数模论文20.docx
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数模论文20
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》(以下简称为“竞赛章程和参赛规则”,可从全国大学生数学建模竞赛网站下载)。
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日期:
年月日
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
B题创意平板折叠桌
摘要
本文针对创意平板折叠桌的优化设计问题,采用了线性规划等算法,建立了任意给定条件下设计参数最优化模型,使用LINGO、MATLAB求解,并用MATLAB等软件进行画图,实现了平板折叠桌的最优参数设置。
对于问题一,在给定部分参数的情况下计算桌腿的加工参数。
为此我们将桌子抽象成几何模型,桌面圆的圆心为原点。
首先确定该模型为中心对称结构,只需计算一个象限内的参数,其余象限内的桌腿参数与该象限内参数相同。
再利用各部分间的几何关系,用余弦定理等公式计算出第一象限内的桌腿参数。
最后拟合出桌脚边缘线的数学描述:
。
对于问题二,对于任意给定桌高与桌面直径的情况下求出最优加工参数。
我们对其建立加权多元线性规划模型。
对于问题三,对于任意的折叠桌高度、桌面边缘线的形状和桌脚边缘线的形状,给出所需平板的形状尺寸和最优加工参数。
我们经过分析得出若折叠桌整体为长方形,则桌脚连线与桌面连线相同的结论,即长方桌板面脚相同。
利用该结论建立模型,得到任意桌角边缘线情况下的桌腿长度。
再将桌腿连接到任意桌面边缘线上,即得到可以任意设定边缘线形状的模型。
最后利用第二问的模型求出最优加工参数。
关键词:
抽象线性规划最优长方桌板面脚相同
一问题重述
1.1背景
有一种可折叠的桌子,桌子外形由直纹曲面构成,桌面呈圆形。
桌腿由若干根木条组成,分成两组,每组各用一根钢筋将木条连接,钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
1.2提出问题
1.给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm,每根木条宽2.5cm,连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置,折叠后桌子的高度为53cm。
试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线(下图中红色曲线)的数学描述。
2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求,讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数,例如,平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
对于桌高70cm,桌面直径80cm的情形,确定最优设计加工参数。
3.公司计划开发一种折叠桌设计软件,根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
给出这一软件设计的数学模型,并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。
给出相应的设计加工参数,画出至少8张动态变化过程的示意图。
二、模型假设
①钢筋尺寸不计。
②材料性能对设计无影响
③实际加工误差对设计无影响。
④木条间缝隙尺寸为零
⑤木条与圆桌面之间的交接处无间隙
三、符号说明
符号
符号意义
h
桌高
d
桌面半径
桌腿与桌面连接点纵坐标
边缘最长的四条桌腿的长度
四舍五入后得到的最终值
开槽长度
桌腿与桌面连接点横坐标
桌腿与桌面接触点纵坐标
钢筋位置横坐标
T
最长桌腿在水平地面上的投影长度
平板长度
最外侧桌腿与地面夹角
最短桌腿长度
最外侧桌腿长度
最短开槽长度
*其他未提及的符号会在文章中说明。
四、问题分析
4.1问题一的分析
通过观看视频及阅读原作者的网站[1],再经过思考分析,可知桌子的运动模式为:
桌腿绕与桌面相连的端点做圆周运动,而钢筋随着桌腿在起始位置与终点之间滑动,由于开槽长度有限,钢筋即可限制桌腿的运动并最后使整张桌子受力稳定,如图1所示。
图1:
折叠桌的运动模式示意图
平板折叠桌未展开是的平板设计如图2所示。
图2中两条黑色粗线段为钢筋位置,固定在桌腿最外侧木条的中心位置。
每条木条的黑色粗短线与钢筋之间的距离则为每条桌腿木条的开槽长度。
图2:
折叠桌平板设计图
再将题目中给的已知信息整理如下:
平板尺寸:
长度
直径
厚度
每根木条宽
折叠后桌子高度
钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置
很容易得该桌子每边有50/2.5=20条桌腿,由于该桌为中心对称结构,则只需算出一个象限内的十条桌腿的加工参数即可得剩余30条桌腿的加工参数。
加工参数包括每条桌腿的长度及开槽长度。
将该桌子抽象成几何模型,利用各桌腿、直径之间的几何关系解出该桌子的加工参数。
最后拟合出桌角边缘线的数学描述。
4.2问题二的分析
4.2.1稳固性分析
记桌子最外侧木条的四个落地点组成的矩形面积为S。
桌子的重心位置会随着桌面上重物的放置方式的不同而不同,由高中物理可知,当重心位置在水平地面的投影落在矩形S,即桌子的支撑面内时,桌子具有稳固性。
因此,我们假设当矩形面积S大于等于圆桌面积,桌子满足稳固性要求。
桌腿的受力分析如下。
由图3可知当桌腿与地面夹角较小时,F在水平方向分力增大,同时竖直方向分力减小导致摩擦力减小,桌子整体结构不稳定,容易受重力和桌面物体的压力作用而延展为平板形状。
