高考数学总复习直通车课件导数及其应用.ppt
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数学直通车数学直通车-导数及其应导数及其应用用知识体系知识体系第一节第一节导数的概念及运算导数的概念及运算基础梳理基础梳理1.函数f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率已知函数y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记x=x1-x0,y=f(x0+x)-f(x0),则当x0时,商叫做函数y=f(x)在区间x0,x0+x的平均变化率.
(2)几何意义函数f(x)在处的导数的几何意义是在曲线y=f(x)上点处的切线的斜率,相应的,切线方程为2.函数f(x)在x=x0处的导数
(1)定义函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0).4.基本初等函数的导数公式3.函数f(x)的导函数f(x)在开区间(a,b)可导,对(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数在区间(a,b)内构成一个新的函数,称为函数y=f(x)的导函数,记为或y(或).原函数导函数f(x)=cf(x)=0f(x)=f(x)=f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=cosxf(x)=-sinxf(x)=(a0)f(x)=f(x)=f(x)=f(x)=(a0,且a1)f(x)=f(x)=lnxf(x)=5.导数运算法则
(1)f(x)g(x)=f(x)g(x);
(2)f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(3)6.复合函数的导数复合函数y=fg(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.典例分析典例分析题型一题型一求函数的平均变化率求函数的平均变化率【例1】求函数在到之间的平均变化率.分析紧扣定义进行计算.解学后反思求函数f(x)平均变化率的步骤:
(1)求函数值的增量;
(2)计算平均变化率.解这类题目仅仅是简单的套用公式,解答过程相对简单,只要注意运算过程就可以了.举一反三举一反三1.求在到之间的平均变化率.解析:
分析直接利用导数公式及四则运算法则进行计算.题型二题型二利用求导公式求导数利用求导公式求导数【例2】求下列函数的导数.解学后反思准确记忆求导公式及四则运算法则是解答本题的关键.解析举一反三举一反三2.求函数的导数.题型三题型三导数的物理意义及物理上的应用导数的物理意义及物理上的应用【例3】一质点运动的方程为s=8-.
(1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度;
(2)求质点在t=1的瞬时速度.分析第
(1)问可利用公式;第
(2)问可利用第
(1)问的结论求解,也可利用求导公式及四则运算法则求解.学后反思本例引导学生理解瞬时速度是物体在t到t+t这段时间内的平均速度当t趋近于0时的极限,即s对t的导数.导数的概念是通过函数的平均变化率、瞬时变化率、物体运动的瞬时速度、曲线的切线等实际背景引入的,所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义.对于作变速运动的物体来说,其位移对时间的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数;速度对时间的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数,这是导数的物理意义.利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理问题.解
(1)质点在1,1+t这段时间内的平均速度为
(2)质点在t时刻的瞬时速度v=s(t)=-6t,当t=1时,v=-6.举一反三举一反三3.以初速度作竖直上抛运动的物体,在t秒时的高度为,求物体在时刻时的瞬时速度.解析:
物体在时刻的瞬时速度为题型四题型四导数的几何意义及几何上的应用导数的几何意义及几何上的应用【例4】(12分)已知曲线.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
(2)求过点P(2,4)的曲线的切线方程.分析
(1)在点P处的切线以点P为切点,关键是求出切线斜率k=f
(2).
(2)过点P的切线,点P不一定是切点,需要设出切点坐标.解
(1),.2在点P(2,4)处的切线的斜率k=y|x=2=4,.3曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=04
(2)设曲线与过点P(2,4)的切线相切于点,则切线的斜率k=y|x=x0=6切线方程为,即,.8点P(2,4)在切线上,,.9即,即,解得或,.10所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.12学后反思
(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:
在过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.
