一元一次不等式组解应用题精讲及分类练习.docx
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一元一次不等式组解应用题精讲及分类练习.docx
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一元一次不等式组解应用题精讲及分类练习
一元一次不等式(组)解应用题精讲及分类练习
识别不等式(组)类应用题的几个标志,供解题时参考.
一.下列情况列一元一次不等式解应用题
1.应用题中只含有一个不等量关系,文中明显存在着不等关系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超过”等.
例1.为了能有效地使用电力资源,宁波市电业局从1月起进行居民峰谷用电试点,每天8:
00至22:
00用电千瓦时0.56元(“峰电”价),22:
00至次日8:
00每千瓦时0.28元(“谷电”价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算?
分析:
本题的一个不等量关系是由句子“当‘峰电’用量不超过每月总电量的百分之几时,使用‘峰谷’电合算”得来的,文中带加点的字“不超过”明显告诉我们该题是一道需用不等式来解的应用题.
解:
设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y.依题意得0.56xy+0.28y(1-x)<0.53y.
解得x<89℅
答:
当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时,使用“峰谷”电合算.
2.应用题仍含有一个不等量关系,但这个不等量关系不是用明显的不等字眼来表达的,而是用比较隐蔽的不等字眼来表达的,需要根据题意作出判断.
例2.周未某班组织登山活动,同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发.设甲、乙两组行进同一段路程所用的时间之比为2:
3.
⑴直接写出甲、乙两组行进速度之比;
⑵当甲组到达山顶时,乙组行进到山腰A处,且A处离山顶的路程尚有1.2千米.试问山脚离山顶的路程有多远?
⑶在题⑵所述内容(除最后的问句外)的基础上,设乙组从A处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B处与乙组相遇.请你先根据以上情景提出一个相应的问题,再给予解答(要求:
①问题的提出不得再增添其他条件;②问题的解决必须利用上述情景提供的所有已知条件).
解:
⑴甲、乙两组行进速度之比为3:
2.
⑵设山腰离山顶的路程为x千米,依题意得方程为
,
解得x=
(千米).经检验x=
是所列方程的解,
答:
山脚离山顶的路程为
千米.
⑶可提问题:
“问B处离山顶的路程小于多少千米?
”再解答如下:
设B处离山顶的路程为m千米(m>0)
甲、乙两组速度分别为3k千米/时,2k千米/时(k>0)
依题意得
<
,解得m<0.72(千米).
答:
B处离山顶的路程小于0.72千米.
说明:
本题由于所要提出的问题被两个条件所限制,因此,所提问题应从句子“乙组从A处继续登山,甲组到达山顶后休息片刻,再从原路下山,并且在山腰B处与乙组相遇”去突破,若注意到“甲组到达山顶后休息片刻”中加点的四个字,我们就可以看出题中隐含着这样一个不等关系:
乙组从A处走到B处所用的时间比甲组从山顶下到B处所用的时间来得少,即可提出符合题目要求的问题且可解得正确的答案.
二.下列情况列一元一次不等式组解应用题
1.应用题中含有两个(或两个以上,下同)不等量的关系.它们是由两个明显的不等关系体现出来,一般是讲两件事或两种物品的制作、运输等.
例3.已知服装厂现有A种布料70米,B种布料52米,现计划用这两种面料生产M,N两种型号的时装共80套.已知做一套M型号的时装需用A种布料0.6米,B种布料0.9米,可获利45元;做一套N型号的时装需用A种布料1.1米,B种布料0.4米,可获利润50元.若设生产N型号码的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元.
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围;
(2)服装厂在生产这批时装中,当N型号的时装为多少套时,所获利润最大?
最大利润是多少?
分析:
本题存在的两个不等量关系是:
①合计生产M、N型号的服装所需A种布料不大于70米;②合计生产M、N型号的服装所需B种布料不大于52米.
解:
(1)
即
.
依题意得
解之,得40≤x≤44.
∵x为整数,∴自变量x的取值范围是40,41,42,43,44.
(2)略
2.两个不等关系直接可从题中的字眼找到,这些字眼明显存在着上下限.
例4.某校为了奖励在数学竞赛中获胜的学生,买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本,则还余8本;如果前面每人送5本,则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物,有x名学生获奖.请回答下列问题:
(1)用含x的代数式表示m;
(2)求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
分析:
不等字眼“不足3本”即是说全部课外读物减去5(x-1)本后所余课外读物应在大于等于0而小于3这个范围内.
