离散数学期末考试试题与答案.ppt

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离散数学期末考试2007年元月8日1.（6分分）已知已知A=a,a,b,B=b,a,求求AB,AB,P（A）.解解:

AB=（a,b）,（a,a）,（a,b）,（a,a）,（b,b）,（b,a）AB=（A-B）（B-A）=a,b,bP（A）=,a,a,b,a,a,a,b,a,b,A.2.（4分分）已知已知R1,R2是是A上的对称关系上的对称关系,R1R2对称吗对称吗?

证明或证明或举反例说明举反例说明.解解:

一般地一般地,R1R2R1R2.反例反例:

R1=（1,3）,（3,1）对称对称!

R2=（3,2）,（2,3）对称对称!

R1R2=（1,2）不对称不对称!

3.（6分分）G是一个群是一个群,H是是G的子群的子群.g1,g2G,（g1,g2）Rg1g2-1H.证明证明R是是G上等价关系上等价关系.证明证明:

对于任意的对于任意的aG，aa-1=eH，（a,a）R，故，故R是自反的。

是自反的。

对于任意的对于任意的a，bG，若，若（a,b）R，ab-1H，（ab-1）-1=ba-1H，（b,a）R，故，故R是对称的。

是对称的。

对于任意的对于任意的a,b,cG，若，若（a,b）R，（b,c）R，ab-1H且且bc-1H，（ab-1）（bc-1）=ac-1H，（a,c）R，故，故R是传递的。

是传递的。

4.（6分分）A=1,2,3,5,10,15,30,x,yA,xyx|y.

（1）画出画出（A,）的哈斯图的哈斯图

（2）判断判断（A,）是格否是格否?

分配格吗分配格吗?

有补格有补格?

布尔格吗布尔格吗?

3010152531格格?

分配格分配格?

有补格有补格?

布尔格布尔格5.已知已知f:

AB,g:

BC,f是单射是单射,g是单射是单射,证明证明gf是单射是单射.若若gf是满射是满射,证明证明g是满射是满射.证明证明:

（1）对于任意的对于任意的x1,x2A,若若gf（x1）=gf（x2）,即有即有g（f（x1）=g（f（x2）.由于由于g是单射是单射,故有故有f（x1）=f（x2）.由于由于f是单射是单射,故有故有x1=x2.因而因而,gf是单射是单射.

（2）对于任意对于任意zC,存在存在xA,使得使得gf（x）=z,即即g（f（x）=z.故存在故存在y=f（x）B,使得使得g（y）=z.故故g是满射是满射.6.（4分分）已知已知:

A是可数无限集，是可数无限集，B是有限集，是有限集，且且AB=，求证：

求证：

|A|=|AB|证明证明:

不妨记不妨记A=a1,a2,a3,an,B=b1,b2,b3,bm作映射作映射:

AAB（ai）=bi（i=1,m）（ai）=ai-m（i=m+1,m+2,）则可以说明则可以说明为为AAB的双射，的双射，故结论得证。

故结论得证。

（如果只用一句话说，（如果只用一句话说，AB也是可数无限集，可以得也是可数无限集，可以得2分）分）7.（5分分）画出画出5个顶点的自互补图。

证明当个顶点的自互补图。

证明当n=4k或或4k+1时才时才有有.若一个图和它的补图同构，说它是自互补图。

若一个图和它的补图同构，说它是自互补图。

解解:

（11）（22）因）因为nn个个顶点的无向完全点的无向完全图有有n（n-1）/2n（n-1）/2个个边，所以自，所以自互互补图各有各有n（n-1）/4n（n-1）/4个个边，因此，因此，n=4kn=4k或或4k+14k+1。

8.（5分分）证明证明:

G或者或者G有一个是连通图。

有一个是连通图。

证明：

因为证明：

因为G不连通，则不连通，则G可以分为若干连通子图可以分为若干连通子图:

G1=（V1，E1），），-，Gn=（Vn，En）根据根据G的补图的构造过程知的补图的构造过程知V1中每个顶点与其它顶中每个顶点与其它顶点集点集V2，-，Vn中顶点有边相连。

中顶点有边相连。

这样，这样，在在G的补图中，有的补图中，有n分别属于两个顶点子集分别属于两个顶点子集Vi与与Vj中的任意两个顶点中的任意两个顶点之间有边直接相连，之间有边直接相连，n属于同一个顶点子集属于同一个顶点子集Vi的任意两个顶点借助顶点的任意两个顶点借助顶点子集子集Vj的任意一个顶点连通。

的任意一个顶点连通。

所以，根据连通的定义知：

所以，根据连通的定义知：

G的补图一定连通的补图一定连通。

9.（4分）一个有奇数条边、偶数个顶点的欧拉图，但不是哈一个有奇数条边、偶数个顶点的欧拉图，但不是哈密尔顿图。

密尔顿图。

10（6分分）画出画出K4,4，判断，判断K4,4是否平面图是否平面图.否!

