七年级数学下册 培优新帮手 专题06 有理数的计算试题 新版新人教版.docx
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七年级数学下册培优新帮手专题06有理数的计算试题新版新人教版
专题06有理数的计算
阅读与思考
在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的符号演算.
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速度.有理数的计算常用的技巧与方法有:
1.利用运算律.
2.以符代数.
3.裂项相消.
4.分解相约.
5.巧用公式等.
例题与求解
【例1】已知m,n互为相反数,a,b互为负倒数,x的绝对值等于3,则
的值等于______________.
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思路:
利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算.
【例2】已知整数满足,且,那么等于()
A.0B.10C.2D.12
(江苏省竞赛试题)
解题思路:
解题的关键是把25表示成4个不同的整数的积的形式.
【例3】计算:
(1)
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
(2);
(江苏省泰州市奥校竞赛试题)
(3)
.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:
对于
(1),若先计算每个分母值,则掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手;对于
(2),由于相邻的后一项与前一项的比都是7,考虑用字母表示和式;(3)中裂项相消,简化计算.
【例4】都是正整数,并且
,
.
(1)证明:
,;
(2)若,求和的值.
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
解题思路:
(1)对题中已知式子进行变形.
(2)把
(1)中证明得到的式子代入,再具体分析求解.
【例5】在数学活动中,小明为了求的值(结果用表示),设计了如图①,所示的几何图形.
(1)请你用这个几何图形求的值.
(2)请你用图②,在设计一个能求的值的几何图形.
(辽宁省大连市中考试题)
解题思路:
求原式的值有不同的解题方法,二剖分图形面积是构造图形的关键.
【例6】记,令称为这列数的“理想数”,已知的“理想数”为2004.求的“理想数”.
(安徽省中考试题)
解题思路:
根据题意可以理解为为各项和,为各项和的和乘以.
能力训练
A级
1.若互为相反数,互为倒数.,的值为____________.
(湖北省武汉市调考试题)
2.若,则=___________.
(“希望杯”邀请赛试题)
3.计算:
(1)=________________;
(2)
=__________________.
4.将1997减去它的,再减去余下的,再减去余下的,再减去余下的,,依次类推,直至最后减去余下的,最后的答案是_______________.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
5.右图是一个由六个正方体组合而成的几何体,每个小正方体的六个面上都分别写着-1,2,3,-4,5,6六个数字,那么图中所有看不见的面上的数字和是___________.
(湖北省仙桃市中考试题)
6.如果有理数满足关系式,那么代数式的值()
A.必为正数B.必为负数C.可正可负D.可能为0
(江苏省竞赛试题)
7.已知有理数两两不相等,则,,中负数的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.0个或2个
(重庆市竞赛试题)
8.若与互为相反数,则=()
A.0B.1C.-1D.1997
(重庆市竞赛试题)
9.如果,,则的值是()
A.2B.1C.0D.-1
(“希望杯”邀请赛试题)
10.若是互为不相等的整数,且,则等于()
A.0B.4C.8D.无法确定
11.把,3.7,,2.9,4.6分别填在图中五个Ο内,再在每个□中填上和它相连的三个Ο中的数的平均数,再把三个□中的平均数填在△中.找出一种填法,使△中的数尽可能小,并求这个数.
(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)
12.已知都不等于零,且的最大值为,最小值为,求的值.
B级
1.计算:
=________________.
(“五羊杯”竞赛试题)
2.计算:
=________________.
(“希望杯”邀请赛试题)
3.计算:
=____________________.
4.据美国詹姆斯·马丁的测算,在近十年,人类的知识总量已达到每三年翻一翻,到2020年甚至要达每73翻番空前速度,因此,基础教育任务已不是“教会一切人一切知识,而是让一切人学会学习”.
已知2000年底,人类知识总量,假入从2000年底xx年底每3年翻一翻;从xx年底到2019年底每1年翻一番;2020年是每73天翻一翻.
