北师大版九年级数学下册 同步练习切线长定理.docx
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北师大版九年级数学下册同步练习切线长定理
《切线长定理》同步练习
1.如图,一圆内切四边形ABCD,且BC=10,AD=7,则四边形的周长为( )
A.32B.34C.36D.38
2.如图所示,P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,若PA=15,则△PCD的周长为( )
A.15B.12C.20D.30
3.如图,△ABC是一张三角形的纸片,⊙O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,已知AD=10cm,小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN),则剪下的△AMN的周长为( )
A.20cmB.15cmC.10cmD.随直线MN的变化而变化
4.如图,⊙O内切于四边形ABCD,AB=10,BC=7,CD=8,则AD的长度为( )
A.8B.9C.10D.11
5.圆外切等腰梯形的一腰长是8,则这个等腰梯形的上底与下底长的和为( )
A.4B.8C.12D.16
6.如图,⊙O是△ABC的内切圆,点D、E分别为边AB、AC上的点,且DE为⊙O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是( )
A.7B.8C.9D.16
7.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )
A.4B.8C.4
D.8
8.如图,PA、PB分别是⊙O的切线,A、B为切点,AC是⊙O的直径,已知∠BAC=35°,∠P的度数为( )
A.35°B.45°C.60°D.70°
9.如图,AB、AC是⊙O的两条切线,B、C是切点,若∠A=70°,则∠BOC的度数为( )
A.130°B.120°C.110°D.100°
10.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B.如果OP=4,PA=
,那么∠AOB等于( )
A.90°B.100°C.110°D.120°
11.如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,下列结论中,错误的是( )
A.∠1=∠2B.PA=PBC.AB⊥OPD.
=PC•PO
12.如图,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D.若PA=5,则△PCD的周长和∠COD分别为( )
A.5,
(90°+∠P)B.7,90°+
C.10,90°-
∠PD.10,90°+
∠P
13.圆外切等腰梯形的中位线等于8,则一腰长等于( )
A.4B.6C.8D.10
14.如图,⊙O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,点D,E分别为BC,AC上的点,且DE为⊙O的切线,则△CDE的周长为( )
A.9B.7C.11D.8
15.已知四边形ABCD是梯形,且AD∥BC,AD<BC,又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G,圆心O在BC上,则AB+CD与BC的大小关系是( )
A.大于B.等于C.小于D.不能确定
16.如图,PA、PB分别切圆O于A、B,并与圆O的切线,分别相交于C、D,已知△PCD的周长等于10cm,则PA=cm.
17.如图,PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,DE分别交PA,PB于D、E,已知P到⊙O的切线长为8cm,那么△PDE的周长为
18.如图,PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D,若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan
∠APB的值是
19.如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D、E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB,BC分别交于点M,N,若⊙O的半径为4cm,则Rt△MBN的周长为
20.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是
21.已知四边形ABCD外切于⊙O,四边形ABCD的面积为24,周长24,求⊙O的半径.
22.如图,AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD、CE分别与⊙O相切于点D、E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,求CE.
23.如图,已知PA、PB分别切⊙O于点A、B,∠P=90°,PA=3,求⊙O的半径.
24.如图,P是⊙O的直径AB的延长线上一点,PC、PD切⊙O于点C、D.若PA=6,⊙O的半径为2,求∠CPD.
25.如图,⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,求⊙O的半径.
答案与解析
1.答案:
B
解析:
解答:
由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等,
所以四边形的周长=2×(7+10)=34.
故选:
B.
分析:
根据切线长定理,可以证明圆外切四边形的性质:
圆外切四边形的两组对边和相等,从而可求得四边形的周长.
2.答案:
D
解析:
解答:
∵P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,CD切⊙O于点E,分别交PA、PB于点C、D,
∴AC=EC,BD=DE,AP=BP,
∵PA=15,∴△PCD的周长为:
PA+PB=30.
故选:
D.
分析:
直接利用切线长定理得出AC=EC,BD=DE,AP=BP,进而求出答案.
3.答案:
A
解析:
解答:
如图:
∵△ABC是一张三角形的纸片,⊙O是它的内切圆,点D是其中的一个切点,AD=10cm,
∴设E、F分别是⊙O的切点,
故DM=MF,FN=EN,AD=AE,
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20(cm).
故选:
A.
分析:
利用切线长定理得出DM=MF,FN=EN,AD=AE,进而得出答案.
4.答案:
D
解析:
解答:
∵⊙O内切于四边形ABCD,
∴AD+BC=AB+CD,
∵AB=10,BC=7,CD=8,
∴AD+7=10+8,
解得:
AD=11.
故选:
D.
分析:
根据圆外切四边形的性质对边和相等进而得出AD的长.
5.答案:
D
解析:
解答:
∵圆外切等腰梯形的一腰长是8,
∴梯形对边和为:
8+8=16,
则这个等腰梯形的上底与下底长的和为16.
故选:
D.
分析:
直接利用圆外切四边形对边和相等,进而求出即可.