地面支撑力
摩擦力
桌板对桌腿的力F
图2:
折叠桌平面示意图
因此,假设当两组木条同一边最外侧木条落地点之间的距离(如图3)小于圆桌直径时,桌子满足稳固性要求。
图2:
折叠桌平面示意图
4.2.2加工分析
为方便加工,假设折叠桌在平板状态下设计为矩形。
4.2.3用材分析
由于桌板形状规定为长方形,且宽度已知,则可认为长度l越小用材料越省。
4.2.4钢筋位置对用材的影响
由桌子的侧视图可知,随着折叠桌的展开,若钢筋起始位置离桌面太近,则卡槽太短,桌腿运动受限制。
因此规定钢筋的起始位置Z>10cm。
以上分析给出了约束条件,利用约束条件建立加权的多元线性规划模型,从而解得最优加工参数。
4.3问题三的分析
以图为例,可以发现若折叠桌整体为长方形,则桌腿的长度与横坐标的大小成反比,展开后桌面边缘线的形状翻转180度即为桌脚边缘线。
由此,我们可以得到以长方形为折叠桌整体、桌脚边缘线任意的折叠桌。
再将此折叠桌的桌腿模型接在任意形状的桌面模型上,即可得到可以任意设定桌面边缘线及桌脚边缘线的折叠桌模型。
在模型基础上便可得到所需平板材料的形状尺寸。
在给定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的情况下,再利用第二问建立的模型计算出切实可行的最优设计加工参数
五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
将桌子抽象成一个空间几何模型,以桌面圆的圆心0在地面的投影为原点,长度方向为x轴,宽度方向为y轴,竖直向上为z轴。
由4.1分析可知需要计算第一象限内的十条桌腿的参数。
图4:
桌子平面图几何模型
5.1.1每条桌腿长度的计算
取第一象限内的十一个点(红点)组成点集A={(
,
)},0
得纵坐标集
={0,,,……,,}。
得
取第i条桌腿端点x坐标
可得
={24.9373,24.6848,24.1717,23.3807,22.2818,20.8253,18.9268,16.4268,12.9486,5.4486}
四舍五入后得
={24.94,24.68,24.17,23.38,22.28,20.83,18.93,16.43,12.95,5.45}
由图4可知第i根桌腿长度
=
—
其中最长腿
,最短腿
。
={35.0627,35.3152,35.8283,36.6193,37.7182,39.1747,41.0732,43.5732,47.0514,54.5514}
由于实际制造时不需要这么高的精度,取小数点后一位得最终结果。
={35.06,35.32,35.83,36.62,37.72,39.17,41.07,43.57,47.05,54.55}
5.1.2卡槽长度的计算
将桌子侧面简化可得最长腿、其他9根木条以及桌面在xoz平面上构成三角形。
图5:
几何示意图
则
第三边
由图得钢筋原位置x轴坐标
开槽长度
得
={21.7433,21.3801,20.6479,19.5335,18.0159,16.0614,13.6164,10.5851,6.7448,0}
由于实际制造时不需要这么高的精度,取小数点后一位得最终结果。
={21.74,21.38,20.65,19.53,18.02,16.06,13.62,10.58,6.74,0}
最终整理结果如表1.
表1:
第一象限内十根木条的加工参数
桌腿加工参数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
24.94
24.68
24.17
23.38
22.28
20.83
18.93
16.43
12.95
5.45
35.06
35.32
35.83
36.62
37.72
39.17
41.07
43.57
47.05
54.55
21.74
21.38
20.65
19.53
18.02
16.06
13.62
10.58
6.74
0
生成桌子模型如图6
图6:
桌子模型图
5.1.3桌边缘曲线的计算
将每条桌腿抽象成一条线段,线段端点相连即为所求曲线。
利用几何知识可以解出曲线方程。
最后可得曲线方程为
t=0,1,2……24,25
曲线如图6
图7:
桌脚边缘曲线示意图
5.1.4桌子的动态变化
用5.1.1-5.1.3已建好的模型修改转动角度便得到了桌子的动态变化图。
5.2问题二的模型建立与求解
设:
1、有n根木条
2、四条长桌腿落地点连线构成的长方形面积为S
根据4.2的分析建立模型(P1)如下:
(P1)
(a)
(b)
s.t
(c)
(d)
(e)
(f)
时,稳固。
5.3问题三的模型建立与求解
根据4.3的分析,可得到以下伪代码。
设5.1中求桌腿长度的算法为len,5.2中求最优加工参数的算法为best。
BEGIN
输入桌脚边缘线方程g(x)
桌面边缘线方程f(x)=桌脚边缘线方程g(x)
输入l,d
L=len
输入桌面边缘线方程f(x)
桌板尺寸=f(x)+L
最终最优加工参数=best
根据伪代码编程,最终得到模型。
六、模型评价
6.1模型的优点
该模型的优点在于:
第一,将桌子抽象成几何模型,利用简单的知识解决复杂的问题。
第二,可以任意变换桌面的形状,最大程度应对各种需求。
第三,提出桌板为长方形的情况下桌脚边缘线与桌面边缘线是相同的,从而使模型大大简化。
6.2模型的缺点
该模型的缺点在于:
第一,没有考虑实际加工对材料的损耗。
第二,将桌腿之间假设为没有缝隙,但在实际生活中一般都存在缝隙。
七、参考文献
[1]创意折叠桌设计者 RobertVanEmbricqs的网站
[3]姜启源,数学模型[M],北京:
高等教育出版社,2003.
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- 数模 论文 20