北师大版数学九年级下册第三章圆教学案.docx

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北师大版数学九年级下册第三章圆教学案

课题:

3.1圆

【学习目标】

1、理解圆的描述定义,了解圆的集合定义.

2、经历探索点与圆的位置关系的过程，以及如何确定点和圆的三种位置关系

【重点难点】

重点：

会确定点和圆的位置关系.。

难点：

初步渗透数形结合和转化的数学思想，并逐步学会用数学的眼光和运动、集合的观点去认识世界、解决问题.

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【自主学习】（自学课本Ｐ65---P67思考下列问题）

1、举例说出生活中的圆。

2、车轮为什么做成圆形？

3、你是怎样画圆的？

你能讲出形成圆的方法有多少种吗？

【合作探究】（由自主学习第四题归纳总结下列概念）

1、圆的集合定义（集合的观点）

2、圆的运动定义：

_______________（运动的观点）

圆心：

半径：

3、圆的表示方法：

以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”．

4、同时从圆的定义中归纳：

（1）圆上各点到（圆心）的距离都等于半径）；

（2）到定点的距离等于的点都在同一个圆上．

5、与圆的有关概念？

讨论圆中相关元素的定义．如图，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？

弦：

；

直径：

；

弧：

；

弧的表示方法：

；

半圆：

；等圆：

等弧“优弧：

劣弧：

；

6、点和圆的位置关系：

在平面内任意取一点P，点与圆有哪几种位置关系？

若⊙O的半径为r，

点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆dr

点P在圆dr

点P在圆dr

【训练案】

1、设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形；

（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。

2、正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A；点C在⊙A；点D在⊙A。

3、已知⊙O的半径为5cm.

（1）若OP=3cm，那么点P与⊙O的位置关系是：

点P在⊙O；

（2）若OQ=cm，那么点Q与⊙O的位置关系是：

点Q在⊙O上；

（3）若OR=7cm，那么点R与⊙O的位置关系是：

点R在⊙O

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.2圆的对称性

【学习目标】

1、探索圆的对称性，能找出圆的对称轴。

2、能运用其对称性推出在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系。

【重点难点】

重点：

在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的推导。

难点：

运用在同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系解决问题。

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1、在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做图形，这条直线叫做。

2、中心对称图形是

【自主学习】

1.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

你能找到多少条对称轴？

（自学课本Ｐ70--P72思考下列问题）

由此得出：

2.一个圆绕它的圆心旋转1800，与原来的图形重合吗？

那旋转任意一个角度，还能与原图形重合吗？

由此得出：

3.认识弧、弦、直径这些与圆有关的概念

（1）圆弧：

如图：

优弧：

劣弧：

（2）弦：

如图：

弦：

（3）直径：

如图：

直径：

【合作探究】

1、按照下列步骤进行小组活动：

⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O

⑵在⊙O和⊙O

中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠

，连接AB、

⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O

重合（如图）

⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA

重合

在操作的过程中，你有什么发现？

___________________________

2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？

你能够用文字语言把你的发现表达出来吗?

3、圆心角、弧、弦之间的关系：

4、试一试：

如图，已知⊙O、⊙O

半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O

的两条弦填空：

（1）若AB=CD，则，

（2）若AB=CD，则，

（3）若∠AOB=∠CO

D，则，

5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？

弧的大小：

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等

【训练案】

1、判断：

（1）直径是弦，弦是直径。

（）

（2）、半圆是弧，弧是半圆。

（）

（3）周长相等的两个圆是等圆。

（）（4）、长度相等的两条弧是等弧。

（）（5）同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）（6）、在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（）

3.一条弦把圆分成1：

3两部分，则劣弧所对的圆心角为________。

4.⊙O中，直径AB∥CD弦，

，则∠BOD=______。

5.在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.3垂径定理（选学）

【学习目标】

1、掌握垂径定理，并会应用垂径定理进行简单的计算；

2、掌握与垂径定理有关的推论，并能应用这一推论解决问题。

【重点难点】

重点：

垂径定理的掌握及运用.

难点：

垂径定理的探索和证明

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1、如图，AB是⊙O的；CD是⊙O；⊙O中优弧有；劣弧有。

2.在圆或圆中，能够叫等弧。

【自主学习】

1、用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，你发现了什么？

2、如图，AB是⊙O的一条弦.作直径CD，使CD⊥AB,垂足为M.

