=aj+j,若不等于,那么a=aj+1,bj+1=aj+1+j+1,若都不是,那么就不是奇异局势。 然后再按照上述法则进行,一定会遇到奇异局势。 巴什博奕(BashGame): 只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个。 最后取光者得胜。 显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。 因此我们发现了如何取胜的法则: 如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。 总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。 这个游戏还可以有一种变相的玩法: 两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十个,谁能报到100者胜 尼姆博奕(NimmGame): 有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜。 这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失败。 第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0)。 仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号(+)表示这种运算。 这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0。 先看(1,2,3)的按位模2加的结果: 1=二进制01 2=二进制10 3=二进制11(+) ——————— 0=二进制00(注意不进位) 对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0。 任何奇异局势(a,b,c)都有a(+)b(+)c=0。 如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢? 假设a a(+)b(+)(a(+)b)=(a(+)a)(+)(b(+)b)=0(+)0=0。 要将c变为a(+)b,只要从c中减去c-(a(+)b)即可。 例1。 (14,21,39),14(+)21=27,39-27=12,所以从39中拿走12个物体即可达到奇异局势(14,21,27)。 例2。 (55,81,121),55(+)81=102,121-102=19,所以从121中拿走19个物品就形成了奇异局势(55,81,102)。 例3。 (29,45,58),29(+)45=48,58-48=10,从58中拿走10个,变为(29,45,48)。 例4。 我们来实际进行一盘比赛看看: 甲7,8,9)->(1,8,9)奇异局势 乙1,8,9)->(1,8,4) 甲1,8,4)->(1,5,4)奇异局势 乙1,5,4)->(1,4,4) 甲1,4,4)->(0,4,4)奇异局势 乙0,4,4)->(0,4,2) 甲0.4,2)->(0,2,2)奇异局势 乙0,2,2)->(0,2,1) 甲0,2,1)->(0,1,1)奇异局势 乙0,1,1)->(0,1,0) 甲0,1,0)->(0,0,0)奇异局势 甲胜。 ConvexHull3D 描述 Givennpointsin3Dspace,countthenumberoffacesoftheirconvexhull.Intheconvexhull,notwofacescanbecoplanar. 输入 ThefirstlinecontainsasingleintegerT(1≤T≤100),thenumberoftestcases.Eachtestcasebeginswithalinecontainingasingleintegern(4≤n≤1000),thenumberofpoints. Inthefollowingnlines,eachcontainsthreeintegersx,y,z(-1000≤x,y,z≤1000),thecoordinatesofeachpoint. 输出 Foreachtestcase,printthecasenumberandthenumberoffaces.Iftheconvexhullisempty(allthepointslieinasingleplane),output0. 样例输入 3 4 100 010 001 000 4 000 010 110 100 9 000 020 220 200 002 022 222 202 111 样例输出 Case1: 4 Case2: 0 Case3: 6 #include #include #include #include #include #include usingnamespacestd; #definetypedouble constintmaxn=1005; constintnotexist=-1; constdoubleeps=1e-8; structPoint { typex,y,z; voidoperator-=(Pointother){ x=x-other.x; y=y-other.y; z=z-other.z; } booloperator<(Pointother)const{ if(x! =other.x)returnx if(y! =other.y)returny returnz } booloperator==(Pointother)const{ returnfabs(x-other.x)+fabs(y-other.y)+fabs(z-other.z) } }; Pointp[maxn];//storethesetofpoints intn;//numberofpoints intf[10*maxn][3];//storethefaces intfc;//numberoffaces boolR[maxn][maxn];//(i,j,R[i][j])isaface typedelta3d(constPoint&A,constPoint&B,constPoint&C) { returnA.x*(B.y*C.z-B.z*C.y) -A.y*(B.x*C.z-B.z*C.x) +A.z*(B.x*C.y-B.y*C.x); } typecross2d(PointA,PointB,PointC) { typea,b,c; B.x-=A.x; B.y-=A.y; B.z-=A.z; C.x-=A.x; C.y-=A.y; C.z-=A.z; a=B.y*C.z-B.z*C.y; b=B.x*C.z-B.z*C.x; c=B.x*C.y-B.y*C.x; returnsqrt(a*a+b*b+c*c); } typecross3d(PointA,PointB,PointC,PointD) { B-=A; C-=A; D-=A; returndelta3d(B,C,D); } inlinevoidaddface(constint&pa,constint&pb,constint&pc)//(pa,pb,pc) { f[fc][0]=pa; f[fc][1]=pb; f[fc++][2]=pc; } inlinevoiddelface(inti)//removerelation(pa,pb,pc)fromR { f[i][0]=f[fc-1][0]; f[i][1]=f[fc-1][1]; f[i][2]=f[fc-1][2]; fc--; } doublesurface() { inti; doubleans=0; for(i=0;i