探析高考数学研究性试题的背景.docx
- 文档编号:26723381
- 上传时间:2023-06-22
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:20.44KB
探析高考数学研究性试题的背景.docx
《探析高考数学研究性试题的背景.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《探析高考数学研究性试题的背景.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
探析高考数学研究性试题的背景
探析高考数学研究性试题的背景
杨娅妮(学员)发布时间:
2011-05-1509:
49:
59
探析高考数学研究性试题的背景
杨娅妮
[摘要]:
研究性学习是在社会高速发展的背景下,教育对时代的适应的一种形式,而高考做为高中知识学习的向导,无疑会对研究性学习思想进行考察,研究性学习是以学生为主体、以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
[关键词]:
高考,研究性,探究,背景。
1、前言
近几年来,高考试题突出了能力立意,一些以研究性学习为背景的问题逐步引入了高考试题之中,这不但为数学教学提出了新的要求,也为高考复习提出了新的课题,即如何探析高考中的研究性试题背景。
本文试图通过对一些高考试题背景剖析,为在数学教学中如何设计研究性学习试题提供一些事例。
为学生开展数学研究性学习提供一些线索和资料
2、高考中研究性试题的时代背景
当我们步入21世纪时,世界科学技术正在发生新的重大突破。
基础教育特别是高中教育面临着难得的发展机遇,也面临着严峻挑战。
然而,改革开放以来,我国中小学教育教学改革尽管取得了不小的成绩,但是广大教育工作者普遍反映整个教改并没有取得很大的突破。
原因在哪儿呢?
以凯洛夫的五段教学模式(激发动机→复习旧课→讲授新课→运用巩固→检查效果)为典型代表的传统教学模式,长期以来一直统治着我们各级各类学校。
它以教师为中心,由教师通过讲授、板书及教学媒体的辅助,把教学内容传递给学生或者灌输给学生。
老师是整个教学过程的主宰,学生则处于被动接受老师灌输知识的地位。
在这样一种结构下,老师是主动的施教者,学生是被动的外部刺激接受者即灌输对象,媒体是辅助老师向学生灌输的工具,教材则是灌输的内容。
不难想象,作为学习过程主体的学生如果在整个教学过程中始终处于比较被动的地位,肯定难以达到比较理想的教学效果,更不可能培养出创造型人才,这就是传统的以教师为中心教学结构的最大弊病。
研究性学习是学生在教师指导下,从自然、社会和生活中选择和确定专题进行研究,以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分,是在基础性、拓展性课程学习的基础上,进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习,是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。
数学研究性学习的特点主要体现在它的开放性、研究性和实践性。
它的功能在于能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围,给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。
数学研究性学习更加关注学习过程。
数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的,而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题,甚至可以通过日常生活情景提出数学问题,进而提炼成研究性学习的材料。
在研究性学习的过程中,学生是学习的主人,是问题的研究者和解决者,是主角,而教师则在适当的时候对学生给予帮助,起着组织和引导的作用。
数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果,而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度,学生获得了哪些发展,并且特别注意学生有哪些创造性的见解,同时对学生的情感变化也应予以注意。
为了使评价能够真实可靠,起到促进学生发展的目的,因此充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价。
既要有定量的评价也要有定性的评价。
研究性学习是在不断的学习、实践和探索中逐渐养成的习惯。
让学生学会学习,提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力,使得新形势下的教育达到实实在在的效果。
3、高考中研究性试题的知识背景
3.1、以学生较为熟悉的的图形作为问题的背景
让学生通过对较为熟悉的图形的观察,找出图形间的相互关系,以及图形本身的特征,然后加以归纳和猜想。
主要考察学生的观察、比较、分析、抽象、概括等思维能力。
例1 (2004年上海春季高考)根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第个图中有___________个点.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
(1)
(2) (3) (4) (5)
分析该题主要是考查学生对图形的直觉猜想、归纳能力。
通过对图形的观察可以找到如下规律:
第1个图有1个点即,第2个图从中心点出发有2个分支,每个分支1个点即,第3个图从中心点出发有3个分支,每个分支2个点即,第4个图从中心点出发有4个分支,每个分支3个点即,第5个图从中心点出发有5个分支,每个分支4个点即,则可以按此规律猜测出第n个图从中心点出发有n个分支,每个分支n-1个点,即。
3.2、以古典数学名题作为问题的背景
以古典数学名题作为问题的背景的主要有杨辉三角、蝴蝶定理、七桥问题、色环问题等,主要考察学生的知识迁移能力。
例2 (2004年江苏省高考模拟卷)观察下列数表,问此表最后一个数是什么,并说明理由。
1 2 3 4……97 98 99 100
3 5 7 …… 195 197 199
8 12 …… 392 396
20 …… 788
……
分析 该题以杨辉三角为背景,主要考查学生对数据的整理、分析、概括、和处理能力。
通过观察找出每一行中数据间的相互联系,和行与行间数据的相互联系。
然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来。
解因为第一行有100个数,以后每一行都比前一行少一个数,因此共有100行。
通过观察可以得到:
第1行首尾两项之和为101,
第2行首尾两项之和为,
第3行首尾两项之和为,
第4行首尾两项之和为,…,
第99行首尾两项之和为。
因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和,所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上即第99行首尾两个数字之和即为。
3.3、以高等数学和初等数学的衔接点作为问题的背景
以高等数学和初等数学的衔接点作为问题的背景,主要考察学生对所学知识的运用能力,还可以探测出学生后继学习的潜能。
例3(2004年北京春季高考卷)下表给出一个“等差数阵”:
4
7
( )
( )
( )
…
…
7
12
( )
( )
( )
…
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差数列,表示位于第i行第j列的数.
