数值分析模拟试题docx.docx
- 文档编号:26739710
- 上传时间:2023-06-22
- 格式:DOCX
- 页数:28
- 大小:213.34KB
数值分析模拟试题docx.docx
《数值分析模拟试题docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数值分析模拟试题docx.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
数值分析模拟试题docx
题号
——
三
四
五
六
七
八
九
总得分
评卷人
审核人
得分
一、填空题(每空3分,共18分)
1.为提高计隽粘度,当正数x充分大时,应将ln(x-Vx2-l)改写为.
2.设/(())=0,/
(1)=16,/
(2)=46,则/(0.1]=/{0,1.2]=/(x)的二次
Newton插值多项式为«
3.解线性方程组AX=b的迭代方法X(k^=BX(k)+f收敛的充要条件是
•
4.idA=—,x^a+ih,j=0,】,•••,",计Wf"f(x)dx的复化梯形公式为
nJa
.
二、(1()分)当r=l,-l,2时,/(x)=0,-3,4,写出/⑴的二次Lagrange插值多项式。
三、(1()分)设(p=s/xin{\yx}yre[0J]»求x2的最佳平方逼近多项式。
四、(12确定下列求积公式的待定参数,使其代数将度尽蛍高,并指明所构造出的求积公式所具冇的代数带度:
f/(.丫比屯4.7(0)+4/(0+^/(0).
_1-22'
五、(10分)设方程组Ax=b的系数矩阵为-11一1・判断解此方程组的
_2-21
Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的敛散性。
六、(10分)试就曲数/(x)=4x(x>0)讨论Newton法的收敛性和收敛速度。
七、(10分)用列选主元三角分解法(/U)求F列线性方程组的解:
,・2/\
九、(1()分)用£h/er预估一校正法求初值问题卩=X+y,X>°'的解闻数v(x)在b(o)=i,-
x=0.1的近似值(取步长/?
=0.1.小数点后保留四位).
《数值分析》模拟题二
题号
—
二
三
四
五
六
七
A
总得分
评卷人
审核人
得分
一、填空题(每空3分,共24分)
1.设“⑴0=0,1,…,“)是n次Lagiange插值基函数,则工/,(*)—:
i=0
—-
355
2.已知;r=3J4159265…,若取帀作为兀的近似值,则它冇位有效数字:
若要使其近似值;r•的相对课差限不超过」xl0\则”•应取位有效数字。
2
3.4个节点的牛顿柯特斯求积公式的代数権度为;4个节点的插值型求积公式
最高代数辂度为.
”I
4.解初值问®的梯形格式儿“=几+红/V”,儿)+/(心,儿")]腿
Xxo)_/oz
阶方法。
5.若用复化梯形公式计算积分(2x:
心.区间(0.2|应零分为”=才能使截断
课差不超过丄“04.
2
二、计算题(每小题9分,共18分)
1.求满足P(xJ)==()丄2)及P(x1)=f(xj的插值多项式及其余项表达
式.
2.设厂(x)在[0川存在,给定求积节点心=一
4
的插值型求积公式,并写出它的截断误差。
三、(8分)设(p=span\\,x},xe|0,1]»求函数/(x)=x244佳-•致逼近多项式,并
求最佳逼近值.
四、(10分)对j'/(xXZr构造一个至少JI冇3次代数精護的求积公式.
'1-22'
五、(10分)设方程组Ax=b的系数矩阵为-11-1,判斯解此方程组的
-2-2I
Jacobi迭代法和Gates-Seidel迭代法的敛散性.
