计算机在材料科学中的应用课件3.ppt
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材料科学研究中常用的数值分析材料科学研究中常用的数值分析方法方法11、概述、概述22、差分方程的建立、差分方程的建立有限差分法有限差分法33、差分方程的求解方法、差分方程的求解方法44、计算误差分析、计算误差分析55、有限差分法解题示例、有限差分法解题示例科学技术和工程领域的背景科学技术和工程领域的背景:
许多力学问题和物理问题虽然能得到它应遵循的基本许多力学问题和物理问题虽然能得到它应遵循的基本方程和定解条件,但难以得到它的方程和定解条件,但难以得到它的解析解解析解。
解决方法:
解决方法:
两种途径两种途径:
对方程和边界条件进行简化,得到问题在简化情况对方程和边界条件进行简化,得到问题在简化情况下的解答;下的解答;采用数值解法。
采用数值解法。
随着计算机技术的发展和广泛应用,随着计算机技术的发展和广泛应用,数值分析方法已数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
成为求解科学技术问题的主要工具。
数值解法数值解法:
以:
以离散数学离散数学为基础,以计算机为工具的一种为基础,以计算机为工具的一种求解方法。
求解方法。
常用数值解法常用数值解法:
数值积分法、有限差分法、有限元法。
:
数值积分法、有限差分法、有限元法。
有限差分法的基本原理有限差分法的基本原理:
把原来求解物体内随空间和时:
把原来求解物体内随空间和时间间连续分布的问题连续分布的问题转化为求在时间领域内和空间领域内转化为求在时间领域内和空间领域内有限个离散点的问题有限个离散点的问题,再用这些离散点上的值去逼近连,再用这些离散点上的值去逼近连续的分布。
续的分布。
概述概述
(1)定义:
)定义:
以以有限差分有限差分代替无限微分、以代替无限微分、以差分代数方程差分代数方程代替代替微分方程、以微分方程、以数值计算数值计算代替数学推导的过程,从而将连续函数离代替数学推导的过程,从而将连续函数离散化,以散化,以有限的、离散的数值有限的、离散的数值代替连续的函数分布。
代替连续的函数分布。
应用广泛应用广泛
(2)有限差分法的主要步骤有限差分法的主要步骤:
(A)构成差分格式构成差分格式。
首先选择网格布局、差分形式和步长;其次,以有。
首先选择网格布局、差分形式和步长;其次,以有限差分代替无限微分,即以限差分代替无限微分,即以代替代替dx,以差商以差商代替微商代替微商,以,以差分方程差分方程代替代替微分方程及边界条件微分方程及边界条件。
(B)求解差分方程求解差分方程。
精确法(直接法,即消元法)精确法(直接法,即消元法)近似法(间接法,即迭代法)松弛法近似法(间接法,即迭代法)松弛法超松弛法超松弛法(C)对所得到的数值解进行对所得到的数值解进行精度与收敛性精度与收敛性分析和检验分析和检验差分方程的建立差分方程的建立
(1)导出差分方程的两种途径导出差分方程的两种途径(AA)从从微分方程微分方程出发,以泰勒级数截断,出发,以泰勒级数截断,从有限差分的从有限差分的数学含义数学含义去建立有限差分和差分去建立有限差分和差分方程方程(BB)从由网格所划分的单元体的从由网格所划分的单元体的能量平衡能量平衡分析出发,由分析出发,由积分方程积分方程去建立差分方程,该方去建立差分方程,该方法又称单元体平衡法法又称单元体平衡法(22)差分方程的建立步骤差分方程的建立步骤(AA)合理选择网格布局及步长合理选择网格布局及步长离散化网格布局的依据:
根据所离散化网格布局的依据:
根据所要求要求解的问题的性质及求解要求解的问题的性质及求解要求确定。
确定。
区域的划分区域的划分离散化网格的选择方法离散化网格的选择方法:
(a)a)物理划分法物理划分法:
根据:
根据问题的物理特问题的物理特性性划分。
划分。
(b)b)形状划分法形状划分法:
以:
以几何区域形状几何区域形状为依为依据划分据划分步长步长:
离散化后各相邻离散点之间的距离,或离散化单元的长度离散化后各相邻离散点之间的距离,或离散化单元的长度步长步长大小可以是大小可以是常量常量,也可以是,也可以是变量变量。
