全等三角形证明100题经典.docx

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全等三角形证明100题经典

1：

已知：

AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD长。

2：

已知：

D是AB中点，∠ACB=90°，求证：

:

3：

已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：

∠1=∠2

:

4：

已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

5：

已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

:

6：

.:

如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

7：

P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：

PC-PB

8：

已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

9：

已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

10：

如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

11：

如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

:

12：

如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

13：

已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

14：

如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

求证：

△AED≌△BFC。

15：

如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：

AM是△ABC的中线。

16：

AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：

BF=CF

17：

已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

18：

如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:

∠5=∠6．

19：

如图：

AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。

求证：

MB=MC

20：

在△ABC中，

，

，直线

经过点

，且

于

，

于

.

（1）当直线

绕点

旋转到图1的位置时，求证：

①

≌

；②

；

（2）当直线

绕点

旋转到图2的位置时，

（1）中的结论还成立吗？

若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

21：

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

22．如图：

BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。

求证：

（1）AM=AN；

（2）AM⊥AN。

23：

如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：

AB=CD

:

24：

如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

25：

如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：

（1）BP=CE；

（2）试证明：

EM-PM=AM.

26：

点C为线段AB上一点，△ACM,△CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。

求证：

（1）AN=MB.

（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，

（1）中的结论是否依然成立？

（3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

27：

已知，如图①所示，在

和

中，

，

，

，且点

在一条直线上，连接

分别为

的中点．

（1）求证：

①

；②

；

（2）在图①的基础上，将

绕点

按顺时针方向旋转

，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出

（1）中的两个结论是否仍然成立.

28：

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；

④DE=DP；⑤∠AOB=60°⑥CP=CQ⑦△CPQ为等边三角形．

⑧共有2对全等三角形⑨CO平分∠AOP⑩CO平分∠BCD

恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

29：

如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边

经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM

的平分线BF相交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,

使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明

:

30：

已知

中，

为

边的中点，

绕

点旋转，它的两边分别交

、

（或它们的延长线）于

、

当

绕

点旋转到

于

时（如图1），易证

当

绕

点旋转到

不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，

、

、

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

31：

等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，

①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．

②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？

若成立，请证明．

③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．

32：

如图，BD是等腰

的角平分线，

.求证BC=AB+AD；

33：

如图，

于F，

交延长线于E，求证：

BD=2CE；

:

34：

如图在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想，

35：

如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

:

36：

如图所示，已知在△AEC中，∠E=90°，AD平分∠EAC，DF⊥AC，垂足为F，DB=DC，求证：

BE=CF

37：

如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

38：

已知：

如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD，求证：

（1）△BDE≌△CDF

（2）点D在∠A的平分线上

39：

如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC

40：

已知：

如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（!

）求证：

BF=AC；

（2）求证：

CE=

BF；

（3）CE与BC的大小关系如何？

试证明你的结论。

41：

数学课上，张老师出示了问题：

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．

，且EF交正方形外角

的平分线CF于点F，求证：

AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：

取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

，所以

．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：

如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：

如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？

如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

42：

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB+BP=BQ+AQ。

43：

问题背景，如下命题：

①如图1,在正三角形ABC中,N为BC边上任一点,CM为正三角形外角∠ACK的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM

②如图2,在正方形ABCD中,N为BC边上任一点，CM为正方形外角∠DCK的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM

③如图3,在正五边形ABCDE中,N为BC边上任一点,CM为正五边形外角∠DCK的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM

任务要求：

⑴请你证明以上三个命题；

⑵请你继续完成下面的探索：

①如图4,在正

（

≥3）边形ABCDEF…中,N为BC边上任一点,CM为正

边形外角∠DCK的平分线,问当∠ANM等于多少度时,结论AN=NM成立（不要求证明）.

②如图5,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=CD,N为BC延长线上一点,CM为∠DCN的平分线,若∠ANM=∠ABC,请问AN=NM是否还成立？

若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由.