六、(1()分)设f(x)=(x3-a)2.写出解/(x)=0的牛顿迭代格式,并证明此迭代格式足线性收敛的。
七、(1()分)用列选主元三角分解法(厶〃)求下列线性方程组的解
240
5
3-11
x2
=
9
-2-20
£
3
丿I、(10分)证明对任意的参数八下列龙格库塔公式是二阶的:
几“=儿+無+瓦);
K: =f(x„+th,y„+JhKJ; 並=/代+(1-/)力,几+(1-"«). 《数值分析》模拟题三 题号 — 二 三 四 五 七 八 总得分 评卷人 审核人 得分 一、填空题(每空5分,共20分) 1.设x>0,其相对泯差为6,则Inx的误差为。 2./(x)€C[a,/>],则在区间0,对上其零次Aiffe--致逼近多项式为. 3.设X,(/=0.1,2,3,4,5)为互异节点,/,(*)为对应的5次Lagrange插值基旳数, 则£(x: +2)1,(0)=;£(3f+X: +1)/,(x)=• r=Oi=0 二、(1()分)用插值基函数的方法求在插值节点a y}=f(x/),mi=j=0,...n的插值多项式。 三、(10分)求x: 在[0.1]上的一次瑕佳平方逼近多项式(其中内积为(/,g)=J: /(x)g(x)次人 四、(1()分)给定求积公式,/(-/»)+4>/(0)+/«,/(/»).求出求积系数,使得代数楙度尽可能高,并指明代数将度. 五、(15分)写出常微分方程数值解法的梯形方法公式,推导其局部截斷误差,并判断该方法的阶数. 六、(15分)证明牛顿迭代法中Umx*_x—其中x*是方程 2g-x“)-2fW y(x)=o的单根。 2x}+x: +x3=4 七、(10分)用血接U/分解方法解方程组Xj+3x: +2x3=6o 片+2xz+2xy=5 X]-2x2+2x3=5 八、(10分)写出计算线性方程组-斗+3乜=-1的Gauss-Seidel迭代格式,并 2xy+7x3=2 分析敛散性。 《数值分析》模拟题四 题号 — 二 三 四 五 七 八 九 总得分 评卷人 审核人 得分 一、填空题(每空4分,共24分) 1.若/(x)=x7+xJ+l.则/[2°,2',...,27]: /[2。 ? ...,2訂. 2./(X)=9x‘+7,x,=”,其中/=0,1,2,",则d6/,=: &住. 3.形如ff(x)dx^AJ(xk)的插值型求积公式,其代数楙度至少可达 °t=o 阶;至多只能达阶。 二、(6分)求一个次数不高于4次的多项式P(x),使他满足P(0)=r(0)=0, P (1)=P(I)=1,p (2)=1. 三、(10分)求e*在区间[0.11上一次城隹一致逼近多项式. 四、(10分)令7;*(x)=7;(2x-l)X€[0,l].其中W(jr)为第一类Chebyshev多项 式。 证明{7;*(x)}是[0,1|上带权p(x)=.1的正交多项式. \IX-X2 五、(10分)设旳数/(x)eC: [a,A].写出计算积分J: /(x)dx的中矩形公式并估计误 差。 六、(10分)设有显式线性两步法y”、=a°y”+aj”_、+,其中 £=/(x”,儿),£-i=/(x”_”儿一J,试确定参数au,a„po,p{,使得该公式为三阶格式。 七、(10分)设a>0.用牛顿法求需,并证明得到的迭代序列收敛到、 2X[+£+*3=4 八、(10分)用Doolittle方法解方程组x1+3x: +2x3=6 X]+2x2+2屯=5 _a13' 九、(10分)设线性方程组AX=b的系数矩阵为/二1a2,试求能使Jacobi -32a 方法收敛的a取值范刑。 《数值分析》模拟题五 题号 — 二 三 四 五 弋 总得分 评卷人 审核人 得分 一、完成下列务题(毎题5分,共25分) 1.要使击歹的近似值的相对i吴差限不超过1()至少应取多少位有效数7? 2.设y”=2”,求<5,oy.. 3.设方程/(x)=0在[0.1]上有且仅有一个实根,若用二分法求解,至少经多少次二分后求得的近似根i5S差不大于IxlO4? 2 (2i\ 4.设矩阵A=lJ求p(A)和com/(A)2. 