解:
(1)m=3x+8
(2)由题意,得
∴不等式组的解集是:
5 ∵x为正整数,∴x=6. 把x=6代入m=3x+8,得m=26.答: 略 例5.某城市的出租汽车起步价为10元(即行驶距离在5千米以内都需付10元车费),达到或超过5千米后,每行驶1千米加1.2元(不足1千米也按1千米计).现某人乘车从甲地到乙地,支付车费17.2元,问从甲地到乙地的路程大约是多少? 分析: 本题采用的是“进一法”,对于不等关系的字眼“不足1千米也按1千米计”,许多同学在解题时都视而不见,最终都列成了方程类的应用题,事实上,顾客所支付的17.2元车费是以上限11公里来计算的,即顾客乘车的范围在10公里至11公里之间.理论上收费是按式子10+1.2(x-5)来进行的,而实际收费是取上限值来进行的. 解: 设从甲地到乙地的路程大约是x公里,依题意,得 10+5×1.2<10+1.2(x-5)≤17.2 解得10<x≤11 答: 从甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里. 用一元一次不等式组解决实际问题的步骤: ⑴审题,找出不等关系; ⑵设未知数; ⑶列出不等式; ⑷求出不等式的解集; ⑸找出符合题意的值; ⑹作答。 (分配问题) 1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件,则剩余4件,若前面每人分4件,则最后一人得到的玩具最多3件,问小朋友的人数至少有多少人? 。 设: 一共有X个小朋友,则玩具总数=3X+4件。 第二次分的时候,前面X-1个小朋友每人得到4件,则一共有4(X-1)=4X-4件。 余下的不足3件,也就是0<(3X+4)-(4X-4)<3 化简得0<-X+8<3,8>X>5 因为小朋友的人数为整数,所以X的取值有2个,分别是6人和7人。 当6个小朋友时,玩具总数22件,前5个每人分4件,最后1人得2件; 当7个小朋友时,玩具总数25件,前6个每人分4件,最后1人得1件。 2、解放军某连队在一次执行任务时,准备将战士编成8个组,如果每组人数比预定人数多1名,那么战士人数将超过100人,则预定每组分配战士的人数要超过多少人? 设: 预定每组x人。 由已知得: 8x+8>100 解得: x>11.5 根据实际情况,解得预定每组分配战士的人数至少12人。 3、把若干颗花生分给若干只猴子。 如果每只猴子分3颗,就剩下8颗;如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。 问猴子有多少只,花生有多少颗? 解: 设有x只猴子和y颗花生,则: y-3x=8,① 5x-y<5,② 由①得: y=8+3x,③ ③代入②得5x-(8+3x)<5, ∴x<6.5 因为y与x都是正整数,所以x可能为6,5,4,3,2,1,相应地求出y的值为26,23,20,17,14,11. 经检验知,只有x=5,y=23和x=6,y=26这两组解符合题意. 答: 有五只猴子,23颗花生,或者有六只猴子,26颗花生. 4、把一些书分给几个学生,如果每人分3本,那么余8本;如果前面的每个学生分5本,那么最后一人就分不到3本。 问这些书有多少本? 学生有多少人? 设有X名学生,那么有(3X+8)本书,于是有 0≤(3x+8)-5(x-1)<3 0≤-2x+13<3 -13≤-2x<-10 5 因为x整数,所以X=6。 即有6名学生,有26本书。 5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍,如果每间4人,那么有20人无法安排,如果每间8人,那么有一间不空也不满,求宿舍间数和寄宿学生人数。 设宿舍有x间 ∵如果每间数宿舍住4人,则有20人没有宿舍住 ∴学生人数为4x+20 ∵如果每间住8人,则有一间宿舍住不满 ∴0<8x-(4x+20)<8,x为整数 ∴0<4x-20<8 ∴20<4x<28 ∴5 ∴x=6即宿舍有6间,学生人数有4x+20=44人 6、将不足40只鸡放入若干个笼中,若每个笼里放4只,则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只。 问有笼多少个? 有鸡多少只? 设有x个笼子 4x+1<40得x<=9 5(x-2)+3>4x+1得x>8 所以x=9 7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装4吨,则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空。 请问: 有多少辆汽车? 设有X辆汽车 4X+20=8(X-1) 4X+20=8X-8 4X=28 X=7 有7辆汽车 8、一群女生住若干家间宿舍,每间住4人,剩下19人无房住;每间住6人,有一间宿舍住不满。 (1)如果有x间宿舍,那么可以列出关于x的不等式组: (2)可能有多少间宿舍、多少名学生? 你得到几个解? 它符合题意吗? 不空也不满表示最后一间房有1~5人。 