44：

如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AC上的一点，BD=DC，P是BC上的任一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F为垂足．求证：

PE+PF=AB．

45：

如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

46：

已知：

在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE，解答下列各题：

如果AB=AC，∠BAC=90°．

（i）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段BD，CE之间的位置关系为（ii）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？

为什么？

47：

已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．

（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：

①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

48：

在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,D、E为垂足，AD与BE交与点H，BD=AD

求证：

BH=ACBE⊥AD

49：

如图14-1，在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC．△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．

（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；

（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为

（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

50：

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：

①AF=DE；②AF⊥DE.（不需要证明）

（1）如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立？

（请直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？

若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

51：

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：

（1）AE＝CD；　

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

52：

如图，两个全等的含30°、60°角的三角板ADE和三角板ABC放置在一起，∠DEA=∠ACB=90°，∠DAE=∠ABC=30°，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由．

53：

已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

54：

在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．

①求证：

DG=DC

②判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，

（1）中的其他条件不变，借助图2画出图形。

在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在

（1）中得出的结论是否发生改变．（本小题直接写出结论，不必证明）

55：

如图，AD//BC，AD=BC，AE⊥AD，AF⊥AB，且AE=AD，AF=AB，求证：

AC=EF

56：

直线CD经过

的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且

．

（1）若直线CD经过

的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若

，则

（填“

”，“

”或“

”号）；

②如图2，若

，若使①中的结论仍然成立，则

与

应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过

的外部，

，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

57：

已知：

如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：

AE=AD+BE

58：

如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE

求证：

AF=AD-CF

59：

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且DE=DB，求证：

AC=BE+BC

60：

在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：

BE＋CF＞EF．

61：

已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE，

（1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证：

△ADC≌△CEB；

（2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：

ED=BE-AD；

（3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、BE之间的数量关系，并证明你的猜想．

62：

如图1、图2、图3，△AOB，△COD均是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º，

（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？

请说明理由。

（2）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？

为什么？

（3）若△COD绕点O顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？

还具有上问中的位置关系吗？

为什么？

:

63：

复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：

“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

64：

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

65：

D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

66：

已知四边形

中，

，

，

，

，

，

绕

点旋转，它的两边分别交

（或它们的延长线）于

．

当

绕

点旋转到

时（如图1），易证

．

当

绕

点旋转到

时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段

，

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

67：

如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。

求证：

①△BCG≌△DCE

②BH⊥DE

68：

（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

69：

如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AE，∠B=∠E，

求证：

（1）BD=CE；

（2）BD⊥CE．

70：

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。

求证：

（1）EC=BF；

（2）EC⊥BF

71：

如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积

72：

（1）如图1，现有一正方形ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F．请你通过观察、测量，判断AE与AF之间的数量关系，并说明理由．

（2）将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

（3）如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有

（2）中的数量关系？

如果有，请说明

73：

、

分别是正方形

的边

、

上的点，且

，

，

为垂足，求证：

．

:

74：

如图，在等腰

中，

，

是

的中点，过

作

，

，且

．求证：

．

75：

两个全等的含300,600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

76：

已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE＝DC，连接AE、BD.

（1）求证：

△AGE≌△DAB

（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数.

77：

如图24，

，OM平分

，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？

试说明理由.

78：

如图，在

中，

，边AB的垂直平分线交BC于点D，

于F点，并交BC边上的高AE于点G。

求证：

EG=EC。

79：

已知：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F．求证：

（1）AC=2BF．

（2）AB垂直平分DF。

80：

已知如图△ABC是边长为a的等边三角形，△BCD的顶角∠BDC＝120°，DB＝DC以D为顶点作一个60°的角，角的两边DM、DN分别交AB于M，交AC于N，连结MN，求△AMN的周长。

82：

（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，

连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；

（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小.

83：

如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证：

（1）△ABE≌△AFE；

（2）∠FAD=∠CDE．

84：

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．

（1）证明：

△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2

，BD=2，求四边形ABCD的周长；

（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．

85：

如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．

求证：

△EBC≌△FDA．

86：

在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：

PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．

:

87：

如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：

BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

88：

问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：

（1）∠AEB的度数为60；

（2）线段AD、BE之间的数量