高等数学-多元函数积分学.ppt
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第四节第四节二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第五节第五节直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算第九节第九节格林公式格林公式(曲线积分和面积分的桥梁)曲线积分和面积分的桥梁)第八节第八节曲线积分曲线积分(对弧长,对坐标)(对弧长,对坐标)二重积分的计算为必考题,出现在解答题中。
二重积分的计算为必考题,出现在解答题中。
第七节第七节二重积分的应用二重积分的应用第六节第六节极坐标系下二重积分的计算极坐标系下二重积分的计算(按积分区域分类)(按积分区域分类)(按积分区域分类)(按积分区域分类)积分区域积分区域定积分定积分二重积分二重积分D曲线积分曲线积分一型:
对弧长一型:
对弧长二型:
对坐标二型:
对坐标格林公式格林公式多元函数积分学概况多元函数积分学概况推推广广推推广广11二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在a,b可积.则如图0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中ixi,xi+1,xi=xi+1xi,表小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表示小矩形的面积.设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若若若若立体的顶是平行于xy面的平面.则平顶柱体的体积=底面积高.0yzxz=f(x,y)D如图一、二重积分几何由来(一、二重积分几何由来(2种理解)种理解)1.1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V.(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶小曲顶小曲顶小曲顶柱体可近似看作小平顶小平顶小平顶小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶大曲顶大曲顶大曲顶柱体的体积分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是(iv)其中其中其中其中DDii的直径是指的直径是指的直径是指的直径是指DDii中相距最远的两点的距离中相距最远的两点的距离中相距最远的两点的距离中相距最远的两点的距离.其中(i,i)Di,i=Di的面积.xyDi如图
(1)平面薄板的质量质量质量质量MM.当平面薄板的质量是均匀分布时,有,平面薄板的质量质量质量质量=面密度面密度面密度面密度面积面积面积面积.若平面薄板的质量不是均匀分布不是均匀分布不是均匀分布不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量质量质量质量MM?
2.2.非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量非均匀分布物体的质量用曲线将D分成n个小区域D1,D2,Dn,设一平面薄板平面薄板平面薄板平面薄板,所占区域为所占区域为所占区域为所占区域为DD,面密度(x,y)0连续.(x,y)D.求该平面薄板的质量质量质量质量MM.(i)如图0xyDDiDi的面积记作i.0xyDDi由于(xx,yy)00连续连续连续连续,从而当Di很小时,(x,y)在Di上的变化不大,可近似看作(xx,yy)在在在在DDii上是不变的上是不变的上是不变的上是不变的.从而可用算均匀薄板的质量的方法算出Di这一小块质量的近似值.(ii)即,(i,i)Di,以(i,i)作为Di这一小片薄板的面密度.从而,第第第第ii片薄板的质量片薄板的质量片薄板的质量片薄板的质量mmii(ii,ii)ii(iii)故,平面薄板的质量(iv)1.1.定义定义设z=f(x,y)是定义在有界闭区域有界闭区域有界闭区域有界闭区域DR2上的有界函数.将D任意分割成分割成分割成分割成nn个个个个无公共内点的小区域Di(I=1,2,n),其面积记为i.(i,i)Di,作积f(i,i)i,二、二重积分的概念与性质二、二重积分的概念与性质若对任意的分法和任意的取法分法和任意的取法分法和任意的取法分法和任意的取法,当0时,和式的极限存在且极限值都为的极限存在且极限值都为的极限存在且极限值都为的极限存在且极限值都为II,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)R(D),并称此极限值I为f(x,y)在D上的二重积分.记作即其中“”称为二重积分符号,DD称为积分区域称为积分区域称为积分区域称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d称为面积元素,xx,yy称为积分称为积分称为积分称为积分变量变量变量变量.和式注注1.定积分二重积分区别在将小区间的长度长度长度长度xxii换成小区域的面积面积面积面积ii,将一元函数一元函数一元函数一元函数ff(xx)在数轴上点i处的函数值f(i)换成二元函数二元函数二元函数二元函数ff(xx,yy)在平面上点(i,i)处的函数值f(i,i).可见可见可见可见,二重积分是定积分的推广二重积分是定积分的推广二重积分是定积分的推广二重积分是定积分的推广.注注2.若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)DiD则除边界上区域外,Di的面积ii=xxiiyyii,故也将二重积分写成注注3.可以证明若f(x,y)在D上连续连续连续连续,则f(x,y)在D上可积可积可积可积,若f(x,y)在D上有界有界有界有界,且在D内只有有限个不连续点有限个不连续点有限个不连续点有限个不连续点,或只在有限条曲线上不连续,则则则则ff(xx,yy)可积可积可积可积.2.2.二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质二重积分的性质.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.性质2.性质3.性质4.若在D上有f(x,y)g(x,y),则特别:
