汇总小学阶段奥数知识点.docx
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汇总小学阶段奥数知识点
汇总小学阶段奥数知识点,包括小升初中常考题目类型等。
有工程问题、行程问题、质数合数问题等等。
1.、小升初奥数知识点(年龄问题三大特征)
①两个人年龄差是不变;
②两个人年龄是同时增加或者同时减少;
③两个人年龄倍数是发生变化;
2、小升初奥数知识点(植树问题总结):
基本类型:
在直线或者不封闭曲线上植树,两端都植树
在直线或者不封闭曲线上植树,两端都不植树
在直线或者不封闭曲线上植树,只有一端植树
3、鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同差,找出这个差是多少;
③每个事物造成差是固定,从而找出出现这个差原因;
④再根据这两个差作适当调整,消去出现差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键问题:
找出总量差与单位量差。
4、奥数知识点(盈亏问题)
盈亏问题
基本概念:
一定量对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于
分组标准不同,造成结果差异,由它们关系求对象分组组数或对象总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准差异造成结果变化,根据这个关系求出参加分配总份数,然后根据题意求出对象总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数差
基本特点:
对象总量和总组数是不变。
关键问题:
确定对象总量和总组数。
5、小升初奥数知识点(牛吃草问题)
牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草速度为“1”份,根据两次不同吃法,求出其中总草量差;再找出造成这种差异原因,即可确定草生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变;
关键问题:
确定两个不变量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
6、小升初奥数知识点(平均数问题)
平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差和÷总份数
基本算法:
出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出数之间关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数差;再求出所有差和;再求出这些差平均数;最后求这个差平均数和基准数和,就是所求平均数,具体关系见基本公式②
7、小升初奥数知识点(周期循环数)
周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
年份不能被4整除;②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
8、小升初奥数知识点(抽屉原理)
抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉量,而后依据抽屉原则进行运算。
9、奥数知识点(定义新运算)
小升初奥数知识点(数列求和)
数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数差是一定,这样一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列所有数个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数公式,一般用an表示;
数列和:
这一数列全部数字和,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an-a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量,确定使用公式
10、加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同方法。
关键问题:
确定工作分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同方法。
关键问题:
确定工作完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长线段数×宽线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
11、小升初奥数知识点(质数与合数)
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数约数,那么这个质数叫做这个数质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数结果是唯一。
分解质因数标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N质因数,且a1 求约数个数公式: P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1) 互质数: 如果两个数最大公约数是1,这两个数叫做互质数。 12、小升初奥数知识点(约数与倍数) 约数和倍数: 若整数a能够被b整除,a叫做b倍数,b就叫做a约数。 公约数: 几个数公有约数,叫做这几个数公约数;其中最大一个,叫做这几个数最大公约数。 最大公约数性质: 1、几个数都除以它们最大公约数,所得几个商是互质数。 2、几个数最大公约数都是这几个数约数。 3、几个数公约数,都是这几个数最大公约数约数。 4、几个数都乘以一个自然数m,所得积最大公约数等于这几个数最大公约数乘以m。 