普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题 理科解析版.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国新课标Ⅰ卷数学试题理科解析版
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
(全国新课标1卷)理科数学
本试卷5页,23小题,满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()
A.AB={x|x<0}
【答案】A
B.AB=R
C.AB={x|x>1}
D.AB=∅
【解析】由3x<1可得3x<30,则x<0,即B={x|x<0},所以AB={x|x<1}{x|x<0}
={x|x<0},AB={x|x<1}{x|x<0}={x|x<1},故选A.
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()
A.1
4
B.π
8
C.1
2
D.π
4
【答案】B
【解析】设正方形边长为a,则圆的半径为a,正方形的面积为a2,圆的面
2
πa2
积为
4
.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率
1⋅πa2
的计算公式得,此点取自黑色部分的概率是24=π,选B.
a28
秒杀解析:
由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其
11
概率p满足
42
3.设有下面四个命题
p:
若复数z满足1∈R,则z∈R;p:
若复数z满足z2∈R,则z∈R;
1z2
p3:
若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z2;其中的真命题为()
p4:
若复数z∈R,则z∈R.
A.p1,p3
【答案】B
B.p1,p4
C.p2,p3
D.p2,p4
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为
A.1B.2C.4D.8
【答案】C
【解析】设公差为d,a4+a5=a1+3d+a1+4d=2a1+7d=24,
S=6a+6⨯5d=6a
+15d=48,联立⎧2a1+7d=24,解得d=4,故选C.
6121
⎨6a+15d=48
⎩1
秒杀解析:
因为S
=6(a1+a6)=3(a
+a)=48,即a+a
=16,则
623434
(a4+a5)-(a3+a4)=24-16=8,即a5-a3=2d=8,解得d=4,故选C.
5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f
(1)=-1,则满足-1≤
值范围是()
f(x-2)≤1的x的取
A.[-2,2]
【答案】D
B.[-1,1]
C.[0,4]D.[1,3]
【解析】因为f(x)为奇函数且在(-∞,+∞)单调递减,要使-1≤f(x)≤1成立,则x满足-1≤x≤1,
从而由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即满足-1≤f(x-2)≤1成立的x的取值范围为[1,3],选D.
6.(1+
1)(1+x)6展开式中x2的系数为()
x2
A.15B.20C.30D.35
【答案】C
【解析】因为(1+
1)(1+x)6=1⋅(1+x)6+
x2
1⋅(1+x)6,则(1+x)6展开式中含x2的项为
x2
1⋅C2x2=15x2,1
x2
选C.
⋅(1+x)6展开式中含x2的项为1
x2
⋅C4x4=15x2,故x2的系数为15+15=30,
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这
些梯形的面积之和为()
A.10B.12C.14D.16
【答案】B
【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,如下图,则该几何体各面内只有两个相同的梯形,则这些梯形的面积之和为
2⨯(2+4)⨯2⨯1=12,故选B.
2
8.下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n,那么
和两个空白框中,可以分别填入()
A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2
C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2
【答案】D
【解析】由题意,因为3n-2n>1000,且框图中在“否”时输出,所以判定框内不能输入A>1000,故填A≤1000,又要求n为偶数且初始值为0,所以矩形框内填n=n+2,故选D.
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin(2x+2π),则下面结论正确的是
3
()
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到
π
的曲线向右平移
6
个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个单位长度,
12
得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π个单位长度,
26
得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π个单位长度,
212
得到曲线C2
【答案】D
【解析】因为C1,C2函数名不同,所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名,则
2π2πππ1
C2:
y=sin(2x+
)=cos(2x+
3
3-2)=cos(2x+6),则由C1上各点的横坐标缩短到原来的2
π
倍变为y=cos2x,再将曲线向左平移12个单位长度得到C2,故选D.
10.已知F为抛物线C:
y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()
A.16B.14C.12D.10
【答案】A
11.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
【答案】D
235
【解析】令2x=3y=5z=k(k>1),则x=logk,y=logk,z=logk
2x2lgklg3lg9
∴=⋅=>1,则2x>3y,
3ylg23lgklg8
2x=2lgk⋅
lg5
=lg25<1,则2x<5z,故选D.
5zlg25lgklg32
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为
2的整数幂.那么该款软件的激活码是()
A.440B.330C.220D.110
【答案】A
【解析】由题意得,数列如下:
1,
1,2,
1,2,4,
1,2,4,,2k-1
则该数列的前1+2++k=
k(k+1)2
项和为
S⎛k(k+1)⎫=1+(1+2)++(1+2++2k-1)=2k+1-k-2,
ç2⎪
⎝⎭
要使k(k+1)>100,有k≥14,此时k+2<2k+1,所以k+2是第k+1组等比数列1,2,,2k的部
2
分和,设k+2=1+2++2t-1=2t-1,
所以k=2t-3≥14,则t≥5,此时k=25-3=29,
29⨯30
所以对应满足条件的最小整数N=+5=440,故选A.
2
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
【答案】23
【解析】|a+2b|2=|a|2+4a⋅b+4|b|2=4+4⨯2⨯1⨯cos60+4=12,所以|a+2b|==2.
秒杀解析:
利用如下图形,可以判断出a+2b的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的
长度,则为2.
