矩阵论3-1矩阵的可对角化.ppt

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DepartmentofMathematics矩矩阵阵论论电电子子教教程程哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系DepartmentofMathematics矩阵的对角化矩阵的对角化,若当标准型若当标准型第第第第三三三三章章章章DepartmentofMathematics11，掌握矩阵相似对角化的判别方法；掌握矩阵相似对角化的判别方法；2，理解厄米特二次型的含义。

理解厄米特二次型的含义。

3，会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形；会求矩阵的约当标准形；会求史密斯标准形；重点重点:

厄米特二次型厄米特二次型;若当标准型若当标准型难点难点:

矩阵的约当标准形的求法矩阵的约当标准形的求法44，会求若当标准型会求若当标准型DepartmentofMathematics特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的特征值与特征向量的概念在实践中也有着广泛的应用，大型建筑物与机械的振动，机翼的颤振以及调应用，大型建筑物与机械的振动，机翼的颤振以及调节系统的自振等都是常见的例子。

节系统的自振等都是常见的例子。

从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。

因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。

关系。

因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便。

对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，对于每一个给定的线性变换，适当选择的一个基，使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单，这是本使得该线性变换在此基下的矩阵最为简单，这是本节结尾要讨论的问题。

为此，我们引入特征值与特节结尾要讨论的问题。

为此，我们引入特征值与特征向量的概念。

征向量的概念。

DepartmentofMathematics特征值特征值特征向量特征向量设设一一,特征值与特征向量特征值与特征向量的特征值的全体称为的特征值的全体称为的的谱谱的不同特征值对应的特的不同特征值对应的特征向量是线性无关的征向量是线性无关的3.1矩阵的可对角化矩阵的可对角化特征矩阵特征矩阵DepartmentofMathematics代数重复度与几何重复度代数重复度与几何重复度设设,为为的特征值的特征值,称称的特征多项式中的特征多项式中重根数重根数为为的代数重复度的代数重复度,对应的特征子空间对应的特征子空间的的维数维数为为的几何重复度的几何重复度。

定理定理1设设,的代数重复度为的代数重复度为,几何重复度几何重复度为为,则有：

则有：

证明证明:

由于由于，所以：

，所以：

DepartmentofMathematics解答：

解答：

例例11：

及相异特征值的代数重复度与几何重复度及相异特征值的代数重复度与几何重复度求矩阵求矩阵的谱的谱DepartmentofMathematics对于特征值对于特征值，所以所以的特征值是的特征值是，；，对于特征值对于特征值，定理定理2：

设设,的代数重复度为的代数重复度为,几何重复度几何重复度为为,则有：

则有：

的几何重复度不大于它的代数重复度的几何重复度不大于它的代数重复度DepartmentofMathematics设设，则：

，则：

证明：

证明：

因为因为是是的几何重复度，所以的几何重复度，所以对应于对应于，有有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量，是特征子，是特征子空间空间的基，将其扩充为的基，将其扩充为的基：

的基：

DepartmentofMathematics其中其中即：

即：

与与相似。

相似。

又因为：

又因为：

所以：

所以：

DepartmentofMathematics二二矩阵的相似与对角化矩阵的相似与对角化定义：

定义：

设设，若，若与对角阵相似，则称与对角阵相似，则称是是可可对角化对角化；可对角化的矩阵称为；可对角化的矩阵称为单纯矩阵单纯矩阵。

定理定理3：

阶矩阵阶矩阵可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

证明：

证明：

设设为为的全部相异的特征值，的全部相异的特征值，分分别为别为代数和几何重复度，代数和几何重复度，充分性：

因为充分性：

因为所以所以有有个线性无关的特征向量，设特征向量为个线性无关的特征向量，设特征向量为DepartmentofMathematics其中：

其中：

为为对应的特征向量。

对应的特征向量。

设：

设：

所以：

所以：

则：

则：

即即为单纯矩阵，充分性得证。

为单纯矩阵，充分性得证。

DepartmentofMathematics必要性：

必要性：

设设与与相似，则相似，则是是的特征值，不妨设：

的特征值，不妨设：

的代数重复度为的代数重复度为，所以，所以，关于特征值关于特征值至少至少有有个线性无关的特个线性无关的特征向量，于是征向量，于是而有定理知：

而有定理知：

，所以，所以定理得证定理得证DepartmentofMathematics解：

解：

先求出先求出的特征值的特征值推论推论1：

设设，则，则为单纯矩阵的充分必要条为单纯矩阵的充分必要条件是件是有有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量推论推论2：

设设，若，若有有个互不相同的特征值，个互不相同的特征值，则则为单纯矩阵为单纯矩阵例例2：

判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？

是否可以对角化？

DepartmentofMathematics于是的特征值为于是的特征值为（二重）（二重）由于由于是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。

下面我们考虑无关的特征向量。

下面我们考虑从而从而不可以对角化不可以对角化。

DepartmentofMathematics三三,正规阵及其对角化正规阵及其对角化正规矩阵的定义正规矩阵的定义设设,如果如果满足满足那么称矩阵那么称矩阵为一个复为一个复（实实）正规矩阵正规矩阵.例例3：