(i)若在D上f(x,y)0,则(ii)这是因为|f(x,y)|f(x,y)|f(x,y)|积分后即得.性质5.若在D上mf(x,y)M,则设f(x,y)C(D),则(,)D,使得性质6.性质7.3.3.二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设二重积分的几何意义设x,yx,y在在在在DD上可积上可积上可积上可积,则则则则(i)当z=f(x,y)0时,(ii)当z=f(x,y)0时,(iii)=(D(D11上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积)(DD22上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积上曲顶柱体体积)1.1.直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何二重积分的几何二重积分的几何二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(A(xx),),则体积xy0axA(x)三、二重积分的计算三、二重积分的计算
(1)设积分区域积分区域积分区域积分区域DD是由两条平行于y轴的直线x=a,x=b及两条曲线y=y1(x),y=y2(x)围成.如图即,D:
D:
yy11(xx)yyyy22(xx),),aaxxbb称为x型区域.特别情形是A、B退缩成一点,E、F退缩成一点.xy0ABEFDy=y1(x)y=y2(x)ab由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积曲顶柱体体积曲顶柱体体积曲顶柱体体积V.V.如图.过点x0作平面平面平面平面xx=xx00,截面是平面x=x0上的,以z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何定积分的几何定积分的几何定积分的几何意义,zx0yy2(x0)y1(x0)Dy=y2(x)y=y1(x)z=f(x,y)z=f(x0,y)x0ab从而,故右端称为先对先对先对先对yy,再对再对再对再对xx的二次积分(累次积分).计算原则计算原则:
由里到外.即先将即先将x看作常数看作常数,以y为积分变量,求里层积分.得到的结果是只含x,不含y的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).注注1.公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x型区域即可.注注2.习惯上常将右端的二次积分记作即
(2)类似,若D:
x1(y)xx2(y),cyd,称为y型区域,则二重积分可化为先对先对先对先对xx,再对再对再对再对yy的二次积分.即xy0dcEFx=x2(y)x=x1(y)D(3)若若若若DD既是既是既是既是xx型区域型区域型区域型区域,又是又是又是又是yy型区域型区域型区域型区域.比如x0yx0yx0y则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,当用某次序算二重积分不好算时某次序算二重积分不好算时某次序算二重积分不好算时某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序可改换积分次序可改换积分次序可改换积分次序,可能好算可能好算可能好算可能好算.此时,(4)若D的形状较复杂,既不是x型区域,也不是y型区域.xy0D1D2D3D则可用一些平行于x轴和平行于y轴的直线将其分成若干块分成若干块分成若干块分成若干块,使每一块或为x型,或为y型,分块积.如图(5)设D:
y1(x)yy2(x),axb,为x型区域.其中y2(x)为分段函数.如图则由于由于由于由于yy22(xx)是分段函数是分段函数是分段函数是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式.故应将故应将故应将故应将DD分成分成分成分成DD11,D,D22,分块积分分块积分分块积分分块积分.xy0D1D2y=1(x)y=2(x)ab(6)不论是先对x积分还是先对y积分里层积分的上、下限总是曲线的函数表达式,而外层积分的上、下限是点的坐标.且上限上限下限下限.称为从里到外、线从里到外、线线线;点点点点.例例1.1.xy0y=xy=x2x为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解解:
先画区域先画区域先画区域先画区域DD的图形的图形的图形的图形.法1.先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是0,1.因此,外层积分下限为0,上限为1.即xy0y=xy=x211法法2.先对x积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对对对对xx积分的下限为积分的下限为积分的下限为积分的下限为yy,上限为上限为上限为上限为而该射线的变化范围是0,1.故外层对y的积分下限为0,上限为1.例例2.2.解解:
先画D的图形.先对x积分.作与x轴同向的射线穿过D.易知,x从左方曲线y=x2即右方曲线y=x+2即x=2y.而y0,1.xy0y=x+2y=x2112故所以,原式=问问,若先对若先对y积分积分,情形怎样情形怎样?
xy0y=x+2y=x2112例例3.3.求解:
解:
由于是“积不出”的,怎么办?
要改换积分次序.先画积分区域先画积分区域先画积分区域先画积分区域DD的图形的图形的图形的图形.由积分表达式知,D:
yx1,0y1画曲线x=y和x=1,直线y=0,y=1.如图:
故原式=yx0Dy=x由例2,例3知,选择适当的积分顺序选择适当的积分顺序选择适当的积分顺序选择适当的积分顺序,有时能使积分变得简便,易行简便,易行简便,易行简便,易行。
在作题时,当按某一顺序积分很难,或不可行时,可改换积分顺序试一试。
例例4.4.改换解:
解:
写出D的表达式,画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24例例5.5.关于分块函数在D上的积分.其中D:
00xx1,1,00yy11解:
解:
积分区域如图记f(x,y)=|yx|=
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- 高等数学 多元 函数 积分学