系统分析及控制第四章.ppt
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第四章第四章线性系统的可控性和可观性线性系统的可控性和可观性2009-081CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-1问题的提出4-14-1问题的提出问题的提出u经典控制理论中用传递函数描述系统的输入经典控制理论中用传递函数描述系统的输入输出特性输出特性u输出量即被控量,只要系统是因果系统并且是稳定的,输出输出量即被控量,只要系统是因果系统并且是稳定的,输出量便可以受控,输出量总是可以被测量的,因而不需要提出可量便可以受控,输出量总是可以被测量的,因而不需要提出可控性和可观性的概念。
控性和可观性的概念。
u现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入状态方程描述输入u(t)引起状态引起状态x(t)的的变化化过程;程;u输出方程描述由状出方程描述由状态变化所引起的化所引起的输出出y(t)的的变化。
化。
u可控性和可可控性和可观性正是定性地分性正是定性地分别描述描述输入入u(t)对状状态x(t)的控的控制能力,制能力,输出出y(t)对状状态x(t)的反映能力。
的反映能力。
u它它们分分别回答:
回答:
u“输入能否控制状入能否控制状态的的变化化”可控性可控性u“状状态的的变化能否由化能否由输出反映出来出反映出来”可可观性性2009-082CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-1问题的提出u可控性和可可控性和可观性是卡性是卡尔尔曼(曼(KalmanKalman)在)在19601960年首先提出来的。
年首先提出来的。
u可控性和可可控性和可观性的概念在性的概念在现代控制理代控制理论中无中无论是理是理论上上还是是实践上都是践上都是非常重要的。
非常重要的。
u例如:
在最例如:
在最优控制控制问题中,其任中,其任务是是寻找找输入入u(t),使状态达到预期的,使状态达到预期的轨线。
轨线。
u就定常系统而言,如果系统的状态不受控于输入就定常系统而言,如果系统的状态不受控于输入u(t),当然就无法实现,当然就无法实现最优控制。
最优控制。
u另外,为了改善系统的品质,在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可另外,为了改善系统的品质,在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态是状态x(t)的值通常是难以测取的,往往需要从测量到的中估计出状态的值通常是难以测取的,往往需要从测量到的中估计出状态x(t);u如果输出如果输出y(t)不能完全反映系统的状态不能完全反映系统的状态x(t),那么就无法实现对状态的,那么就无法实现对状态的估计。
估计。
u状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
性的主要依据就是状态空间表达式。
2009-083CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-1问题的提出【例如例如】
(1)分析:
上述分析:
上述动态方程写成方程方程写成方程组形式:
形式:
从状从状态方程来看,方程来看,输入入u不能控制状不能控制状态变量量,所以状,所以状态变量量是不可控的;从是不可控的;从输出方程看,出方程看,输出出y不能反映状不能反映状态变量量,所以状,所以状态变量量是不能是不能观测的。
即状的。
即状态变量量不可控、可不可控、可观测;状;状态变量量可控、不可可控、不可观测。
22u2009-084CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-1问题的提出(22)分析:
上述分析:
上述动态方程写成方程方程写成方程组形式:
形式:
由于状由于状态变量量x1,x2都受控于都受控于输入入uu,所以系,所以系统是可控的;是可控的;输出出yy能反映状能反映状态变量量x1,又能反映状,又能反映状态变量量x2的的变化,所以系化,所以系统是可是可观测的。
即状的。
即状态变量量x1可控、可可控、可观测;状;状态变量量x2可控、可控、可可观测。
2u2009-085CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-1问题的提出(3)分析:
上述分析:
上述动态方程写成方程方程写成方程组形式:
形式:
从状从状态方程看,方程看,输入入u能能对状状态变量量x1,x2施加影响,似乎施加影响,似乎该系系统的所有的所有状状态变量都是可控的;从量都是可控的;从输出方程看,出方程看,输出出y能反映状能反映状态变量量x1,x2的的变化,似乎系化,似乎系统是可是可观测的。
的。
实际上,上,这个系个系统的两个状的两个状态变量既不是完全可控的,也不是完全可量既不是完全可控的,也不是完全可观测的。
的。
要解要解释和和说明明这一情况,就必一情况,就必须首先弄清楚可控性和可首先弄清楚可控性和可观性的性的严格定格定义及及判判别方法。
方法。
2009-086CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性4-2线性定常连续系统的可控性定定义4.1(状(状态可控性定可控性定义):
):
对于于线性定常系性定常系统,如果存在一个分段如果存在一个分段连续的的输入入u(t),能在能在t0,tf有限有限时间间隔内,使得系隔内,使得系统从某一初始状从某一初始状态x(t0)转移到指定的任移到指定的任一一终端状端状态x(tf),,则称此状称此状态是可控的。
若系是可控的。
若系统的所有状的所有状态都是可控的,都是可控的,则称此系称此系统是状是状态完全可控的,完全可控的,简称系称系统是可控的。
是可控的。
一、线性定常连续系统状态可控性的定义一、线性定常连续系统状态可控性的定义
(1)上述定)上述定义可以在二可以在二阶系系统的相平面上来的相平面上来说明。
假如相平面中的明。
假如相平面中的P点能点能在在输入的作用下入的作用下转移到任一指定状移到任一指定状态P1,P2,Pn,那么相平面上的那么相平面上的P点是点是可控状可控状态。
假如可控状。
假如可控状态“充充满”整个状整个状态空空间,即,即对于任意初始状于任意初始状态都能找都能找到相到相应的控制的控制输入入u(t),使得在有限使得在有限时间间隔内,将此状隔内,将此状态转移到状移到状态空空间中的任一指定状中的任一指定状态,则该系系统称称为状状态完全可控。
