高等数学导数与微分ppt.ppt
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第四节第四节隐函数和参数方程求导隐函数和参数方程求导相关变化率相关变化率一、隐函数的导数隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率第二章第二章导数与微分导数与微分一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程若由方程可确定可确定y是是x的函数的函数,由由表示的函数表示的函数,称为称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定显函数可确定可确定y是是x的函数的函数,但此隐函数不能但此隐函数不能显化显化(即写成即写成y=f(x)的形式的形式).函数为函数为隐函数隐函数.则称此则称此隐函数隐函数求导方法求导方法:
两边对两边对x求导求导(含导数含导数的方程的方程)解解:
我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x),即即遇到遇到y时要将它看作时要将它看作x的函数的函数,得,得所以所以例例1.求由方程求由方程确定的隐函数的导数确定的隐函数的导数.从而从而上式上式右端分式中的右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程所确定的隐函数所确定的隐函数.例例2.求由方程求由方程在在x=0处的导数处的导数解解:
方程两边对方程两边对x求导求导得得因x=0时时y=0,故故确定的隐函数确定的隐函数例例3.求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解:
椭圆方程两边对椭圆方程两边对x求导求导故切线方程为故切线方程为即即另解:
从椭圆方程解出另解:
从椭圆方程解出y=f(x),求在已知点的导数,求在已知点的导数。
例例4.解解:
应用隐函数的求导方法应用隐函数的求导方法,得得于是于是再对再对x求导求导,得得上式上式右端分式中的右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程所确定的隐函数所确定的隐函数.求由方程求由方程所确定的隐函数的二阶所确定的隐函数的二阶导数导数例例5.求求的导数的导数.解解:
两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式两边对两边对x求导求导对对数数求求导导法法1)对幂指函数对幂指函数可用对数求导法求导可用对数求导法求导:
注意注意:
或者将或者将化为指数函数化为指数函数再求导再求导.2)有些显函数用对数求导法求导很方便有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导例例6.求求对对x求导求导先两边取对数先两边取对数的导数的导数.可以验证可以验证二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程若参数方程可确定一个可确定一个y与与x之间的函数之间的函数可导可导,且且则则时时,有有时时,有有(此时看成此时看成x是是y的函数的函数)关系关系,若上述参数方程中若上述参数方程中二阶可导二阶可导,且且则由则由它确定的函数它确定的函数可求可求二阶导数二阶导数.利用新的参数方程利用新的参数方程,可得可得例例7.已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求求椭圆在椭圆在相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程.解解:
当当时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点的坐标是的坐标是:
曲线在曲线在点的切线斜率为点的切线斜率为:
由直线的点斜式公式,由直线的点斜式公式,得椭圆在点得椭圆在点处的切线方程处的切线方程化简后得化简后得例如例如,,且且求求已知已知解解:
解解:
注意注意:
再再例,例,求求例例8.抛射体运动轨迹的参数方程为抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向.解解:
先求速度大小先求速度大小.速度的水平分量为速度的水平分量为垂直分量为垂直分量为故抛射体故抛射体速度大小速度大小再求再求速度方向速度方向(即轨迹的切线方向即轨迹的切线方向):
设设为切线倾角为切线倾角,则则抛射体轨迹的参数方程抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量速度的水平分量垂直分量垂直分量在刚射出在刚射出(即即t=0)时时,倾角倾角为为达到最高点的时刻达到最高点的时刻高度高度落地时刻落地时刻抛射抛射最远距离最远距离速度的方向速度的方向例例9.计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程所所确定的函数确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数.解解:
三、相关变化率三、相关变化率为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率相关变化率相关变化率问题相关变化率问题解法解法:
找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率例例10.当气球高度为当气球高度为500m时时,其速率为其速率为求此时求此时观察员视线的仰角增加率是多少观察员视线的仰角增加率是多少?
解解:
设气球上升设气球上升t分后其高度为分后其高度为h,仰角为仰角为,则则两边对两边对t求导求导已知已知且且h=500时时,一气球从离开观察员一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升处离地面铅直上升,小结小结1.隐函数求导法则隐函数求导法则直接对方程两边求导直接对方程两边求导2.对数求导法对数求导法:
适用于幂指函数及某些用连乘、连适用于幂指函数及某些用连乘、连除表示的函数除表示的函数3.参数方程求导法参数方程求导法4.相关变化率问题相关变化率问题列出依赖于列出依赖于t的相关变量关系式的相关变量关系式对对t求导求导相关变化率之间的关系式相关变化率之间的关系式求高阶导数时求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式从低到高每次都用参数方程求导公式课堂练习课堂练习求求提示:
提示:
分别用对数求导法求分别用对数求导法求答案答案:
1.设设2.设设由由方程方程确定确定,解解:
方程两边对方程两边对x求导求导,得得再再求导求导,得得当当时时,故由故由得得再再代入代入得得求求,求求解:
解:
3.设设方程组两边同时对方程组两边同时对t求导求导,得得作业作业P111-1121/
(2)(4)23/
(2)4/(3)5/
(2)8/(3)9/
(2)*设由方程设由方程确定函数确定函数求求解解:
方程组两边对方程组两边对t求导求导,得得故故试求当容器内水试求当容器内水*有一底半径为有一底半径为Rcm,高为高为hcm的圆锥容器的圆锥容器,今以今以自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:
设时刻设时刻t容器内水面高度为容器内水面高度为x,水的水的两边对两边对t求导求导而而故故体积为体积为V,则则
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