6(x-1)<4x+19<6x 9.5 10间宿舍,59人 11间宿舍,63人 12间宿舍,67人 3组解 (积分问题) 1、某次数学测验共20道题(满分100分)。 评分办法是: 答对1道给5分,答错1道扣2分,不答不给分。 某学生有1道未答。 那么他至少答对几道题才能及格? 因为总共有20道题,一道未答,则总共答了19道题。 设答对X道,则答错(19-X)道题。 根据题意得: 5X-2(19-X)>=60 7X>=98 X>=14 所以,至少答对14题就及格了。 2、在一次竞赛中有25道题,每道题目答对得4分,不答或答错倒扣2分,如果要求在本次竞赛中的得分不底于60分,至少要答对多少道题目? 解: 设至少需要做对x道题(x为自然数)。 4x-2×(25-x)≥60 4x-50+2x≥60 6x≥110 X≥19 答: 至少需要做对19道题。 3、一次知识竞赛共有15道题。 竞赛规则是: 答对1题记8分,答错1题扣4分,不答记0分。 结果神箭队有2道题没答,飞艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了90分,两队分别至少答对了几道题? 设神箭队答对x题。 则答错15-2-x,即(13-x)题 8x-4(13-x)>90 解得x>71/6 所以至少答对12道题 设飞艇队答对x题。 则答错(15-x)题 8x-4(15-x)>90 解得x>25/2 所以至少答对13道题 4、在比赛中,每名射手打10枪,每命中一次得5分,每脱靶一次扣1分,得到的分数不少于35分的射手为优胜者,要成为优胜者,至少要中靶多少次? 8次: 5x8=40,40-2=38,38>35 追问 不等式的方法.....? 回答 恩。 。 。 因为每名射手打10枪必须打完 5.有红、白颜色的球若干个,已知白球的个数比红球少,但白球的两倍比红球多,若把每一个白球都记作数2,每一个红球都记作数3,则总数为60,求白球和红球各几个? 可令白球的个数x,则红球的个数(60-2x)/3; 依题意有: x<(60-2x)/3<2x,得: 7.5<x<12,, 故: 15<2x<24,-24<-2x<-15,得: 12<(60-2x)/3<15, (60-2x)/3=13时,x不是整数;因此(60-2x)/3=14;得x=9; 所以: 白球的个数9,红球的个数14. (比较问题) 1、某校校长暑假将带领该校“三好学生”去三峡旅游,甲旅行社说: 如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠;乙旅行社说: 包括校长在内全部按全票的6折优惠。 已知两家旅行社的全票价都是240元,至少要多少名学生选甲旅行社比较好? 240*0.6=144240*0.5=120 假定有X个学生就有 240+120x>144(x+1) X=4所以至少4人选甲旅行社比较好 2、李明有存款600元,王刚有存款2000元,从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元,试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。 答: 第x个月,李明的存款能超过王刚的存款 600+500x>2000+200x x>14/3 取x=5 到第5个月,李明的存款能超过王刚的存款 3、暑假期间,两名家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价为每人500元的两家旅行社,经协商,甲旅行社的优惠条件是: 两名家长全额收费,学生都按七折;乙旅行社的优惠条件是: 家长,学生都按八折收费。 假设这两位家长至带领多少名学生去旅游,他们应该选择甲旅行社? 设有X名学生去旅游。 则500*2+0.7*500X=0.8*500(X+2) 解得X=4 所以,当学生人数少于4人时,乙旅行社便宜。 当学生人数等于4人时,甲乙旅行社一样便宜。 当学生人数大于4人时,甲旅行社便宜。 (行程问题) 1、抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程,需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后,后半小时速度多大才能保证及时送到? 解: 设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+(1-1/2)x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答: 后半小时的速度至少是140千米/小时。 2、爆破施工时,导火索燃烧的速度是0.8cm/s,人跑开的速度是5m/s,为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区,导火索至少需要多长? 假设导火索长为X厘米 人要跑100米,速度为5m/s,那么人就要跑100/2=20秒, 导火索长为xcm,速度为0.8cm/s,那么导火索燃烧的时间就是X/0.8秒 导火索燃烧的时间必须要大于人抛开的时间才会安全,就是: X/0.8》20 就是x》16 3、王凯家到学校2.1千米,现在需要在18分钟内走完这段路。 