5.用辛浦生公式求积分j'eXdx的近似值(取屁=1.6487,e=2.7183). 二、(15分〉当x=0,2,3,5时,/(x)=l,3,2,5,用插值基函数法求/(x)的拉格朗日三次插值多项式. 三、(14分)设^>={.r100,xl0'},p(x)=l.在倂上求/(x)=x: eC[0,l]的最佳平方遢近多项式,并估计平方误差。 以、(14分)用改进的欧拉方法解F列初值问题.计算到y(0.2)的近似值(取步长/? =0.1): —=x: +x-y(0 J'(O)=0 Ji.(12分)应用牛顿法于方程/(x)=x"-a=O("O),写岀求亦的牛顿迭代公式,并求世(亦-x如)/(谄 (\26、 卩1 六、(20分)给定方程组Ax=b,其中A= 2515 、b= 2 、61546丿 1.求单位下三角阵L和匕三角阵U,使^A=LU,并求解该方程组: 2.若用雅可比迭代法解上述方程组,是否收敛? 第2耐共2页 《数值分析》模拟题六 题号 一 二 三 总得分 评卷人 审核人 得分 一、完成下列各题(毎题5分,共2()分) 1.要使J2的近似值的相对i吴差限不超过10',至少应取多少位有效数字? 2.设y”=2",求V'oyn. 3.设矩阵A=(;补求q(A)和Co/k/(A)2. 4.确定下列求积公式的待定参数,使英从冇尽可能高的代数楙度,并指出英代数粘度: J: /g*4/(-1)+妙(0)+a(D 二、计算题(共52分) I.(10分)当x=0,2,3,5时,/(x)=l,3,2,5,构造左商表,求三次牛顿插值多项式. 2.(12分)将函数/(x)=arccos(x)在上按切比雪夫多项式 {7;(.r)=l,7;(.v)=x,7;(x)=2x: -l,--}展开,求/(x)的二次最佳平方遇近多项式 (取3位小数计算人 3.(11分)应用牛顿法于方程y(x)=i-电=0("0),写出求需的牛顿迭代公式, .V 并求[im(需一X”])/(亦一xj。 r\ I.(16分)给定方程组Ax=b.其中A=I 、2 (1)求单位下三角阵U和匕三角阵U,使得A=LU.并求解该方程组; (2)若用高斯塞徳尔迭代法解上述方程组,是否收敛? 三、证明题(每题14分,共28分) 1.试用种方法推导出一般欧拉公式,并讨论其局部战断误差. 2.设AwR""为对称正定阵,定义||x|L=(Ax,x)l,证明树八为用上向仗的一种范数。 第2血共2页 《数值分析》模拟题-参考答案 一、填空题(每空3分,共18分) 1.-In(x+7x2-1)«2.16,7,16x+7x(x-l)°3.p(B)<1•4.—[f(xQ)+2^f(xl)+f(xj\<> 2i=i 二、(10分)解: 由Lagrange值公式得: L2(x)= (x-IXx-2)(^1)(x-1)x4=5x^3x (-2)(-3)(2+1)(2」)62 三、(12分)解: 因为 (l,l)=£l dr= (")=! ? 心 11 C'+2Ci=3 所以得方程组 111»解得: —c.+-c,=—2*3-4 阿、(10分)解: 令原式对/(x)=l,x,x: 准确成立,可得方程组: 九+4=1 12I1 A+Bq=2,解之得: 45=-,4=-^o=1。 故相应的求积公式为: 2336 f/(x)dx«|/(0)+1/ (1)+右/(0). 将f(x)=x3代入上述公式可得,*左边*右边=£,故它仅有二阶精度. 五、(10分)解: 两种迭代法的迭代矩阵分别为 分别解得其最大待征根为p(耳)=0<1,p(B: )=2(l+血)>1, 第I页共2页 (10分) 从而: ⑴卜————=1,可知Newlon迭代法发散。 4x 七、(1()分)解: 由紧凑格式的列主元高斯消去法可得 八、(10分〉证明: 由冈|vl可知,1不是矩阵力的特征值,故det(/-4)#0.因此1-A非奇异。 