（1）为实正规矩阵为实正规矩阵证明证明:

DepartmentofMathematics（3）这是一个正规矩阵这是一个正规矩阵.（4）H-阵阵,反反H-阵阵,正交矩阵正交矩阵,酉矩阵酉矩阵,（5）对角矩阵都是正规矩阵对角矩阵都是正规矩阵.酉相似的定义酉相似的定义设设，若存在，若存在，使得，使得:

则称则称酉相似酉相似（或或正交相似正交相似）于于DepartmentofMathematics定理定理1（Schur引理引理）：

任何一个任何一个阶复矩阵阶复矩阵酉相似于一个上酉相似于一个上（下下）三角矩阵三角矩阵即：

即：

其中：

其中：

为上三角阵为上三角阵证明：

证明：

用数学归纳法。

用数学归纳法。

的阶数为的阶数为1时定理显然时定理显然成成立。

现设立。

现设的阶数为的阶数为时定理成立，时定理成立，考虑考虑的阶数为的阶数为时的情况。

时的情况。

取取阶矩阵阶矩阵的一个特征值的一个特征值，对应的单位，对应的单位特征向量为特征向量为，构造以，构造以为第一列的为第一列的阶酉矩阵阶酉矩阵DepartmentofMathematics因为因为构成构成的一个标准正交基，故的一个标准正交基，故因此因此DepartmentofMathematics其中其中是是阶矩阵，根据归纳假设，存在阶矩阵，根据归纳假设，存在阶酉矩阵阶酉矩阵满足满足（上三角矩阵上三角矩阵）令令那么那么注意注意:

等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵的全部特征值的全部特征值.所以所以,由归纳假设结论成立由归纳假设结论成立DepartmentofMathematics定理定理2设设,则则为正规矩阵的充分必要条件是：

为正规矩阵的充分必要条件是：

其中其中:

是是的特征值。

的特征值。

证明证明:

必要性，由引理知必要性，由引理知的对角线为的对角线为的特征值的特征值DepartmentofMathematics因为：

因为：

所以所以即：

即：

比较左右两式得出：

比较左右两式得出：

DepartmentofMathematics充分性：

由充分性：

由，马上有，马上有证明：

因为证明：

因为是正规阵，所以存在是正规阵，所以存在使得使得所以：

所以：

即：

即：

的特征值为的特征值为推论推论1：

正规阵是单纯阵：

正规阵是单纯阵推论推论3：

设：

设为正规阵，其特征值是为正规阵，其特征值是，则则的特征值是的特征值是推论推论2：

正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交：

正规阵的属于不同特征值的特征子空间正交DepartmentofMathematics推论推论4：

设设是正规矩阵是正规矩阵,则则是是H-阵的充要条件是阵的充要条件是的特征值为实数的特征值为实数.推论推论5：

是反是反H-阵的充要条件是阵的充要条件是的特征值的实部的特征值的实部为零为零.推论推论6：

是是U-阵的充要条件是阵的充要条件是的特征值的模长为的特征值的模长为1.即：

即：

证明：

因为证明：

因为是正规阵，所以存在是正规阵，所以存在使得使得若若反之：

若反之：

若DepartmentofMathematics例例4:

4:

设设求正交矩阵求正交矩阵使得使得为对角矩阵为对角矩阵.解解:

先计算矩阵的特征值，由先计算矩阵的特征值，由其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系DepartmentofMathematics现在将现在将单位化并正交化单位化并正交化,得到两个标准正交向量得到两个标准正交向量对于特征值对于特征值解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量DepartmentofMathematics则矩阵则矩阵即为所求正交矩阵且有即为所求正交矩阵且有将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵DepartmentofMathematics设设求酉矩阵求酉矩阵使得使得为对角矩阵为对角矩阵.解解:

先计算矩阵的特征值先计算矩阵的特征值其特征值为其特征值为对于特征值对于特征值解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系练习练习DepartmentofMathematics现在将现在将单位化单位化,得到一个单位向量得到一个单位向量对于特征值对于特征值解线性方程组解线性方程组求得其一个基础解系求得其一个基础解系将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量对于特征值对于特征值解线性方程组：

解线性方程组：

求得其一个基础解系求得其一个基础解系DepartmentofMathematics将其单位化得到一个单位向量将其单位化得到一个单位向量将这三个标准正交向量组成矩阵将这三个标准正交向量组成矩阵则矩阵则矩阵即为所求酉矩阵且有即为所求酉矩阵且有DepartmentofMathematics例例5：

设设是一个是一个阶阶H-阵且存在自然数阵且存在自然数使得使得,证明证明:

.证明证明:

由于由于是正规矩阵是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵所以存在一个酉矩阵使得：

使得：

DepartmentofMathematics于是可得于是可得从而从而这样：

这样：

即即:

DepartmentofMathematics