（1）此图是轴对称图形吗?

如果是,其对称轴是什么?

（2）你能发现图中有那些等量关系吗？

说一说你的理由。

由此得出：

垂径定理：

符号语言：

CD是⊙O的，AB是⊙O的，且CDAB与M。

=，=，=。

也可以表示为：

①CD是直径、AB是弦①

②

②CD⊥AB③

3、看下列图形，是否能使用垂径定理？

【合作探究】

1、探索垂径定理的逆定理;如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．利用圆纸片动手做一做，然后回答：

（1）右图是轴对称图形吗?

如果是，其对称轴是什么?

（2）你能发现图中有那些等量关系？

说一说你的理由。

由此得出:

垂径定理的逆定理：

【训练案】

1、证明：

垂径定理。

2、如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD，点O是CD的圆心），其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.4圆周角与圆心角的关系

（1）

【学习目标】

1、认识圆周角，经历探索圆周角和圆心角的关系的过程,理解和掌握圆周角定理;

2.能应用圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。

【重点难点】

重点：

探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题。

难点：

圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明。

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1、圆心角的定义?

。

2、在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系:

【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）

1、圆周角定义：

2判定下列各角哪些是圆周角？

3、圆周角特征：

角的顶点上，两边是圆的

圆心角特征：

角的顶点是，两边是圆的

【合作探究】

1、

探究一条弧所对的圆周角与它所

对的圆心角之间的关系。

（自学、对学、小组交流画出所有的情况进行分析）

由此得出圆周角定理：

2、

（1）如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC

=

。

（2）如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=

（3）如图，∠B

AC=40°，则∠OBC=

3、（思考与探索）

（1）、如图，BC所对的圆心角有多少个？

BC所对的圆周角有多少个？

请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角。

（2）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心角有什么关系？

由此得出什么:

在同圆或等圆中，。

【训练案】

1、如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C

所在直线的同侧，∠BAC=350

（1）∠BDC=_______°理由是．

（2）∠BOC=_______°理由是．

2、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=1

00°，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.4圆周角与圆心角的关系

（2）

【学习目标】

掌握圆周角定理几个推论,会熟练运用推论解决问题.；认识圆内接四边形，掌握圆内接四边形的性质。

【重点难点】

重点：

圆周角定理几个推论的应用.

难点：

应用圆心角与圆周角的关系解决问题。

．

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1.圆周角定理：

_____________________________________。

2．如图，∠BOC是角，∠BAC是角。

若∠BOC=80°，∠BAC=。

第2题图

第3题图

3．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°，则∠BCA=（）

A.25°B.32.5°C.30°D.45°

【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）

1．观察图②，BC是⊙O的直径，它所对所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？

你是如何判断的？

观察图③，圆周角∠BAC=90°，弦BC经过圆心吗？

为什么？

图②图③

由此得出：

直径所对的，

90°的圆周角所对的弦是

2、探究一条弧所对的圆周角与它所

对的圆心角之间的关系。

（自学、对学、小组交流画出所有的情况进行分析）

由此得出：

【合作探究】

（1）如图1，A,B,C,D,是⊙O的四点，AC是⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD的之间有什么关系？

为什么？

（2）如图2，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD的之间的关系还成立吗?

为什么？

图1图2

由此得出

（1）圆内接四边形的定义：

圆内接四边形的性质1：

。

（3）如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE有什么关系？

为什么?

又得出：

圆内接四边形的性质2：

:

【训练案】

1.如图。

⊙O的直径AB=

10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC=30°，求AC的长。

2.在⊙O中，∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.5确定圆的条件

【学习目标】

掌握确定一个圆的条件，能画出三角形的外接圆；会求特殊三角形的外接圆的半径。

【重点难点】

重点：

理解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念，用尺规作三角形的外接圆。

难点：

根据三角形外接圆的作法确定圆心。

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1、过一点可以作几条直线？

2、过几点可确定一条直线？

【自主学习】（自学、对学、探索圆周角的定义和特征）

1、经过一点A是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（作出图形）

2、经过两个点A、B是否可以作圆？

如果能作，可以作几个？

（据分析作出图形）

３、经过三点,是否可以作圆,如果能作,可以作几个?