11.（5分分）证明证明:

多于一个顶点的树，至少有两片树叶。

多于一个顶点的树，至少有两片树叶。

证明：

设证明：

设T=（V,E）是一棵树，若是一棵树，若T中最多只有一片树叶，中最多只有一片树叶，则有则有d（v）1+2（|V|-1）=2|E|+1,这与结论这与结论d（v）=2|E|矛盾矛盾!

矛盾说明矛盾说明T不止不止一片树叶。

一片树叶。

12.（8分分）（G,）是一个群，取定是一个群，取定uG.g1,g2G，定义：

，定义：

g1*g2=g1u-1g2.证明证明:

（G,*）是群。

是群。

证明证明:

（1）封闭性封闭性

（2）可以结合性可以结合性（3）幺元幺元e*=u.事实上事实上,g*e*=g*u=gu-1u=ge=ge*g=u*g=uu-1g=eg=g（4）逆元逆元对于对于gG,在代数运算在代数运算*下的逆元记为下的逆元记为g*-1于是于是,g*-1=ug-1u这里这里,g-1是在代数运算是在代数运算下的逆元下的逆元13.（5分分）G是一个群是一个群,H,K是是G正规子群正规子群.证明证明:

HK是是G正规子群正规子群.证明证明:

（1）（3分分）a,bHK,就有就有a,bH,a,bK，因为因为H,K是群是群G的子群，的子群，所以，所以，a*b-1H，a*b-1K，因此，因此a*b-1HK。

故。

故HK是是G的子群。

的子群。

（2）（2分分）对于对于aHK,gG,就有就有aH，aK。

因为因为H，K是群是群G的正规子群，所以的正规子群，所以g*a*g-1H,g*a*g-1K,从而有从而有g*a*g-1HK，故故HK是是G的正规子群。

的正规子群。

14.（4分分）已知已知（G,*），（A,）是两个群，是两个群，f:

GA是群同态的。

是群同态的。

证明证明:

（1）f（eG）=eA（eGG是幺元是幺元,eAA是幺元是幺元）.

（2）gG,f（g-1）=（f（g）-1.证明证明:

（1）f（eGeG）f（eG），又又f（eGeG）f（eG）f（eG），所以，所以f（eG）f（eG）f（eG*eG）f（eG）f（eG）eA，根据群的左消去律根据群的左消去律,有有f（eG）eA。

（2）对于任意的对于任意的gG，f（g*g-1）f（g）f（g-1），又又f（g*g-1）f（eG）eA，所以，所以f（g）f（g-1）eAf（g）（f（g）-1，由左消去律，由左消去律，f（g-1）（f（g）-1。

15.（4分分）下列哪些是循环群下列哪些是循环群:

（1）（Z，+）

（2）（N,+）（3）（Q,+）（4）（Z66,）16.（4分分）试证明联结词集合试证明联结词集合，是完备的。

是完备的。

证明证明:

PQ=PQPQ=（PQ）PQ=（PQ）（PQ）即即，,可以用可以用，表示出来表示出来.所以任何公式所以任何公式均可以由集合均可以由集合，中的联结词表中的联结词表达出来的公式与之等价。

达出来的公式与之等价。

故集合故集合，是完备的。

是完备的。

17.（4分分）试求公式试求公式（pq）（qr）p）的主的主析取范式和主合取范式析取范式和主合取范式.解解:

（pq）（qr）p）=（pq）（qr）p）=（pq）（qr）p）（qr）p）=（pq）（qp）（rp）（qr）p）=pq（qp）（rp）（qrp）=pq（qrp）=（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）（pqr）=（0,1,2,3,4,5,6）=（7）=pqr18.（6分分）将下列语句化为含有量词的谓词演算公式将下列语句化为含有量词的谓词演算公式

（1）不是每个人都能干不是每个人都能干,但一定有人能干但一定有人能干.

（2）有一种气体可以腐蚀任何金属有一种气体可以腐蚀任何金属.（3）凡是对顶角一定相等凡是对顶角一定相等.解解:

（1）（x（P（x）A（x）（x（P（x）A（x）

（2）x（G（x）（y（M（y）R（x,y）（3）xy（A（x,y）（x=y）19.（5分分）已知公理已知公理A:

（pq）（qp）（pq）B:

ppqC:

ppD:

（pr）（qr）（pq）r）E:

pqp证明定理证明定理:

p（pp）证明证明:

（1）ppq公理公理B

（2）ppp代入代入（3）（pr）（qr）（pq）r）公理公理D（4）（pp）（pp）（pp）p）代入代入（5）pp公理公理C（6）（pp）（pp）p）（4）（5）分离分离（7）（pp）p（5）（6）分离分离（8）（pq）（qp）（pq）公理公理A（9）（p（pp）（pp）p）（p（pp）代入代入（10）（pp）p）（p（pp）

（2）（9）分离分离（11）（p（pp）（7）（10）分离分离20.（5分）试求公式x（yX（x,y）（zY（z）Z（x）解解:

原式原式=xyX（x,y）（zY（z）Z（x）=xyz（X（x,y）（Y（z）Z（x）