6.答案:
A
解析:
解答:
∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切,
∴BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH.
∴BG+CH=BI+CI=BC=9,
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-(BG+EH+BC)=25-2×9=7.
故选A.
分析:
根据切线长定理,可得BI=BG,CI=CH,DG=DF,EF=EH,△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DF+EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=△ABC的周长-(BG+EH+BC),据此即可求解.
7.答案:
B
解析:
解答:
∵PA、PB都是⊙O的切线,
∴PA=PB,
又∵∠P=60°,
∴△PAB是等边三角形,即AB=PA=8,
故选B.
分析:
根据切线长定理知PA=PB,而∠P=60°,所以△PAB是等边三角形,由此求得弦AB的长.
8.答案:
D
解析:
解答:
根据切线的性质定理得∠PAC=90°,
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.
根据切线长定理得PA=PB,
所以∠PBA=∠PAB=55°,
所以∠P=70°.
故选D.
分析:
根据切线长定理得等腰△PAB,运用内角和定理求解.
9.答案:
C
解析:
解答:
∵AB、AC是⊙O的两条切线,B、C是切点,
∴∠B=∠C=90°,∠BOC=180°-∠A=110°.
故选C.
分析:
利用切线的性质可得,∠B=∠C=90°,再用四边形的内角和为360度可解.
10.答案:
D
解析:
解答:
∵△APO≌△BPO(HL),
∴∠AOP=∠BOP.
∵sin∠AOP=AP:
OP=2
:
4=
:
2,
∴∠AOP=60°.
∴∠AOB=120°.
故选D.
分析:
由切线长定理知△APO≌△BPO,得∠AOP=∠BOP.可求得sin∠AOP=
:
2,所以可知∠AOP=60°,从而求得∠AOB的值.
11.答案:
D
解析:
解答:
连接OA、OB,AB,
∵PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,
由切线长定理知,∠1=∠2,PA=PB,
∴△ABP是等腰三角形,
∵∠1=∠2,
∴AB⊥OP(等腰三角形三线合一),
故A,B,C正确,
根据切割线定理知:
=PC•(PO+OC),因此D错误.
故选D.
分析:
由切线长定理可判断出A、B选项均正确.易知△ABP是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的特点,可求出AB⊥OP,故C正确.而D选项显然不符合切割线定理,因此D错误.
12.答案:
C
解析:
解答:
∵PA、PB切⊙O于A、B,CD切⊙O于E,
∴PA=PB=10,ED=AD,CE=BC;
∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA,即△PCD的周长=2PA=10,;
如图,连接OA、OE、OB.
由切线性质得,OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥CD,DB=DE,AC=CE,
∵AO=OE=OB,
易证△AOC≌△EOC(SAS),△EOD≌△BOD(SAS),
∴∠AOC=∠EOC,∠EOD=∠BOD,
∴∠COD=
∠AOB,
∴∠AOB=180°-∠P,
∴∠COD=90°-
∠P.
故选:
C.
分析:
根据切线长定理,即可得到PA=PB,ED=AD,CE=BC,从而求得三角形的周长=2PA;连接OA、OE、OB根据切线性质,∠P+∠AOB=180°,再根据CD为切线可知∠COD=
∠AOB.
13.答案:
C
解析:
解答:
如图,
设圆的外切梯形ABCD,切点分别为E、H、N、中位线为MN,
∴MN=
(AB+CD),
根据切线长定理得:
DE=DH,CF=CH,并且等腰梯形和圆都是轴对称图形,
∴CD=DH+CH=DE+CF=
(AB+CD),
∴CD=MN,而MN=8,
∴CD=8.
故选C.
分析:
如图,设圆的外切梯形ABCD,切点分别为E、H、N、中位线为MN,根据中位线定理可以得到上下底之和,然后利用切线长定理可以得到一腰长等于中位线,由此即可解决问题.
14.答案:
C
解析:
解答:
如图:
设AB,AC,BC和圆的切点分别是P,N,M,CM=x,根据切线长定理,得
CN=CM=x,BM=BP=9-x,AN=AP=10-x.
则有9-x+10-x=8,
解得:
x=5.5.
所以△CDE的周长=CD+CE+QE+DQ=2x=11.
故选:
C.
分析:
设AB,AC,BC和圆的切点分别是P,N,M.根据切线长定理得到NC=MC,QE=DQ.所以三角形CDE的周长即是CM+CN的值,再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可.
15.答案:
A
解析:
解答:
连接OF,
∵AD是切线,
∴OF⊥AD,
又∵AD∥BC,
∴AB≥OF,CD≥OF,
又∵AD<BC,
∴AB≥OF,CD≥OF最多有一个成立.
∴AB+CD>2OF,
∵BC=2OF,
∴AB+CD>BC.
故选A,
分析:
连接OF,则OF是梯形的高,则AB≥OF,CD≥OF,而两个式子不能同时成立,据此即可证得.