完全可控。
关于可控性定关于可控性定义的的说明:
明:
2009-087CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性PP3P1P2PnP40x1x2可控状态的图形说明
(2)在可控性定在可控性定义中,把系中,把系统的初始状的初始状态取取为状状态空空间中的任意有限点中的任意有限点x(t0),而而终端状端状态也也规定定为状状态空空间中的任意点中的任意点x(tf),这种定种定义方式不便于写方式不便于写成解析形式。
成解析形式。
为了便于数学了便于数学处理,而又不失一般性,我理,而又不失一般性,我们把上面的可控性定把上面的可控性定义分两种情况叙述:
分两种情况叙述:
把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点,而终端目标规把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点,而终端目标规定为状态空间中的原点。
于是原可控性定义可表述为:
定为状态空间中的原点。
于是原可控性定义可表述为:
对于给定的线性定常系统对于给定的线性定常系统2009-088CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性如果存在一个分段如果存在一个分段连续的的输入入u(t),,能在,能在t0,tf有限时间间隔内,将有限时间间隔内,将系统由任意非零初始状态系统由任意非零初始状态x(t0)转移到零状态转移到零状态x(tf),则称此系统是状态完,则称此系统是状态完全可控的,简称系统是可控的。
全可控的,简称系统是可控的。
把系把系统的初始状的初始状态规定定为状状态空空间的原点,即的原点,即,终端状端状态规定定为任意非零有限点,任意非零有限点,则可达定可达定义表述如下:
表述如下:
如果存在一个分段如果存在一个分段连续的的输入入u(t),,能在,能在t0,tf有限时间间隔内,将有限时间间隔内,将系统由零初始状态系统由零初始状态x(t0)转移到任一指定的非零终端状态转移到任一指定的非零终端状态x(tf),则称此系,则称此系统是状态完全可达的,简称系统是可达的(能达的)。
统是状态完全可达的,简称系统是可达的(能达的)。
对于给定的线性定常系统对于给定的线性定常系统2009-089CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性对于线性定常系统,可控性和可达性是等价的;对于线性定常系统,可控性和可达性是等价的;在在以以后后对对可可控控性性的的讨讨论论中中,均均规规定定目目标标状状态态为为状状态态空空间间中中的的原原点点,并并且且我我们们所所关关心心的的,只只是是是是否否存存在在某某个个分分段段连连续续的的输输入入u(t),能能否否把把任任意意初初始始状状态态转转移移到到零零状状态态,并并不不要要求求算算出出具具体体的的输输入入和和状状态轨线。
态轨线。
2009-0810CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性定理定理4.1:
(可控性秩判据):
(可控性秩判据)其系其系统状状态完全可控的充分必要条件是:
由完全可控的充分必要条件是:
由A、B构成的可控性判构成的可控性判别矩矩阵满秩,即秩,即其中,其中,n为该系系统的的维数。
数。
二、可控性的判别准则二、可控性的判别准则对于于n阶线性定常系性定常系统【例例4.2.1】判判别下列状下列状态方程的可控性。
方程的可控性。
(2)(3)(4)
(1)2009-0811CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性
(1)解:
解:
系系统不可控不可控
(2)系系统不可控。
不可控。
解:
解:
(3)解:
解:
系系统可控。
可控。
(4)解:
解:
系系统不可控。
不可控。
2009-0812CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性设线性定常系性定常系统具有互不相同的具有互不相同的实特征特征值,则其状其状态完全可控的充分必要条件是:
系完全可控的充分必要条件是:
系统经非非奇异奇异变换后的后的对角角标准型准型其中,其中,阵不存在全零行。
阵不存在全零行。
定理定理4.2:
非奇异线性变换的不变特性:
非奇异线性变换的不变特性:
(1)线性变换后,可控性不变;线性变换后,可控性不变;
(2)线性变换后,可观性不变。
线性变换后,可观性不变。
2009-0813CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性【例例4.2.2】判判别下列系下列系统的状的状态可控性。
可控性。
(2)(3)(4)解:
解:
(1)状)状态方程方程为对角角标准型,准型,B阵中不含有元素全中不含有元素全为零的行,故系零的行,故系统是可是可控的。
控的。
(2)状)状态方程方程为对角角标准型,准型,B阵中含有元素全中含有元素全为零的行,故系零的行,故系统是不是不可控的。
可控的。
(3)系)系统可控。
可控。
(4)系)系统不可控。
不可控。
(1)2009-0814CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性【例例4.2.3】判判别下列系下列系统的状的状态可控性。
可控性。
解:
在解:
在应用定理用定理4.2这个判个判别准准则时,应注意到注意到“特征特征值互不相同互不相同”这个条件,个条件,如果特征如果特征值不是互不相同的,即不是互不相同的,即对角角阵中含有相同元素中含有相同元素时,上述判据不适,上述判据不适用。
用。
应根据定理根据定理4.1的秩判据来判断。
的秩判据来判断。
对于本于本题:
即系即系统是不可控的。
是不可控的。
2009-0815CAUC-空中交通管理学院空中交通管理学院4-2线性定常连续系统的可控性若若线性定常系性定常系统具有重具有重实特征特征值,且每一个重特征,且每一个重特征值只只对应一个独立特征向量,一个独立特征向量,则系系统状状态完全可控的充分必要条件是:
系完全可控的充分必要条件是:
系统经非奇异非奇异变换后的后的约当当标准型准型中,每个中,每个约当小当小块最后一行所最后一行所对应的的阵中的各行元素不全中的各行元素不全为零。
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- 系统分析 控制 第四