(1)写出的值;
(2)写出的计算公式;
(3)证明:
正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
分析 该题以矩阵作为背景,主要考查学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,要求学生能正确分析出图表中各数之间的相互关系,然后利用等差数列、充要条件等基本知识加以解决。
解
(1)
(2)该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列;
;
第二行是首项为7,公差为5的等差数列:
;
……
第i行是首项为,公差为的等差数列,因此,
(3)必要性:
若N在该等差数阵中,则存在正整数i,j使得
,从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性:
若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,则它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数k,l,使得2N+1=(2k+1)(2l+1)从而 ,可见N在该等差数阵中。
综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个
是1的正整数之积。
3.4、以实际生活知识、生产实践经验作为问题的背景
在实际问题中,条件往往不能完全确定,即条件的不确定性是自然形成的或是实际需要,其不确定性是合理的。
从实际材料出发,通过抽象、概括的数学化过程建构数学知识。
要求学生能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题,建立数学模型,以培养学生创新精神和实践能力。
例四 (2006年湖南高考理科卷)对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度(含污物体的清洁读定义为:
1—)为0.8,要求洗完后的清洁度为0.99.有两种方案可供选择,方案甲:
一次清洗;方案乙:
分两次清洗。
该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3)。
设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是,(x﹥a-1)。
用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8﹤c﹤0.99)是该物体初次清洗后的清洁度。
(Ⅰ)分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量少;
(Ⅱ)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?
并讨论a取不同数值时对最少用水量多少的影响。
分析 本题主要考查学生分析和解决实际问题的能力,构造数学模型的能力,列出表达式,然后通过均值定理等得出最终结论。
解 (Ⅰ)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19。
由c=0.95的方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程=0.99,解得y=4a,故z=4a+3。
既两种方案的用水量分别为19与4a+3。
因为当1≤a≤3时,x-z=4(4-a)﹥0,既x﹥z。
故方案乙的用水量少。
(Ⅱ)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(Ⅰ)得x=,y=a(99-100c)(*)
于是x+y=+a(99-100c)=+100a(1-c)-a-1。
当a为定值时,x+y≥2 -a-1=-a+4-1。
当且仅当=100a(1-c)时等号成立。
此时c=1+ (不合题意,舍去)或c=1- (0.8,0.99)。
将c=1-代入(*)式得x= 故 将c=1-代入时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为与,最少总用水量是T(a)=-a+4-1。
当1≤a≤3时, ,故T(a)是增函数(也可以用二次函数的单调性判断)。
这说明,随着a的值的增加,最少总用水量增加。
3.5、以陈旧的知识新定义的模式作为问题的背景
对于这一类问题通常是在某个旧知识的背景下,给出一个新的定义。
要求能在新定义下,联系所学的知识解题,主要考查学生的阅读理解能力和对知识的应用能力。
例5 如果一个n面体有m个面是直角三角形,则称这个面体的直度为。
(1)请构造一个直度为的四面体;
(2)是否存在一个直度为1的四面体?
(3)证明不存在直度为1的五面体。
分析 该题开放性很大,主要考查学生的信息处理能力和空间想象能力,并要运用欧拉公式中的相关知识。
解
(1)共点三棱两两垂直的四面体;
(2)存在。
如四面体PABC中,PA平面ABC,ABC是直角,则四面体PABC的直度为1;
(3)假定五个面都是三角形的五面体,则可得棱共有条,这是不可能的,所以不存在直度为1的五面体。
4小结
研究性学习是在社会高速发展的背景下,教育对时代的适应的一种形式,而高考做为高中知识学习的向导,无疑会对研究性学习思想进行考察,研究性学习是以学生为主体、以类似科学研究的方式主动地获取知识、应用知识、解决问题,并在研究过程中通过多种渠道主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。
本文通过对一些高考试题背景剖析,为在数学教学中如何设计研究性学习试题提供一些事例。
为学生开展数学研究性学习提供一些线索和资料。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 探析 高考 数学 研究 试题 背景