高考数学 课后作业 28 函数与方程函数模型及其应用.docx
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高考数学 课后作业 28 函数与方程函数模型及其应用.docx
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高考数学课后作业28函数与方程函数模型及其应用
高考数学课后作业28函数与方程、函数模型及其应用
1.(2011·湘潭调研)下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )
[答案] C
[解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且有f(a)·f(b)<0.A、B选项中不存在f(x)<0,D选项中零点两侧函数值同号,故选C.
2.(文)若函数f(x)在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,2)内有一个零点,则f(-2)·f
(2)的值( )
A.大于0B.小于0
C.等于0D.不能确定
[答案] D
[解析] 若函数f(x)在(-2,2)内有且仅有一个零点,且是变号零点,才有f(-2)·f
(2)<0,故由条件不能确定f(-2)·f
(2)的值的符号.
(理)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)=(
)x-x
,在下列区间中,含有函数f(x)零点的是( )
A.(0,
)B.(
,
)
C.(
,1)D.(1,2)
[答案] B
[解析] f(0)=1>0,f(
)=(
)
-(
)
>0,f(
)=(
)
-(
)
<0,
∵f(
)·f(
)<0,且函数f(x)的图象为连续曲线,
∴函数f(x)在(
,
)内有零点.
[点评] 一个简单的零点存在性判断题涵盖了幂函数、指数函数的单调性与零点存在性定理,难度不大,但有一定的综合性,要多加强这种小题训练,做题不一定多,但却能将应掌握的知识都训练到.
3.(文)(2011·杭州模拟)函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
[答案] C
[解析] 在同一坐标系内作出函数y=|x-2|与y=lnx的图象,∵lne=1,e<3,∴由图象可见两函数图象有两个交点,∴函数f(x)有两个零点.
(理)(2010·吉林市质检)函数f(x)=
x-sinx在区间[0,2π]上的零点个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[答案] B
[解析] 在同一坐标系中作出函数y=
x与y=sinx的图象,易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点.
4.(2011·深圳一检)已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-
-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x1 C.x1 [答案] A [解析] 令f(x)=x+2x=0,因为2x恒大于零,所以要使得x+2x=0,x必须小于零,即x1小于零;令g(x)=x+lnx=0,要使得lnx有意义,则x必须大于零,又x+lnx=0,所以lnx<0,解得0 -1=0,得x= +1>1,即x3>1,从而可知x1 5.(2010·山东滨州)偶函数f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且f(0)·f(a)<0,则方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 [答案] B [解析] ∵f(0)·f(a)<0,∴f(x)在[0,a]中至少有一个零点,又∵f(x)在[0,a]上是单调函数,∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点.又∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),∴f(x)在[-a,0)中也只有一个零点,故f(x)在[-a,a]内有两个零点,即方程f(x)=0在区间[-a,a]内根的个数为2个.故选B. 6.(文)(2010·北京西城区抽检)某航空公司经营A、B、C、D这四个城市之间的客运业务.它的部分机票价格如下: A—B为2000元;A—C为1600元;A—D为2500元;B—C为1200元;C—D为900元.若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比,则B—D的机票价格为( ) (注: 计算时视A、B、C、D四城市位于同一平面内) A.1000元B.1200元 C.1400元D.1500元 [答案] D [解析] 注意观察各地价格可以发现: A、C、D三点共线,A、C、B构成以C为顶点的直角三角形,如图可知BD=5×300=1500. [点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力,要在学习过程中加强培养. (理) (2010·济南一中)如图,A、B、C、D是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公路,四边形ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形,A、B、C、D四个采矿点的采矿量之比为6: 2: 3: 4,且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比.现从P、Q、R、S中选一个中转站,要使中转费用最少,则应选( ) A.P点 B.Q点 C.R点 D.S点 [答案] B [解析] 设图中每个小正方形的边长均为1,A、B、C、D四个采矿点的采矿量分别为6a,2a,3a,4a(a>0),设si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和,则只需比较中转站在不同位置时si(i=1,2,3,4)的大小.