⎧x+2y≤1,
14.设x,y满足约束条件⎪2x+y≥-1则z=3x-2y的最小值为.
⎪x-y≤0,
【答案】-5
【解析】不等式组表示的可行域如图所示,
1111
易求得A(-1,1),B(-,-),C(,),
3333
由z=3x-2y得y=3x-在y轴上的截距越大,z就越小,
22
所以,当直线z=3x-2y过点A时,z取得最小值,所以z的最小值为3⨯(-1)-2⨯1=-5.
15.已知双曲线C:
x2-y2=
1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双
a2b2
曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.
【答案】
3
【解析】
如图所示,作AP⊥MN,因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则MN为双曲线的
b
渐近线y=
x上的点,且A(a,0),|AM|=|AN|=b,
a
而AP⊥MN,所以∠PAN=30,
b
|b|
点A(a,0)到直线y=
x的距离|AP|=,
a2
1+a2
在Rt△PAN中,cos∠PAN=|PA|,代入计算得a2=3b2,即a=
|NA|
3b,
由c2=a2+b2得c=2b,
c2b
所以e===.
a3
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
a2
.
3sinA
1
【解析】
(1)由题设得
a2
acsinB=,即
1csinB=a.
由正弦定理得
23sinA
1
sinCsinB=sinA.
23sinA
2
23sinA
故sinBsinC=.
3
18.(12分)如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90,求二面角
购买1951年至今各地全部
A−PB−C的余弦值.
【解析】
(1)由已知∠BAP=∠CDP=90︒,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB//CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.
又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F,
由
(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点,FA的方向为x轴正方向,|AB|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
F-xyz.
由
(1)及已知可得A(,0,0),P(0,0,),
B(,1,0),C(-
2
22
1,0).
2
所以PC=(-
1,-
22
2
),CB=(2,0,0),
PA=(,0,-
22
),AB=(0,1,0).
设n=(x,y,z)是平面PCB的法向量,则
⎧n⋅⎧
⎪PC=0,⎪-
⎨即⎨
x+y-
22
z=0,
⎩
⎪⎩n⋅CB=0,
⎪2x=0,
可取n=(0,-1,-
2).
设m=(x,y,z)是平面PAB的法向量,则
⎧⎪m⋅
PA=0,
⎧2x-2z=0,
⎪
⎨
即⎨22
⎪⎩m⋅AB=0,
⎪⎩y=0.
可取m=(1,0,1).
n⋅m
则cos
|n||m|3
所以二面角A-PB-C的余弦值为-.
3
19.(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,学+科网就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.9810.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.059.95
1
经计算得x
16
xi=9.97,s==
≈0.212,其中xi为
16i=1
抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,⋅⋅⋅,16.
用样本平均数x作为μ的估计值μˆ,用样本标准差s作为σ的估计值σˆ,利用估计值判断是否
需对当天的生产过程进行检查?
剔除(μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ 0.997416≈0.9592,≈0.09. (ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μˆ=9.97,σ的估计值为σˆ=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1(16⨯9.97-9.22)=10.02,因此μ的 15 估计值为10.02. 16 x2=16⨯0.2122+16⨯9.972≈1591.134,剔除(μˆ-3σˆ,μˆ+3σˆ)之外的数据9.22,剩下数据的样 i=1 本方差为1(1591.134-9.222-15⨯10.022)≈0.008, 15 因此σ的估计值为≈0.09. 20.(12分)已知椭圆C: x a2 + y2 b2 =1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, 2 )中恰有三点在椭圆C上. 2 (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明: l过定点. 【解析】 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点. 又由1+1 a2b2 >1+ a2 3 4b2 知,C不经过点P1,所以点P2在C上. ⎧1 因此⎪b2 =1, 解得⎧⎪a =4, ⎨ ⎪+=1, ⎨⎪b2=1. ⎪⎩a24b2 x2+2 故C的方程为 4 y=1. (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 如果l与x轴垂直,设l: x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为(t, 2 - ),(t, ). 2 则k1+k2=2t-2t=-1,得t=2,不符合题设. x22 从而可设l: y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y 4 (4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0. 由题设可知∆=16(4k2-m2+1)>0. =1得 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- 8km4k2+1 ,x1x2= 4m2-4 4k2+1. 而k+k =y1-1+y2-1 x1x2 =kx1+m-1+kx2+m-1 x1x2 =2kx1x2+(m-1)(x1+x2). x1x2 由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 4m2-4-8km 即(2k+1)⋅+(m-1)⋅=0. 4k2+14k2+1 解得k=-m+1. 2 当且仅当m>-1时,∆>0,于是l: y=-m+1x+m,即y+1=-m+1(x-2), 22 所以l过定点(2,-1). 21.(12分)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 【解析】 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1), (ⅰ)若a≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减. (ⅱ)若a>0,则由f'(x)=0得x=-lna. 当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)<0;当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增. 综上,a的取值范围为(0,1). (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4−4: 坐标系与参数方程](10分) ⎧x=3cosθ, ⎩ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为⎨y=sinθ, (θ为参数),直线l的参数方程为 ⎧x=a+4t, ⎩ ⎨y=1-t,( t为参数). (1)若a=−1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为17,求a. 【解
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