已知王凯步行速度为90米/分,跑步速度为210米/分,问王凯至少需要跑几分钟? 设王凯至少需要跑x分钟 210x+90(18-x)≤2100 210x+1620-90x≤2100 120x≤480 x=4 答: 所以至少需要跑4分钟 4、抗洪抢险,向险段运送物资,共有120公里原路程,需要1小时送到,前半小时已经走了50公里后,后半小时速度多大才能保证及时送到? 解: 设后半小时的速度至少为x千米/小时 50+(1-1/2)x≥120 50+1/2x≥120 1/2x≥70 x≥140 答: 后半小时的速度至少是140千米/小时。 (车费问题) 1、出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内需付10元车费),达到或超过5km后,每增加1km加价1.2元(不足1km部分按1km计),现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地支付车费17.2元,从甲地到乙地的路程超过多少km? 解析本题属于列不等式解应用题. 设甲地到乙地的路程大约是xkm, 据题意,得 16<10+1.2(x-5)≤17.2, 解之,得10 即从甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km. 2、某种出租车的收费标准是: 起步价7元(即行驶距离不超过3km都需要7元车费),超过3km,每增加1km,加收2.4元(不足1km按1km计)。 某人乘这种出租车从A地到B地共支付车费19元。 设此人从A地到B地经过的路程最多是多少km? 解: 设此人从甲地到乙地经过的路程是xkm 19-2.4<7+2.4(x-3)≤19 9.6<2.4(x-3)≤12 4<x-3≤5 7<x≤8 答: 此人从甲地到乙地经过的路程是7—8km(不含7千米,含8千米)。 (工程问题) 1.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程,第一天完成了60土方,现在要比原计划至少提前两天完成,则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土? 设以后几天内平均每天至少要完成x土方 (6-1-2)x≥300-60 3x≥240 x≥80 2.用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水,半小时可以抽完;如果改用B型抽水机,估计20分钟到22分可以抽完。 B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水? 设B型抽水机每分钟抽x吨水,则: 1.1×30/20=1.65吨 1.1×30/22=1.5吨 1.5≤x≤1.65 0.4≤x-1.1≤0.55 B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽0.4~0.55吨水 3.某工人计划在15天里加工408个零件,最初三天中每天加工24个,问以后每天至少要加工多少个零件,才能在规定的时间内超额完成任务? 设以后每天至少加工x个零件,才能在规定的时间内超额完成任务,根据题意列方程: 3*24+(15-3)*x>408 12x>336 x>28 答;以后每天至少加工28个零件,才能在规定时间内超额完成任务。 4、某车间有组装1200台洗衣机的任务,若最多用8天完成,每天至少要组装多少台? 1200÷8=150 (浓度问题) 1、在1千克含有40克食盐的海水中,在加入食盐,使他成为浓度不底于20%的食盐水,问: 至少加入多少食盐? 解: 设再加入x克食盐 40+x为食盐质量1000+x为溶液总质量 (40+x)÷(1000+x)≥20% 解得x≥200 答: 至少加200克食盐 2、一种灭虫药粉30千克,含药率是15%,现在要用含药率比较高的同种药粉50千克和它混合,使混合的含药率大于20%,求所用药粉的含药率的范围。 解: 设所用药粉的含药率为a,可得: 30x15%+50a>20%(30+50) 4.5+50a>16 50a>11.5 a>0.23 答: 所用药粉含药率应大于23%. (增减问题) 1、一根长20cm的弹簧,一端固定,另一端挂物体。 在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内,每挂1㎏质量的物体,弹簧伸长0.5cm.求弹簧所挂物体的最大质量是多少? 解: △x'=0.5cm=0.005m 弹簧的弹性系数: K=m’g/△x'=1×10/0.005=2000N/m 设最多可挂重物为mkg,则根据胡克定律可得: mg=k△x,m=k△x/g 又因为,△x≤30-20=10cm=0.1m 所以,m≤k△x/g=2000×0.1/10=20(Kg) 即m≤20kg 答: 略。 