如果选在P点,s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选在Q点,s2=6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在R处,s3=6a×4+2a×3+3a+4a×2=33a,如果选在S处,s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a,显然,中转站选在Q点时,中转费用最少. 7.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)单调递增,f (1)·f (2)<0.则函数y=f(x)的图象与x轴的交点个数是________. [答案] 2 [解析] 由已知可知,在[0,+∞)上存在惟一x0∈(1,2),使f(x0)=0,又函数f(x)为偶函数,所以存在x′0∈(-2,-1),使f(x′0)=0,且x′0=-x0.故函数的图象与x轴有2个交点. 8. (2010·浙江金华十校联考)有一批材料可以建成200m长的围墙,如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计). [答案] 2500m2 [解析] 设所围场地的长为x,则宽为 ,其中0 ≤ 2=2500m2,等号当且仅当x=100时成立. 9.(文)(2010·揭阳市模拟)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产品全部供应距农场d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表: 当距离d达到n(km)以上时,四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本-运输成本),则n的值为________. 作物 项目 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市场价格(元/kg) 8 3 2 1 生产成本(元/kg) 3 2 1 0.4 运输成本(元/kg·km) 0.06 0.02 0.01 0.01 单位面积相对产量(kg) 10 15 40 30 [答案] 50 [解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4,则y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40-0.4d,y4=18-0.3d, 由 ⇒50≤d<200,故n=50. (理)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________. [答案] -8 [解析] 解法1: 由已知,定义在R上的奇函数f(x)图象一定过原点,又f(x)在区间[0,2]上为增函数,所以方程f(x)=m(m>0)在区间[0,2]上有且只有一个根,不妨设为x1; ∵f(x1)=-f(-x1)=-[-f(-x1+4)]=f(-x1+4),∴-x1+4∈[2,4]也是一个根,记为x2,∴x1+x2=4. 又∵f(x-4)=-f(x),∴f(x-8)=f(x),∴f(x)是周期为8的周期函数, ∴f(x1-8)=f(x1)=m,不妨将此根记为x3, 且x3=x1-8∈[-8,-6];同理可知x4=x2-8∈[-6,-4], ∴x1+x2+x3+x4=x1+x2+x1-8+x2-8=-8. 解法2: ∵f(x)为奇函数,且f(x-4)=-f(x), ∴f(x-4)=f(-x),以2-x代入x得: f(-2-x)=f(-2+x) ∴f(x)的图象关于直线x=-2对称, 又f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于直线x=2也对称. 又f(x-8)=f((x-4)-4)=-f(x-4)=f(x), ∴f(x)的周期为8. 又在R上的奇函数f(x)有f(0)=0,f(x)在[0,2]上为增函数,方程f(x)=m,在[-8,8]上有四个不同的根x1、x2、x3、x4. ∴必在[-2,2]上有一实根,不妨设为x1,∵m>0,∴0≤x1≤2,∴四根中一对关于直线x=2对称一对关于直线x=-6对称,故x1+x2+x3+x4=2×2+2×(-6)=-8. 10.当前环境问题已成为问题关注的焦点,2009的哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说非常小.请根据以下数据: ①当前汽油价格为2.8元/升,市内出租车耗油情况是一升汽油大约能跑12千米;②当前液化气价格为3元/千克,一千克液化气平均可跑15~16千米;③一辆出租车日平均行程为200千米. (1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱); (2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱. [解析] (1)设出租车行驶的时间为t天,所耗费的汽油费为W元,耗费的液化气费为P元, 由题意可知,W= ×2.8= (t≥0且t∈N) ×3≤P≤ ×3 (t≥0且t∈N), 即37.5t≤P≤40t.又 >40t,即W>P, 所以使用液化气比使用汽油省钱. (2)①设37.5t+5000= ,解得t≈545.5, 又t≥0,t∈N,∴t=546. ②设40t+5000= ,解得t=750. 所以,若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]时,省出的钱等于改装设备的钱. 11.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ) A.y=100xB.y=50x2-50x+100 C.y=50×2xD.y=100log2x+100 [答案] C [解析] 观察前四个月的数据规律,(1,100),(2,200),(3,400),(4,790),接近(4,800),可以发现这些数据变化规律符合指数型函数模型的增长规律,故选C. [点评] 也可以将x=1,2,3,4,依次代入四个选项中,通过对比差异大小来作判断,但计算量比较大. 