再由(/-畑-/尸"可得,(/-/尸=/+(/—/1)少,故 ||(z-/D-'||s||/|+||(z-/i)'|||p|| 1 HR* 九、(10分)解: 预估枝正|»式为 由此即得必=1+01=1」 J,=1+0.05(14-0」+1.12)^1.1155 y^=yt+h(xt+yi) h, Ae=几+护+”+X"|+/*.! ) 《数值分析》模拟题二参考答案 一、(每空3分,共24分) 1.1: 2.7,4.3.3,7.4.2.5.400. MMr. 二、(毎小题10分,共20分) 1.解: 由给定条件,可确定一个不超过3次的插值多项式。 由于此多项式过 心)=/(卩)(八0,1,2), 故其形式为 ^(•v)=/(x0)+/[x0,x,](x-x0)+/[x0,x1,x2](x-x0Xx-x1)+J(x-x0Xx-x,Xx-x2) 其中A为待定系数,可由条件P(旺)=/(xj确定,通过计克得 A=/(斗)-/[*0,耐卜(曲一心)/卜0,旺,*2](5分) (X】-Xo)(x,-x2) 设余项R(x)=/(x)-P(x)=k(x)(x-x0)(x-X)): (x-x2)>其中R(x)为待定系数。 反复利用罗尔定理, 可求得k(x)=,故/? (x)=/(.V)-p(x)=-x0Xx-X,)2(X-X,)-其中g位于心,X,, 4! 4! (10分) x: 和x所界定的范围内。 2. 解: 因所求的公式是插值型的,故其求积系数町表示为 故求积公式为打⑴心扣(扣尼)](5分) 该求积公式的截断误差为 2)=打曲-羽(扣尼)卜律厂曲_齐_訓 其中gw(0,1)并依赖于X。 (10分) 三、(8分)解: (1)作变罐代换x=/+k则当xg[0,2]时,/€[-! ! ]• 令gU)=/U+l)=U+lF=/2+2/+1,则g(/)在[-1,1]上的一次最佳一致逼近多项式为 W=g(0-212r(0=g(0-|(2/2-1)=2r+1,故/(x)在[0,2]上的次最佳致逼近多项式为: /^(x-l)=2(ac-1)+|=2x-^, 其瑕佳遍近值为: ”(x)_^(*_i)IL=l|g(o-呂«)LTP"石⑴|L=2-=|。 刑、(10分)解: 具有4个节点的插值型求积公式,至少有3次代数辂度。 如果在[0,3]上取节点为0,1,2,3,则插值型求积公式为: N4.7(0)+4/ (1)+4/ (2)+禺/(3) 下面求40=0,1,2,3) (x-lXx-2)(x-3)Jx3 (0-1)(0-2X0-3)-8 同理可求得 993 A=—,Ay=—»属=—(8分) 8-838 r 3gg3 J\x)dxu-/(0)+-/(l)+-/ (2)+-/(3),且该公式具有3次代数粘度。 8888 02-2 02-2 B,=D-,(L+C/)= 101 B2=(D-L)'U= 02-1 220 08-6 (5分) (7分) (10分) 五、(10分)解: 两种迭代法的迭代矩阵分别为 分别解得其最大特征根为p(BJ=O<1.p(BJ=2(1+V2)>1,从而知Jacobi迭代法收敛,GaussSeidel迭代法发散。 六、(10分)解: 因/(x)=(x3-a)\故f(x)=6xz(x3-a),由牛顿迭代公式得下面的迭代格式: (4分) 因迭代函数°(工)=兰+二,而^(x)=l_^x-3,又x°=需则 66x~63 (10分) 9(需)=2-2(需)=丄*0.故此迭代格式是线性收敛的. 632 七、(10分)解: 由紧凑格式的列主元高斯消去法可得 (3分) 八、(10分)证明: 设几二/(£),又y(x)=f(x,y)则 y=Z(x>y)+fy(x>y)f(x>y) 又Kz=(xfl)+thy(x„)+O(A2)>=y(xn)+(\-t)hy(xn)+O(/j: )> 所以几+i=几+£(心+心)二几+妙(£)+y/(x„)+O(hy), 而X^+l)=K+hy(xn)+—y(xn)+O(h3).得局部截断误差为Rntl=ynA (10分) 故所给的公式对任意的参数/是二阶的。 