4、经过三点一定就能够作圆吗?

若能作出，若不能，说明理由.

归纳结论：

【合作探究】

１、已知：

不在同一直线上的三点A、B、C，求作：

⊙O使它经过点A、B、C（要求用尺规作图，写出作法）

２、由上述得出：

三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。

３、小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A、B、C（如图）,使AB=BC.并测量得:

AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么？

【训练案】

1、按图填空：

（1）

是⊙O的_________三角形；

（2）⊙O是

的_________圆，

2、判断题：

（1）经过三点一定可以作圆；（  ）

（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（  ）

（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（  ）

（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（  ）

（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（  ）

3、一个三角形能画个外接圆，一个圆中有个内接三角形。

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.求Rt△ABC的外接圆的半径和面积。

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获?

课题:

3.6直线与圆的位置关系

（1）

【学习目标】

理解直线和圆的三种位置关系：

相交，相离，相切；掌握切线的概念，会正确判断直线和圆的位置关系。

【重点难点】

重点：

理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系。

难点：

灵活运用直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系解决实际问题。

【学法指导】自主探究、认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知链接】

1、三角形的外接圆定义：

。

2、三角形的外心

3、圆的内接三角形

4、确定一个圆的条件：

【自主学习】

1、学生操作，请你画一个圆，上、下移动直尺。

思考：

在移动过程中它们的位置关系发生了怎样的变化？

请你描述这种变化。

并画出图形。

2、讨论后并填空：

①通过上述操作说出直线与圆有几种位置关系②直线与圆的公共点个数有何变化？

由此得出：

直线与圆有＿＿＿＿种位置关系：

▲直线与圆有两个公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿。

▲直线与圆有惟一公共点时，叫做＿＿＿＿，这条直线叫做这个公共点叫做＿

▲直线和圆没有公共点时，叫做＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3、下图是直线与圆的三种位置关系，请观察垂足D与⊙O的三种位置关系，说出这三种位置关系同直线与圆的三种位置关系的联系。

4、探索：

若⊙O半径为r，O到直线l的距离为d，则d与r的数量关系和直线与圆的位置关系：

①直线与圆dr，

②直线与圆dr，

③直线与圆dr。

【合作探究】

1、在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？

为什么？

（1）r=2

（2）r=2

（3）r=3

2、已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm。

（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？

（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？

【训练案】

1、在△ABC中，AB＝5cm,BC=4cm,AC=3cm,

（1）若以C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？

（2）若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值。

（3）若直线AB与半径为r的⊙C相交，试求r的取值范围。

2、圆O的直径4，圆心O到直线L的距离为3，则直线L与圆O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

3、直线

上的一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线

与⊙O的位置关系是（）

（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交

4、已知Rt△ABC的斜边AB＝6cm,直角边AC＝3cm,以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？

当半径多长时，AB与⊙C相切？

【课堂小结】

通过本节课学习，你有哪些收获

课题3.6直线与圆的位置关系

（2）

【学习目标】

1.探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

2.掌握三角形的内切圆的概念，知道三角形的内心，会做三角形的内切圆。

【学习重难点】

重点：

探索圆的切线的判定方法。

难点：

直线与圆的判定性质的应用。

【学法指导】

1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。

2．认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知回顾】

1、三角形的外心：

2、角平分线的性质定理：

3、切线的性质定理：

4、直线与圆的位置关系有哪几种？

5、判断直线和圆的位置关系有哪些方法？

特别地，判断直线与圆相切有哪些方法？

【自主学习】

1、探索直线与圆相切的另一个判定方法

如图,AB是⊙O的直径,直线

经过点A,

与AB的夹角为∠α,当

绕点A顺时针旋转时,

（1）随着∠α的变化，点Ｏ到直线的

距离d如何变化？

直线l与⊙O

的位置关系如何变化？

（2）当∠α等于多少度时，点Ｏ到直线

的距离d等于半径r?