例如: 12约数有1、2、3、4、6、12; 18约数有: 1、2、3、6、9、18; 那么12和18公约数有: 1、2、3、6; 那么12和18最大公约数是: 6,记作(12,18)=6; 求最大公约数基本方法: 1、分解质因数法: 先分解质因数,然后把相同因数连乘起来。 2、短除法: 先找公有约数,然后相乘。 3、辗转相除法: 每一次都用除数和余数相除,能够整除那个余数,就是所求最大公约数。 公倍数: 几个数公有倍数,叫做这几个数公倍数;其中最小一个,叫做这几个数最小公倍数。 12倍数有: 12、24、36、48……; 18倍数有: 18、36、54、72……; 那么12和18公倍数有: 36、72、108……; 那么12和18最小公倍数是36,记作[12,18]=36; 最小公倍数性质: 1、两个数任意公倍数都是它们最小公倍数倍数。 2、两个数最大公约数与最小公倍数乘积等于这两个数乘积。 求最小公倍数基本方法: 1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数方法 13、小升初奥数知识点(数整除) 一、基本概念和符号: 1、整除: 如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。 2、常用符号: 整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以符号“∴”; 二、整除判断方法: 1.能被2、5整除: 末位上数字能被2、5整除。 2.能被4、25整除: 末两位数字所组成数能被4、25整除。 3.能被8、125整除: 末三位数字所组成数能被8、125整除。 4.能被3、9整除: 各个数位上数字和能被3、9整除。 5.能被7整除: ①末三位上数字所组成数与末三位以前数字所组成数之差能被7整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字2倍后能被7整除。 6.能被11整除: ①末三位上数字所组成数与末三位以前数字所组成数之差能被11整除。 ②奇数位上数字和与偶数位数数字和差能被11整除。 ③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7.能被13整除: ①末三位上数字所组成数与末三位以前数字所组成数之差能被13整除。 ②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字9倍后能被13整除。 三、整除性质: 1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。 2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。 3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c最小公倍数整除。 14、小升初奥数知识点(余数及其应用) 小升初奥数知识点(余数问题) 余数性质: ①余数小于除数。 ②若a、b除以c余数相同,则c|a-b或c|b-a。 ③a与b和除以c余数等于a除以c余数加上b除以c余数和除以c余数。 ④a与b积除以c余数等于a除以c余数与b除以c余数积除以c余数 余数、同余与周期 一、同余定义: ①若两个整数a、b除以m余数相同,则称a、b对于模m同余。 ②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。 二、同余性质: ①自身性: a≡a(modm); ②对称性: 若a≡b(modm),则b≡a(modm); ③传递性: 若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm); ④和差性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm); ⑤相乘性: 若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm); ⑥乘方性: 若a≡b(modm),则an≡bn(modm); ⑦同倍性: 若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c); 三、关于乘方预备知识: ①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b ②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md 四、被3、9、11除后余数特征: ①一个自然数M,n表示M各个数位上数字和,则M≡n(mod9)或(mod3); ②一个自然数M,X表示M各个奇数位上数字和,Y表示M各个偶数数位上数字和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11); 五、费尔马小定理: 如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。 15、小升初奥数知识点(分数与百分数应用) 基本概念与性质: 分数: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份或几份数。 分数性质: 分数分子和分母同时乘以或除以相同数(0除外),分数大小不变。 分数单位: 把单位“1”平均分成几份,表示这样一份数。 百分数: 表示一个数是另一个数百分之几数。 常用方法: ①逆向思维方法: 从题目提供条件反方向(或结果)进行思考。 ②对应思维方法: 找出题目中具体量与它所占率直接对应关系。 ③转化思维方法: 把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。 最常见是转换成比例和转换成倍数关系;把不同标准(在分数中一般指是一倍量)下分率转化成同一条件下分率。 常见处理方法是确定不同标准为一倍量。 ④假设思维方法: 为了解题方便,可以把题目中不相等量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应结果,然后再进行调整,求出最后结果。 ⑤量不变思维方法: 在变化各个量当中,总有一个量是不变,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变。 