12.(文)(2011·舟山月考)函数f(x)= 的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] D [解析] 令-x(x+1)=0得x=0或-1,满足x≤0; 当x>0时,∵lnx与2x-6都是增函数, ∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数, ∵f (1)=-4<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点, 故f(x)共有3个零点. (理)(2010·瑞安中学)函数f(x)在[-2,2]内的图象如图所示,若函数f(x)的导函数f′(x)的图象也是连续不间断的,则导函数f′(x)在(-2,2)内有零点( ) A.0个B.1个 C.2个D.至少3个 [答案] D [解析] f′(x)的零点,即f(x)的极值点,由图可知f(x)在(-2,2)内,有一个极大值和两个极小值,故f(x)在(-2,2)内有三个零点,故选D. 13.(2010·安徽江南十校联考)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( ) A.f(x)= B.f(x)= + C.f(x)= D.f(x)=lgsinx [答案] C [解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证: f(x)= 不存在零点;f(x)= + 不存在零点;f(x)= 的定义域为全体实数,且f(-x)= =-f(x),故此函数为奇函数,且令f(x)= =0,得x=0,函数f(x)存在零点;f(x)=lgsinx不具有奇偶性. 14.(文)(2011·山东济宁一模)已知a是函数f(x)=2x- x的零点,若0 A.f(x0)=0B.f(x0)<0 C.f(x0)>0D.f(x0)的符号不确定 [答案] B [解析] 分别作出y=2x与y= x的图象如图, 当0 x图象的下方, 所以,f(x0)<0. (理)(2010·安徽合肥质检)已知函数f(x)= ,把函数g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( ) A.an= (n∈N*) B.an=n(n-1)(n∈N*) C.an=n-1(n∈N*) D.an=2n-2(n∈N*) [答案] C [解析] 当x≤0时,f(x)=2x-1;当0 当1 ∴当x≤0时,g(x)的零点为x=0;当0 当1 故a1=0,a2=1,a3=2,…,an=n-1. 15.(文)某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元.每公斤原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需消耗原材料400公斤,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管). (1)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1(元)关于x的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y(元)最少,并求出这个最小值. [解析] (1)每次购买原材料后,当天用掉的400公斤原材料不需要保管,第二天用掉的400公斤原材料需保管1天,第三天用掉的400公斤原材料需保管2天,第四天用掉的400公斤原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天. ∴每次购买的原材料在x天内的保管费用为 y1=400×0.03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x. (2)由 (1)可知,购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1.5×400x=6x2+594x+600(元), ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 y= +6x+594=2 +594=714. 当且仅当 =6x,即x=10时,取得等号. ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为714元. (理)(2011·日照模拟)张林在李明的农场附近建了一个小型工厂,由于工厂生产须占用农场的部分资源,因此李明每年向张林索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.工厂在不赔付农场的情况下,工厂的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000 ,若工厂每生产一吨产品必须赔付农场s元(以下称s为赔付价格). (1)将工厂的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数,并求出工厂获得最大利润的年产量; (2)若农场每年受工厂生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元),在工厂按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,农场要在索赔中获得最大净收入,应向张林的工厂要求赔付价格s是多少? [解析] (1)工厂的实际年利润为: w=2000 -st(t≥0). w=2000 -st=-s( - )2+ , 当t=( )2时,w取得最大值. 所以工厂取得最大年利润的年产量t=( )2(吨). (2)设农场净收入为v元, 则v=st-0.002t2. 将t=( )2代入上式, 得v= - . 又v′=- + = , 令v′=0,得s=20. 当0 当s>20时,v′<0. 所以当s=20时,v取得最大值. 因此李明向张林要求赔付价格s为20元/吨时,获得最大净收入. 1.(2010·江苏南通九校)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则 + 的取值范围是( ) A.