网格的粗细与是否均匀,。
网格的粗细与是否均匀,要根据求解区域物理场的要根据求解区域物理场的实际分布实际分布和对结果所要求的和对结果所要求的精确度精确度而而定。
定。
(B)将微分方程转化为差分方程将微分方程转化为差分方程实质实质:
以差分代替微分、以差商代替微商,是以有限小以差分代替微分、以差商代替微商,是以有限小量去代替无限微量的量去代替无限微量的近似化过程近似化过程例例:
函数:
函数f,其差分,其差分f=f2-f1。
差分分阶差分分阶:
一阶差分:
一阶差分f、二阶差分二阶差分2f、n阶差分阶差分nf等,它们各对应一阶等,它们各对应一阶微分微分df、二阶微分二阶微分d2f,n阶微分阶微分dnf等。
等。
分类分类:
根据差分组成根据差分组成的不同的不同(a)差分差分:
就是某物理量的就是某物理量的有限增量有限增量。
(b)差商:
差商:
函数的差分与自变量差分之比函数的差分与自变量差分之比对直角坐标系对直角坐标系:
一阶差商为一阶差商为直接法直接法差分方程的差分方程的求解方法求解方法间接法间接法间接法又称迭代法间接法又称迭代法优点优点:
计算程序简单,占用内:
计算程序简单,占用内存小;存小;缺点缺点:
重复工作量大,其计算:
重复工作量大,其计算精度取决于迭代次数。
精度取决于迭代次数。
应用应用:
迭代法对于大多数二阶:
迭代法对于大多数二阶差分格式收敛较快,其解的误差分格式收敛较快,其解的误差并不一定比直接法大。
差并不一定比直接法大。
优点:
优点:
可经过有限次运算,求得可经过有限次运算,求得方程组在一定舍入误差内的精确方程组在一定舍入误差内的精确解;精度高、重复工作量小。
解;精度高、重复工作量小。
缺点:
缺点:
计算程序复杂,对计算机计算程序复杂,对计算机资源占用较多资源占用较多适用于求解适用于求解较复杂、阶数较低较复杂、阶数较低的的方程组。
方程组。
分类:
分类:
矩阵法、矩阵法、Gauss消元法及消元法及主元素消元法等。
主元素消元法等。
Guass列主元素消元法列主元素消元法消去法的消去法的基本思想基本思想:
利用:
利用矩阵的初等变换矩阵的初等变换
(1)对调两行;)对调两行;
(2)以数)以数0乘某一行中的所有元素;乘某一行中的所有元素;(3)把某一行所有元素的)把某一行所有元素的倍加到另一行对应的倍加到另一行对应的元素上去。
元素上去。
(44)对线性方程组的系数矩阵和常数项组成的增)对线性方程组的系数矩阵和常数项组成的增广矩阵进行变换,逐步减少方程中的变元数,最广矩阵进行变换,逐步减少方程中的变元数,最终使每个方程只含有一个变元,从而得出所求的终使每个方程只含有一个变元,从而得出所求的解。
解。
包括包括消元过程消元过程和和回代过程回代过程两部分。
两部分。
列主元消元法列主元消元法是为了避免在消元过程确定乘数时所用除是为了避免在消元过程确定乘数时所用除数是零或绝对值小的数,数是零或绝对值小的数,即零主元或小主元即零主元或小主元,在每次,在每次确定乘数之前将绝对值大的元素交换到确定乘数之前将绝对值大的元素交换到主对角线主对角线的位的位置上来。
置上来。
具体做法具体做法:
当变换到第:
当变换到第kk步时,从步时,从kk列的列的aakkkk以下(包括以下(包括aakkkk)的各元素中选出绝对值最大的,然后通过的各元素中选出绝对值最大的,然后通过行交换行交换将将其交换到其交换到aakkkk位置上。
位置上。
设设主元在第主元在第l(kl(klln)n)个方程,即个方程,即若若lklk,将将ll和和kk方程互易位置,使新的方程互易位置,使新的aakkkk成为主元,然后继成为主元,然后继续进行,这一步骤称为续进行,这一步骤称为列选主元。
列选主元。
考虑线性方程组考虑线性方程组其中,其中,A为为nn阶矩阵,非奇异;阶矩阵,非奇异;b为为n维向量,维向量,x为为n维末知列向维末知列向量。
量。
例例:
用列消主元法求解方程组:
用列消主元法求解方程组0.5x1+1.1x2+3.1x3=6.02.0x1+4.5x2+0.36x3=0.0205.0x1+0.96x2+6.5x3=0.96设其系数均有两位有效数字,为了减少舍入误差,在以下的计设其系数均有两位有效数字,为了减少舍入误差,在以下的计算中都多保留一位数字。
算中都多保留一位数字。
若用增广矩阵的变换表示列选主、消元与回代过程,则有若用增广矩阵的变换表示列选主、消元与回代过程,则有交换交换1、3行行列选主列选主消元消元消元消元整整理理整整理理回回代代得原方程的解得原方程的解x1=-2.6,x2=1.00,x3=2.00追赶法追赶法:
当方程组(当方程组(2-10)的系数矩阵为)的系数矩阵为三对角矩阵三对角矩阵时时方程组的解方程组的解x可用递推公式表示为可用递推公式表示为例例:
设有线性方程组:
设有线性方程组上组可表示为上组可表示为AX=D由方程组中第一由方程组中第一个方程可推出个方程可推出令令,代入上式得,代入上式得由方程组中第二个由方程组中第二个方程得方程得令令上式可写成上式可写成显然,显然,uk、vk(k=1,2,n-1)均能逐个求得,但均能逐个求得,但xn不知,因此尚需求出不知,因此尚需求出xn。
为此,将方程组中最后一个方程与上式中为此,将方程组中最后一个方程与上式中k=n-1时的方程联立时的方程联立一般地,令一般地,令,为了与前述兼容,规定,为了与前述兼容,规定u0=v0=0,可得可得由现有已知条件由现有已知条件可依次计算出可依次计算出计计算算uk、vk的的过过程程称称为为追追的的过过程程;由由xk的的通通式式逐逐个个计计算算求求得得原方程组的解,即原方程组的解,即xnxn-1x1的过程称为的过程称为赶赶的过程的过程。
迭代法(间接法)迭代法(间接法)与直接法不同,迭代法与直接法不同,迭代法不能通过有限次的算术运算不能通过有限次的算术运算求得方程组的精求得方程组的精确解,而是按照某种规则构造一个向量序列,该序列的确解,而是按照某种规则构造一个向量序列,该序列的极限向量极限向量就是方就是方程组的精确解,通过迭代逐步逼近精确解。
程组的精确解,通过迭代逐步逼近精确解。
构造迭代序列构造迭代序列及及迭代序列的收敛性和收敛速度迭代序列的收敛性和收敛速度是该方法要考虑的主是该方法要考虑的主要问题。
要问题。
(AA)简单迭代法,又称简单迭代法,又称同步同步迭代迭代分类:
分类:
(BB)Guass-SeidelGuass-Seidel迭代法,又称迭代法,又称异步异步迭代法迭代法(CC)超松弛超松弛迭代法等迭代法等迭代序列的构造方法:
迭代序列的构造方法:
对于线性方程组对于线性方程组Ax=b(2-25)构造一个构造一个x(k)值值,将,将x(k)代入上式,求出新的值代入上式,求出新的值x(k+1);再将结果代再将结果代入式入式(2-25),又得到更新的值,又得到更新的值x(k+2);依次迭代下去,即可使其迭代值收依次迭代下去,即可使其迭代值收敛于该方程组的精确解敛于该方程组的精确解T*。
同步迭代法同步迭代法(雅可比迭代)(雅可比迭代)同样,对于线性方程组同样,对于线性方程组Ax=b若若aij0,则可表示为下列形式则可表示为下列形式当迭代次数无限增多时,则当迭代次数无限增多时,则xi(k)将将收敛于精确解收敛于精确解xi(*)Gauss-Seidel迭代法迭代法思想思想:
及时替换及时替换,每次迭代充分利用当前最新的迭代值。
,每次迭代充分利用当前最新的迭代值。
要要点点:
在在第第k步步迭迭代代中中,式式(2-26)中中的的第第1式式仍仍保保持持与与同同步步迭迭代代法法相同相同但对第但对第2式,其中的式,其中的x1(k)则由刚刚得到的第则由刚刚得到的第(k+1)次的次的x1(k+1)取代取代超松弛迭代超松弛迭代是对是对Gauss-Seidel迭代的一种迭代的一种加速处理加速处理,以以加权的方式加权的方式,使,使Gauss-Seidel迭代法的收敛速度加快迭代法的收敛速度加快。
针对。
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- 计算机 材料科学 中的 应用 课件
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