2、几个同学合影,每人交0.70元,一张底片0.68元,扩印一张相片0.5元,每人分一张,将收来的钱尽量用完,这张照片上的同学至少有多少个? 0.68+0.5x<=0.7x 0.68<=0.2x 3.4<=x 所以至少要4个人 3、某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛,已知蜡烛每小时缩短5㎝,几个小时以后,蜡烛的长度不足10㎝? 答: 当y<10时,25-5x<10, 解这个不等式得x>3. 所以3h后蜡烛的长度不足10cm. (销售问题) 1、商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后再降价10%,这样每件仍可获利18元,又售出全部商品的25%。 (1)试求该商品的进价和第一次的售价; (2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元? 设进价是x元, (1-10%)*(x+30)=x+18 x=90 设剩余商品售价应不低于y元, (90+30)*M*65%+(90+18)*M*25%+(1-65%-25%)*M*y≥90*M*(1+25%) y≥75 剩余商品的售价应不低于75元 2.水果店进了某中水果1t,进价是7元/kg。 售价定为10元/kg,销售一半以后,为了尽快售完,准备打折出售。 如果要使总利润不低于2000元,那么余下的水果可以按原定价的几折出售? 设按原价的x折出售 所以: 1000×1/2×10+1000×1/2×10×x/10>=7×1000+2000 5000+500x>=9000 5x>=40 x>=8 所以至多打8折 3.“中秋节”期间苹果很热销,一商家进了一批苹果,进价为每千克1.5元,销售中有6%的苹果损耗,商家把售价至少定为每kg多少元,才能避免亏本? 1.6元 1000×1.5=1500 1500÷(1-6%)≤实际价格 2、某电影院暑假向学生优惠开放,每张票2元。 另外,每场次还可以售出每张5元的普通票300张,如果要保持每场次票房收入不低于2000元,那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张? 设应售出X张学生优惠票,当收入等于2000元时: 2X+5*300=2000 2X=500 X=250 即每场至少售出250张学生优惠票。 4.某中学需要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元(包括空白光盘费);若学校自刻,出租用刻录机需120元外,每张光盘还需成本4元(包括空白光盘费)。 问刻录这批电脑光盘,该校如何选择,才能使费用较少? 8x>120+4x x>30 答: 如果少于30张,电脑公司刻合适, 如果等于30张,(不考虑飞盘)都可以。 如果大于30张,那还是自刻便宜! 而且刻录张数越多,自刻越便宜! 题外话: 现在的刻录机很便宜,空白光盘成本才1元左右,还是自己刻录省钱。 5.某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人,甲、乙两种工种的工人月工资分别为600元和1000元.现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍,问甲、乙两种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少? 解: 设乙工种招聘x人 x≥2(150-x) ∴x≥100 W[工资]=600(150-x)+1000x=400x+90000 ∵400>0, ∴x=100时,W[工资]最少=400×100+90000=130000(元) 甲乙工人各招聘50人、100人时每月所付的工资最少为130000元 6.学校图书馆准备购买定价分别为8元和14元的杂志和小说共80本,计划用钱在750元到850元之间(包括750元和850元),那么14元一本的小说最少可以买多少本? 设14元一本的小说可以买x本,则8元一本的小说可以买(80-x)本。 根据题意,有: 750≤14x+8(80-x)≤850(若想列为方程组则可拆为两个不等式) 750≤640+6x≤850 110≤6x≤210 18.33≤x≤21 取整数,则可得知: 14元一本的小说最少可以买19本,最多可以买21本。 (数字问题)1.有一个两位数,其十位上的数比个位上的数小2,已知这个两位数大于20且小于40,求这个两位数 分析: 这题是一个数字应用题,题目中既含有相等关系,又含有不等关系,需运用不等式的知识来解决。 题目中有两个主要未知数------十位上的数字与个位上的数;一个相等关系: 个位上的数=十位上的数+2,一个不等关系: 20<原两位数<40。 解法 (1): 设十位上的数为x,则个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2), 由题意可得
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