第三讲泰勒公式.ppt
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目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用应用目的用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第三三章目录上页下页返回结束特点:
一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立以直代曲以直代曲在微分应用中已知近似公式:
需要解决的问题如何提高精度?
如何估计误差?
x的一次多项式目录上页下页返回结束1.求求n次近似多项式次近似多项式要求要求:
故令则目录上页下页返回结束2.余项估计余项估计令(称为余项),则有目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束公式称为的n阶泰勒公式阶泰勒公式.公式称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理:
阶的导数,时,有其中则当泰勒目录上页下页返回结束公式称为n阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到*可以证明:
式成立目录上页下页返回结束特例特例:
(1)当n=0时,泰勒公式变为
(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差目录上页下页返回结束称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上麦克劳林由此得近似公式目录上页下页返回结束二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式目录上页下页返回结束其中麦克劳林公式麦克劳林公式目录上页下页返回结束麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中目录上页下页返回结束其中麦克劳林公式麦克劳林公式目录上页下页返回结束已知其中因此可得麦克劳林公式麦克劳林公式目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:
1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.目录上页下页返回结束例例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解解:
已知令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为目录上页下页返回结束说明说明:
注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.目录上页下页返回结束例例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解解:
近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.目录上页下页返回结束2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3.求解解:
由于用洛必达法则不方便!
用泰勒公式将分子展到项,目录上页下页返回结束3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4.证明证证:
+目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式.目录上页下页返回结束2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P142P144)3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用
(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.
(2)利用多项式逼近函数例如目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习计算解解:
原式第四节作业作业P1451;4;5;7;8;*10
(1),
(2)目录上页下页返回结束证证:
由题设对备用题备用题1.有且点目录上页下页返回结束下式减上式,得令目录上页下页返回结束两边同乘n!
=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!
2.证明e为无理数.证证:
时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.
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