ans/=2.0; returnans; } doublevolume() { inti; doubleans=0; for(i=0;i ans/=6.0; returnans; } voidConvexHull()//n>=4,notwopointstakesthesameposition { inti,k,h,j; typet; fc=0;//setthenumberoffacestozero for(i=2;i swap(p[2],p[i]); break; } if(i==n)return; for(i=3;i swap(p[3],p[i]); break; } if(i==n)return; addface(0,1,2); addface(2,1,0); for(k=3;k i=0; boolflag=0; while(i flag=1; R[f[i][0]][f[i][1]]=1; R[f[i][1]][f[i][2]]=1; R[f[i][2]][f[i][0]]=1; delface(i); }else{ R[f[i][0]][f[i][1]]=0; R[f[i][1]][f[i][2]]=0; R[f[i][2]][f[i][0]]=0; i++; } if(! flag)continue; h=fc; for(i=0;i R[f[i][0]][f[i][1]]){ if(R[f[i][1]][f[i][0]])addface(f[i][1],f[i][0],k); if(R[f[i][2]][f[i][1]])addface(f[i][2],f[i][1],k); if(R[f[i][0]][f[i][2]])addface(f[i][0],f[i][2],k); } } } intcountface() { inti,j,ans=0; for(i=0;i for(j=0;j if(fabs(cross3d(p[f[i][0]],p[f[j][0]],p[f[j][1]],p[f[j][2]])) fabs(cross3d(p[f[i][1]],p[f[j][0]],p[f[j][1]],p[f[j][2]])) fabs(cross3d(p[f[i][2]],p[f[j][0]],p[f[j][1]],p[f[j][2]])) break; } if(j==i)ans++; } returnans; } intmain() { intcas,i,j; //freopen("in.dat","r",stdin); scanf("%d",&cas); for(j=1;j<=cas;j++){ scanf("%d",&n); for(i=0;i sort(p,p+n); n=unique(p,p+n)-p; ConvexHull(); printf("Case%d: %d\n",j,countface()); //printf("%.4lf%.4lf\n",surface(),volume()); } return0; } Zoj2676分数划分要求构造解 #include usingnamespacestd; constintmaxn=200; constintmaxm=1000; constdoubleeps=1e-12; constdoubledps=1e-6; constdoublemaxw=1e11; doublec[maxm],tc[maxm]; intb[maxm],op[maxm],next[maxm]; inte[maxn],d[maxn],p[maxn],que[maxn],reach[maxn]; boolmark[maxn]; intm,n,s,t,size,ns; doubleflow,value; doublemin(doublea,doubleb){returna a: b;} voidaddedge(intu,intv,doublex,intp){ size++; next[size]=e[u]; e[u]=size; c[size]=x; b[size]=v; op[size]=p; } voidinit(){ inti,a,b,x; memset(e,-1,sizeof(e)); s=1;t=n;ns=t+1;size=0; for(i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&x); tc[i]=x; addedge(a,b,x,size+2); addedge(b,a,x,size); } } voidcreate(doubleg) { inti; doublex; flow=value=0; for(i=1;i<=m;i++){ x=tc[i]-g; if(x<0)value+=x; c[2*i-1]=c[2*i]=x; } } boolconnect(){ inti,j,l,r; memset(que,0,sizeof(que)); memset(mark,0,sizeof(mark)); for(i=0;i<=ns;i++)d[i]=ns; d[s]=0; que[1]=s;l=0;r=1;mark[s]=true; l=0;r=1; while(l i=que[++l]; for(j=e[i];j>0;j=next[j]) if(! mark[b[j]]&&c[j]>eps){ mark[b[j]]=true; que[++r]=b[j]; d[b[j]]=d[i]+1; } } return(d[t] } doubleaugment(int&top){ inti; doublex; x=maxw; for(i=top;i>=2;i--){ x=min(x,c[p[que[i-1]]]); } if(x for(i=top;i>=2;i--){ c[p[que[i-1]]]-=x; c[op[p[que[i-1]]]]+=x; if(c[p[que[i-1]]] top=i-1; p[que[i-1]]=next[p[que[i-1]]]; } } returnx; } doubledfs(){ inti,u,v,top; doublesum; memset(que,0,sizeof(que)); for(i=0;i<=ns;i++)p[i]=e[i]; que[1]=s;top=1;sum=0; while(top>0){ if(que[top]==t){ sum+=augment(top); } else{ u=que[top]; for(;p[u]>0;p[u]=next[p[u]]){ v=b[p[u]]; if(p[v]>0&&c[p[u]]>eps&&d[v]==d[u]+1)break; } if(p[u]<=0)top--; elseque[++top]=v; } } returnsum; } voiddfss(intu){ inti; if(reach[u])return; reach[u]=1; for(i=e[u];i>0;i=next[i]) if(c[i]>eps)dfss(b[i]); } voidmincut(doubleg){ inti,num; memset(reach,0,sizeof(reach)); dfss(s); num=0; for(i=1;i<=m;i++) if((reach[b[2*i]]^reach[b[2*i-1]])||(tc[i]-g<=0))num++; cout< for(i=1;i<=m;i++) if((reach[b[2*i]]^reach[b[2*i-1]])||(tc[i]-g<=0)
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