(3.5,+∞)B.(1,+∞) C.(4,+∞)D.(4.5,+∞) [答案] B [分析] 欲求 + 的取值范围,很容易联想到基本不等式,于是需探讨m、n之间的关系,观察f(x)与g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标,因为指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数,故其图象关于直线y=x对称,又因直线y=-x+4垂直于直线y=x,指数函数y=ax和对数函数y=logax与直线y=-x+4的交点的横坐标之和是直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,这样即可建立起m,n的数量关系式,进而利用基本不等式求解即可. [解析] 令ax+x-4=0得ax=-x+4,令logax+x-4=0得logax=-x+4, 在同一坐标系中画出函数y=ax,y=logax,y=-x+4的图象,结合图形可知,n+m为直线y=x与y=-x+4的交点的横坐标的2倍,由 ,解得x=2,所以n+m=4, 因为(n+m) =1+1+ + ≥4,又n≠m,故(n+m) >4,则 + >1. 2.(2011·温州十校模拟)已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( ) A.(0,2)B.(0,8) C.(2,8)D.(-∞,0) [答案] B [解析] 当m≤0时,显然不合题意;当m>0时,f(0)=1>0,①若对称轴 ≥0即0 ②若对称轴 <0,即m>4,只要Δ=4(4-m)2-8m=4(m-8)(m-2)<0即可,即4 综上0 3.(2011·江南十校联考)定义域为D的函数f(x)同时满足条件: ①常数a,b满足a A.1对B.2对 C.3对D.4对 [答案] C [分析] 由“k级矩形”函数的定义可知,f(x)=x3的定义区间为[a,b]时,值域为[a,b],可考虑应用f(x)的单调性解决. [解析] ∵f(x)=x3在[a,b]上单调递增, ∴f(x)的值域为[a3,b3]. 又∵f(x)=x3在[a,b]上为“1级矩形”函数, ∴ ,解得 或 或 , 故满足条件的常数对共有3对. [点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型,它能较好地考查学生对新知识的阅读理解能力,而这恰是学生后续学习必须具备的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题,弄清“定义”的含义,把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决. 4. 如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l: x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( ) [答案] C [解析] A、B、D的面积都是随着t的增大而增长的速度越来越快,到t= 时,增长的速度又减慢,而C图则从t= 开始匀速增大与f(t)不符. 5.(2010·天津市南开区模考)已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),那么函数f(x)的零点个数是( ) A.0个B.1个 C.2个D.至少1个 [答案] D [解析] 在同一坐标系中作出函数y=ax与y=x+a的图象,a>1时,如图 (1),0 (2),故选D. [点评] 解决这类问题的有效方法是数形结合法. 6.设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b在区间[1,2]上有零点的概率为( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因为a∈{1,2,3,4},因此f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则 ,解得a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有: a=1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故b=4,b=8,b=12.a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12.a=4,5≤b≤16,故b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为 . 7.设函数y=x3与y=( )x-2的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是( ) A.(0,1)B.(1,2) C.(2,3)D.(3,4) [答案] B [解析] 令g(x)=x3-22-x,可求得g(0)<0,g (1)<0,g (2)>0,g(3)>0,g(4)>0.易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2). 8.(2010·福建理,4)函数f(x)= 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] C [解析] 令x2+2x-3=0得,x=-3或1 ∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0得,lnx=2 ∴x=e2>0,故函数f(x)有两个零点. 9.(2011·龙岩模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0 [答案] C [解析] 设BC=x,则DC=16-x,由 得a≤x≤12,矩形面积S=x(16-x) (a≤x≤12),显然当a≤8时,矩形面积最大值U=64,为常数,当a>8时,在x=a时,矩形面积取最大值u=a(16-a),在[a,12]上为减函数,故选C. 10.0;
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