有以下三种情况: A、分量发生变化,总量不变。 B、总量发生变化,但其中有分量不变。 C、总量和分量都发生变化,但分量之间差量不变化。 ⑥替换思维方法: 用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。 ⑦同倍率法: 总量和分量之间按照同分率变化规律进行处理。 ⑧浓度配比法: 一般应用于总量和分量都发生变化状况。 16、小升初奥数知识点(分数大小比较) 基本方法: ①通分分子法: 使所有分数分子相同,根据同分子分数大小和分母关系比较。 ②通分分母法: 使所有分数分母相同,根据同分母分数大小和分子关系比较。 ③基准数法: 确定一个标准,使所有分数都和它进行比较。 ④分子和分母大小比较法: 当分子和分母差一定时,分子或分母越大分数值越大。 ⑤倍率比较法: 当比较两个分子或分母同时变化时分数大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率变化关系比较分数大小。 (具体运用见同倍率变化规律) ⑥转化比较方法: 把所有分数转化成小数(求出分数值)后进行比较。 ⑦倍数比较法: 用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。 ⑧大小比较法: 用一个分数减去另一个分数,得出数和0比较。 ⑨倒数比较法: 利用倒数比较大小,然后确定原数大小。 ⑩基准数比较法: 确定一个基准数,每一个数与基准数比较 17、小升初奥数知识点(比和比例) 比: 两个数相除又叫两个数比。 比号前面数叫比前项,比号后面数叫比后项。 比值: 比前项除以后项商,叫做比值。 比性质: 比前项和后项同时乘以或除以相同数(零除外),比值不变。 比例: 表示两个比相等式子叫做比例。 a: b=c: d或 比例性质: 两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。 正比例: 若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB商不变时),则A与B成正比。 反比例: 若A扩大或缩小几倍,B也缩小或扩大几倍(AB积不变时),则A与B成反比。 比例尺: 图上距离与实际距离比叫做比例尺。 按比例分配: 把几个数按一定比例分成几份,叫按比例分配 18、小升初奥数知识点(综合行程问题) 基本概念: 行程问题是研究物体运动,它研究是物体速度、时间、路程三者之间关系. 基本公式: 路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间 关键问题: 确定运动过程中位置和方向。 相遇问题: 速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式) 追及问题: 追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式) 流水问题: 顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间 顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2 水速=(顺水速度-逆水速度)÷2 流水问题: 关键是确定物体所运动速度,参照以上公式。 过桥问题: 关键是确定物体所运动路程,参照以上公式。 主要方法: 画线段图法 基本题型: 已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量,求第三个量。 19、小升初奥数知识点(工程问题) 基本公式: ①工作总量=工作效率×工作时间 ②工作效率=工作总量÷工作时间 ③工作时间=工作总量÷工作效率 基本思路: ①假设工作总量为“1”(和总工作量无关); ②假设一个方便数为工作总量(一般是它们完成工作总量所用时间最小公倍数),利用上述三个基本关系,可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题: 确定工作量、工作时间、工作效率间两两对应关系。 经验简评: 合久必分,分久必合。 20、小升初奥数知识点(逻辑推理问题) 基本方法简介: ①条件分析—假设法: 假设可能情况中一种成立,然后按照这个假设去判断,如果有与题设条件矛盾情况,说明该假设情况是不成立,那么与他相反情况是成立。 例如,假设a是偶数成立,在判断过程中出现了矛盾,那么a一定是奇数。 ②条件分析—列表法: 当题设条件比较多,需要多次假设才能完成时,就需要进行列表来辅助分析。 列表法就是把题设条件全部表示在一个长方形表格中,表格行、列分别表示不同对象与情况,观察表格内题设情况,运用逻辑规律进行判断。 ③条件分析——图表法: 当两个对象之间只有两种关系时,就可用连线表示两个对象之间关系,有连线则表示“是,有”等肯定状态,没有连线则表示否定状态。 例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态,有连线表示认识,没有表示不认识。 ④逻辑计算: 在推理过程中除了要进行条件分析推理之外,还要进行相应计算,根据计算结果为推理提供一个新判断筛选条件。 ⑤简单归纳与推理: 根据题目提供特征和数据,分析其中存在规律和方法,并从特殊情况推广到一般情况,并递推出相关关系式,从而得到问题解决。 21、小升初奥数知识点(几何面积) 基本思路: 在一些面积计算上,不能直接运用公式情况下,一般需要对图形进行割补,平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等,使不规则图形变为规则图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规面积规律。 常用方法: 1.连辅助线方法 2.利用等底等高两个三角形面积相等。 3.大胆假设(有些点设置题目中说是任意点,解题时可把任意点设置在特殊位置上)。 4.利用特殊规律 ①等腰直角三角形,已知任意一条边都可求出面积。 (斜边平方除以4等于等腰直角三角形面积)
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