16.答案:
5
解析:
解答:
如图,设DC与⊙O的切点为E;
∵PA、PB分别是⊙O的切线,且切点为A、B;
∴PA=PB;
同理,可得:
DE=DA,CE=CB;
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10(cm);
∴PA=PB=5cm,
故答案为:
5.
分析:
由于DA、DC、BC都是⊙O的切线,可根据切线长定理,将△PCD的周长转换为PA、PB的长,然后再进行求解.
17.答案:
16
解析:
解答:
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C,
∴PA=PB,DA=DC,EC=EB;
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=8+8=16;
∴△PDE的周长为16.
故答案为16.
分析:
由于PA、PB、DE都是⊙O的切线,可根据切线长定理将切线PA、PB的长转化为△PDE的周长.
18.答案:
解析:
解答:
连接PO,AO,
∵PA,PB切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D,
∴∠APO=∠BPO,AC=EC,DE=BD,PA=PB,
∴PA+PB=△PCD的周长=3r,
∴PA=PB=1.5r,
∴tan
∠APB=AO:
PA=r:
1.5r=
,
故答案为:
.
分析:
利用切线长定理得出PA=PB=1.5r,再结合锐角三角函数关系得出答案.
19.答案:
8cm
解析:
解答:
连接OD、OE,
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,
∵∠ABC=90°,
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°,
∴四边形ODBE是矩形,
∵OD=OE,
∴矩形ODBE是正方形,
∴BD=BE=OD=OE=4cm,
∵⊙O切AB于D,切BC于E,切MN于P,NP与NE是从一点出发的圆的两条切线,
∴MP=DM,NP=NE,
∴Rt△MBN的周长为:
MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm,
故答案为:
8cm.
分析:
连接OD、OE,求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°,推出四边形ODBE是正方形,得出BD=BE=OD=OE=4cm,根据切线长定理得出MP=DM,NP=NE,代入MB+NB+MN得出BD+BE,求出即可.
20.答案:
14
解析:
解答:
根据切线长定理,得AD=AE,BC=BE,所以梯形的周长是5×2+4=14,
故答案为:
14.
分析:
由切线长定理可知:
AD=AE,BC=BE,因此梯形的周长=2AB+CD,已知了AB和⊙O的半径,由此可求出梯形的周长.
21.答案:
2
解析:
解答:
设四边形ABCD是⊙O的外切四边形,切点分别为:
F,G,M,E,
连接FO,AO,OG,CO,OM,DO,OE,
四边形ABCD的面积为:
×EO×AD+
OM×DC+
GO×BC+
FO×AB
=
EO(AD+AB+BC+DC)
=
EO×24
=24,
解得:
EO=2.
故r=2.
分析:
利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出⊙O的半径.
22.答案:
2
解析:
解答:
∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E,
∴CD=CE,
∵∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD,
∴AD=CE,
∵AD=2,
∴CE=2.
故答案为:
2.
分析:
由条件可得AD=CD,再由切线长定理可得:
CD=CE,所以AD=CE,问题得解.
23.答案:
3
解析:
解答:
连接OA、OB,
则OA=OB(⊙O的半径),
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,
∴PA=PB,∠OAP=∠OBP=90°,
已知∠P=90°,
∴∠AOB=90°,
∴四边形APBO为正方形,
∴OA=OB=PA=3,
则⊙O的半径长是3,
故答案为:
3.
分析:
连接OA、OB,已知PA、PB分别切⊙O于点A、B,由切线的性质及切线长定理可得:
PA=PB,∠OAP=∠OBP=90°,再由已知∠P=90°,所以得到四边形APBO为正方形,从而得⊙O的半径长即PA的长.
24.答案:
60°
解析:
解答:
∵PA=6,⊙O的半径为2,
∴PB=PA-AB=6-4=2,
∴OP=4,
∵PC、PD切⊙O于点C、D.
∴∠OPC=∠OPD,
∴CO⊥PC,
∴sin∠OPC=2:
4=0.5,
∴∠OPC=30°,
∴∠CPD=60°,
故答案为:
60°.
分析:
根据切线的性质定理和切线长定理求出OP=4,∠OPC=∠OPD,再利用解直角三角形的知识求出∠OPC=30°,即可得出答案.
25.答案:
2
解析:
解答:
连接OD、OE,
∵⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,
∴AF=AD,BE=BF,CE=CD,
OD⊥AD,OE⊥BC,
∵∠ACB=90°,
∴四边形ODCE是正方形,
设OD=r,则CD=CE=r,
∵BC=3,
∴BE=BF=3-r,
∵AB=5,AC=4,
∴AF=AB+BF=5+3-r,
AD=AC+CD=4+r,
∴5+3-r=4+r,
r=2,
则⊙O的半径是2.
故答案为:
2.
分析:
先连接OD、OE根据⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切,得出AF=AD,BE=BF,CE=CD,再根据OD⊥AD,OE⊥BC,∠ACB=90°,得出四边形ODCE是正方形,
最后设OD=r,列出5+3-r=4+r,求出r=2即可.
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