《数值分析》模拟题三参考答案 二、解: 设满足条件的多项式为则用插ffi堆函数写为 /«0 碍(忑)=乙a/(x』=°& 0丿(x*)=00丿'(X*)=0*) 又l.agianSe基嗨数为//.v)=f]兰二,故设ay(x)=(OX+A)/;(X),由基函数条件上0上W丿Xj—X& aJ(x})=(ax)+b)l-(xJ)=\故a=-2//(xy) a/g)=『(Xj)冋(xj+2(些+6儿'(x)=0\b=\+2x)lJ\xJ) a,x)=[l-2(x-xj£―! —]/;(x).Xj~孔 同理可得P)(x)=(x-xj/;(x). 三、解: 设一次最佳平方遍近多项式为£(x)=c°+qx,则满足 解Z得C。 =-丄,c,=1,最佳逼近为£(x)=-丄+x. 66 叫、解: 令/(x)=l,x,x‘.代入求积公式两端,得 A}+4)+4=2方 久(一方)+/1](〃)=0 2胪 £(_硏+久(疗=牛 令/(x)=x‘得公式耕确成立,但iif(x)=x4不粘确成立.故代数粘度为3.(10分) 五、解: 梯形方法公式jB+1=y„+^[f(x„,y„)+f(x„tUy„.])].(5分) 其局部截断谋差为入=y(x„4l)-y(x„)-儿)+./(x”“,儿胡 =畑)-y(xn)-^[y'(x„)+y\xn+力)] =_£/U)+O(巧 由此可知,该方法为2阶的。 (15分) X*-X*T_/(x_) (X*-1f\xk1)(Xr|—X*,)" .f(Xtj=/(x*2)+/'(X*2)(X_-X”: )+£/■(§)(和-耳J,其中§位于X-与g 之间,(3分) 故有X”-X—=_厂@心--和2): =-f'@) (x—-x*J2.厂(x_)(Xi-x*J2.r‘(x*_J (15分) ]im△二Xj=_八计) 2.厂(L) —1 对k=l,由公式為=偽-工=k,k+1,…打得坷]=2,Mu=1,“13=1, r=l *-i 又由I*=(a*=A+=/}1=1/2. (5分) 必=6,-孚”,i=\,...n : : 得j=(4,4,0.6/,x=(l,l,l)r. 兀=(必-工=","- k=d+l (10分) 八、解: 由GaussSeidel迭代公式 严=5+2xf-2屮 : 严=(-1+;严)/3,r**+1)=(2-2x{*+,))/7 (5分) 其迭代矩阵的特征值为人=4=0,/13=26/21,p(G)=26/2l>l,故发亂 (10分) 《数值分析》模拟题四参考答案 一、填空题(每空4分,共24分): 1)1: 0®2)0;♦3)n: +1® 4 二、解: 由片(0)=片(0)=0,人⑴二用⑴=1,依两点三次HenniteMffi公式可側 7^(x)=x2(2-x)(4分) 再设=+由/X2)=l,得A= 故P(x)=x: (2-x)-i-—x2(x-l)=—x2(x-3)2«(6分) 44 三、解: 设e*在区间[0,1]kM佳一次•致逼近多项式为P(x)=a°+qx. 于由e*的二阶导数在(0.1)内保号,区间|()川的两个端点为偏差点,故偏差点xo=0,x2=l.设另外一个偏差点为斗且满足(e*-a°-qx)'=e*-q=0,即e坷=«]=石=ln(e-l)«(5分〉 由交错点组定义知: e°-4o-q・O=K-4o-q・lnq=e-l。 由偏差点性质e°-f»o-al-0=-(ex,)»故a0=^[e-(e-l)ln(e-l)]«所求最佳逼近多项式 为P(x)=(e-l)x+^[e-(e-1)ln(e-1)]«(10分) 舛、证: 7^(x)=cos(/? arccos.v),ve[-l,l]»则 f久』(x)7^*(x)水_「cos(narccos(2x-1))cos(/warccos(2x-1))人(气分) h77^7x='°x/7^7x 令2x-】二COS&0£[0,龙],则原式化为 第】页哄3页 0ni^n 即忑+1=(疋+。 /疋)/2,则对0丸>0,当0<岭<需时, 同理,PXk>暑,可证x*+i>血.又»“-%=匕£<0,即{.耳};“是单调有界数列, 2无 (10分) 故冇极限,设为x°,则牛顿法公式中令k-g得x"=爲° 211 八、 解: 先求系数矩阵A的LU分解: 虫=1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数值 分析 模拟 试题 docx