(2)准确理解曲线的切线的概念,还要注意以下两个方面:
直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线的切线,如抛物线的对称轴与其仅有一个公共点,但对称轴不是抛物线的切线;反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线只有一个公共点,如曲线y=sinx与其切线y=1有无数个公共点.曲线未必在其切线的“同侧”,如直线y=0虽然“穿过”曲线,但它依然是曲线在点(0,0)处的切线.举一反三举一反三4.已知曲线C:
y=-3+2x,直线l:
y=kx,且直线l与曲线C相切于点(,)(0),求直线l的方程及切点的坐标.解析:
y=3-6x+2,直线y=kx过原点(0,0)及(,),解得.切点为(,).把切点坐标代入y=kx得切线方程为y=x,即x+4y=0.题型五题型五复合函数的导数复合函数的导数【例5】求下列函数的导数.分析先确定中间变量转化为常见函数,再根据复合函数的求导法则求导,也可直接用复合函数求导法则运算.解
(1)方法一:
设,则方法二:
(2)学后反思求复合函数的导数,关键是理解复合过程,选定中间变量,弄清是谁对谁求导.其一般步骤是:
(1)分清复合关系,适当选定中间变量,正确分解复合关系(简称分解复合关系);
(2)分层求导,弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数(简称分层求导),即:
先分解(复合关系),再求导(导数相乘).举一反三举一反三5.求下列函数的导数.解析:
(2)易错警示易错警示【例】求曲线S:
在点A(0,16)处的切线方程.错解分析将点A代入曲线S易知点A不在曲线S上,故由导数的几何意义可知,f(0)不是曲线在过A的切线的斜率.错解由于f(x)=,故f(0)=3,即曲线在A点处切线斜率为3,从而切线方程为3x-y+16=0.正解设过点A的切线与曲线S切于点M().f(x)=,由导数的几何意义可知切线的斜率为.又由两点连线的斜率公式知.联立、得,则,故切线方程为9x+y-16=0.考点演练考点演练10.点P是曲线y=-lnx上任意一点,则P到直线y=x-2的距离的最小值是.解析:
作直线y=x-2的平行线使其与曲线y=-lnx相切,则切点到直线y=x-2的距离最小.由y=2x-=1,得x=1,或x=(舍去).切点为(1,1),它到直线x-y-2=0的距离为d=答案:
11.求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);解析12.设t0,点P(t,0)是函数f(x)=+ax与g(x)=b+c的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.将a=代入上式得b=t.因此c=ab=.综上所述,a=,b=t,c=.解析:
函数f(x)的图象过点P(t,0),f(t)=0,即+at=0,又t0,故a=.同理,由g(t)=0得c=-b,即c=ab.又f(x)、g(x)在点P(t,0)处有相同的切线,f(t)=g(t),而f(x)=3+a,g(x)=2bx,3+a=2bt,第二节第二节导数的应用(导数的应用()基础梳理基础梳理1.函数的单调性在某个区间(a,b)内,若f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内;若f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内.2.函数的极值
(1)如果在附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f()是极大值;
(2)如果在附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,且f()=0,那么f()是极小值.单调递增单调递减典例分析典例分析题型一题型一利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间分析通过解f(x)0,求单调递增区间.【例1】已知f(x)=-ax-1,求f(x)的单调增区间.解f(x)=-ax-1,f(x)=-a.令f(x)0,得a.当a0时,有f(x)0在R上恒成立;当a0时,有xlna.综上,当a0时,f(x)的单调增区间为(-,+);当a0时,f(x)的单调增区间为lna,+).学后反思求函数的单调区间,就是解f(x)0或f(x)0,这些不等式的解就是使函数保持单调递增或递减的单调区间.对可导函数,求单调区间的步骤如下:
(1)求f(x)的定义域;
(2)求出f(x);(3)令f(x)=0,求出全部驻点补充定义:
若函数f(x)在点x0处的导数f()=0,则称点为函数f(x)的驻点;(4)驻点把定义域分成几个区间,列表考查在这几个区间内f(x)的符号,因而可确定f(x)的单调区间.举一反三举一反三1.求函数f(x)=sinx-x,x(0,)的单调区间.解析解析:
f(x)=sinx-x,f(x)=cosx-.当f(x)0,即cosx-0时,解得0x,f(x)的单调递增区间为(0,);当f(x)0,即cosx-0时,解得x0或f(x)0时,a,而-1,a-1;同理当cosx,则-2aa-2,当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:
极小值极大值f(x)+0-0+f(x)(a-2,+)a-2(-2a,a-2)-2a(-,-2a)x解析:
(1)当a=0时,f(x)=,f(x)=(+2x),则f
(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1)处的切线的斜率为3e.
(2)f(x)=+(a+2)x-2+4a.令f(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a知,-2aa-2.所以f(x)在(-,-2a),(a-2,+)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=;函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=.若aa-2.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:
x(-,a-2)A-2(a-2,-2a)-2a(-2a,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值所以f(x)在(-,a-2),(-2a,+)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=;函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=.第三节第三节导数的应用导数的应用()()基础梳理基础梳理1.一般地,求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:
(1);
(2)2.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数在这一类问题中有着重要的应用,它是求函数最大(小)值的强有力的工具.3.导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来,应注意导数在这两方面的应用.求函数y=f(x)在(a,b)内的极值将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.典例分析典例分析题型一题型一求函数的最值求函数的最值分析通过求导,令f(x)=0,找到函数的极值点,将极值与端点处的函数值相比较,来找到最值.【例1】已知函数f(x)=,求函数在-1,1上的最值.解f(x)=,f(x)=令f(x)=0,得,x=0,或x=-2(舍去).f(0)=0,f(-1)=,f
(1)=e,=f
(1)=e,=f(0)=0.学后反思求函数在闭区间上的最值,应先利用函数的导数求得极值,再与端点处函数值相比较而得到,其中最大者为最大值,最小者为最小值.对含有参数的问题,需注意分情况讨论.举一反三举一反三1.求函数的最值.解析:
函数在上可导,且f(x)=令f(x)=0,得x=-1或x=1(舍去).f(-e)=-4,f(-1)=1,且,函数的最
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- 高考 数学 复习 直通车 课件 导数 及其 应用