直线

与⊙O有怎样的位置关系？

为什么？

由此得出，圆的切线判定另一种方法：

2、已知⊙O上有一点A，过点A画⊙O的切线。

【合作探究】

1、已知△ABC，求作⊙O，使它与△ABC的三边都相切？

写出作法。

由此得出：

三角形内切圆的定义：

三角形的内心：

这个三角形叫做圆的

2．如图，AB、CD与半圆O切于A、D，BC切⊙O于点E，

若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径。

【训练案】

1、在△ABC中，∠C＝900，I是△ABC的内心，则∠AIC＝1200，则∠AIB＝　　０，

∠BAC＝　　０，∠ABC＝　　　　０．

2、已知直角三角形两直角边长为5、12，则它的外接圆半径R＝　　　，内切圆半径r＝　　　　　．

3、如图，已知PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝600，AB＝4

，求∠C的度数和⊙O的半径．

【课堂小结】

本节中你有什么收获？

课题：

3.7切线长定理（选学）

【学习目标】

1、了解切线长的概念；2、理解切线长定理，掌握它的应用．

【学习重难点】

重点：

切线长定理的理解。

难点：

切线长定理的应用。

【学法指导】

1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。

2．认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知回顾】

1、什么是圆的切线？

2、过圆外一点可引这个圆几条切线？

【自主学习】（自学、对学、教材P94---P95，思考下列问题）

1.你知道什么是切线长吗？

切线长和切线有区别吗？

区别在哪里？

由此得出：

经过圆外一点做圆的切线，这点和之间的叫做切线长。

切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．

2、如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．A、B是切点。

求证：

PA=PB，∠OPA=∠OPB．

【合作探究】

1、四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间都有哪些等量关系？

2、如图，在ΔABC中，AB=5

，BC=7

，AC=8

，⊙O和BC、AC、AB分别相切于D、E、F，求AF、BD和CE的长。

A

【训练案】

1、如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若PB=12，PO=13，则AO=_________．

2.如图，PA，PB分别为⊙O为的切线，PA=3cm，∠APB=60°，则PB=_________．

3．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长是多少？

。

第1、2题

第3题

【课堂小结】

本节中你有什么收获？

课题：

3.8圆内接多边形

【学习目标】

1．理解圆内接正多边形的概念；掌握正多边形和圆中的半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

2.会应用多边形和圆的有关知识画多边形

【学习重难点】

重点：

讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

难点：

通过例题使学生理解四者：

正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

【学法指导】

1.认真阅读课本内容自主探究本节中知识重点。

2．认真完成教学案的问题，并把自己的疑问写出来，最后小组交流并解决。

【旧知回顾】

1、正多边形的概念：

2、请同学们自己举出一些正多边形。

3、矩形，菱形是正多边形吗？

为什么？

【自主学习】（自学、对学、教材P97---P98，思考下列问题）

1、正多边形与圆的关系非常密切。

只要把一个圆分成的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形。

我们把顶点都在叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做正多边形的。

这个多边形叫做圆的。

叫正多边形的中心；叫正多边形的半径；

叫正多边形的中心角；叫正多边形的边心距。

2、做一做

（1）正方形ABCD的外接圆圆心叫做正方形ABCD的。

（2）正方形ABCD的内切圆圆O的半径OE叫做正方形的。

（3）若正六边形的边长是1，那么它的中心角是度，半径是，边心距是，它的每一个内角是度，每一个外角是度。

（4）正多边形的外角度数与它的中心角的度数。

【合作探究】

1、

（1）用尺规作一个已知圆的内接正六边形。

（2）再用尺规作一个已知圆的内接四边形。

3、有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.

【训练案】

1．若正多边形的边心距与边长之比是1∶2则这个正多边形的边数是。

2．正三角形ABC的边心距∶半径∶高等于。

3.一个圆的内接正六边形与外切正六边形的面积之比为。

4.正方形ABCD的对角线的长与它的边长之比是。

5．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是；△ODA的周长是；∠BOC的度数是。

6．如图所示，已知⊙O的周长等于6

cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

第5题第6题

【课堂小结】

本节中你有什么收获？

课题:

3.9弧长及扇形的面积

【学习目标】

1、了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

2、通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=

和扇形面积

S扇=

的计算公式，并能熟练的运用公式解题。

【重点难点】

重点：

弧长与扇形面积公式的推导。

难点：

弧长