(1)xx年底人类知识总量是:
__________________;
(2)2019年底人类知识总量是:
__________________;
(3)2020年按365天计算,2020年底类知识总量会是____________________.
(北京市顺义区中考试题)
5.你能比较和的大小吗?
为了解决这个问题,我们首先写出它的一般形式,即比较与的大小(n是自然数),然后我们从分析n=1,n=2,n=3…中发现规律,经归纳、猜想得出结论
(1)通过计算,比较下列各组中两数的大小:
(在横线上填写“>”“=”“<”)
①,②;③;④;⑤
(2)从第
(1)题的结果中,经过归纳,可以猜想出与的大小关系是_____________________________________________________________________________;
(3)根据以上归纳.猜想得到的一般结论,试比较下列两数的大小_____:
.
(福建省龙岩市中考试题)
6.有xx个数排成一列,其中任意相邻的三个数中,中间的数总等于前后两数的和.若第一个数是1,第二个数是-1,则这个xx个数的和是()
A.-2B.-1C.0D.2
(全国初中数学竞赛海南省试题)
7.如果,那么的值为()
A.-1B.1C.D.不确定
(河北省竞赛试题)
8.三进位制数201可用十进制数表示为;二进制数1011可用十进制法表示为
.前者按3的幂降幂排列,后者按2的幂降幂排列,现有三进位制数,二进位制数,则与的大小关系为().
A.B.C.D.不能确定
(重庆市竞赛试题)
9.如果有理数满足,则()
A.B.
C.D.
(“希望杯”邀请赛试题)
10.有1998个互不相等的有理数,每1997个的和都是分母为3998的既约真分数,则这个1998个有理数的和为()
A.B.C.D.
(《学习报》公开赛试题)
11.观测下列各式:
,
,
...
回答下面的问题:
(1)猜想=______________.(直接写出你的结果)
(2)利用你得到的
(1)中的结论,计算的值.
(3)计算①的值;
②的值.
专题06有理数的计算
例128或-26
例2D提示:
abcd=5×1×(-1)×(-5),a=-5,b=1,c=-1,d=-5.
例3
(1)提示:
==.
(2)提示:
设s=,则7s=
(3)原式=
+
=1+1-=2-=
例4
(1)A=
==
同理B=
由A-B=-==得
∴m==13-,又∵m,n均为正整数,∴13+n为13×13的因数,∴13+n=
∴n156,m=12.
例5
(1)原式=1-,
(2)
例6由题意知
,即
.又
∴
=2004×500.
故8,,,…,的“理想数“为
””==xx.
A级
1.2提示:
原式==1+1=2.
2.2提示:
M-1+,解得M=2.
3.
(1);
(2)-8
4.1提示:
设a=1997,由题意原式==
5.-136.B7.B提示:
不妨设x>y>z.
8.B9.D10.A
11.
提示:
设○内从右到左填的数分别为,,,,则△内填的数为.
要使△中填的数尽可能小,则,,分别为2,9,3,7,而剩下的两个为,.
12.1998提示:
时,m=4;时,n-4.
B级
1.612.5提示:
倒叙相加.
2.6提示:
3.4.
(1)
(2)(3)
5.
(1)略
(2)当n<3时,;当n≥3时,(3)>
001-0007
6.A提示:
先写出前面一些数:
1,-1,-2,-1,1,2,1,-1,…,经观察发现每6个数为一次循环,又xx=334×6+5.而每一组中1+(-1)+(-2)+(-1)+1+2=0,故这xx个数的和,等于最后五个数之和.为1+(-1)+(-2)+(-1)+1=-2.
7.A8.A9.A10A
11.
(1)×π2×(n+1)2
(2)原式=×1002×(100+1)2=25502500
(3)①原式=×100×(100+1)2-×102×(10+1)2=25499475;
②原式=23×(13+23+33+…+493+503)=23××502×(50+1)2=13005000.
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