g801 第1节等差数列及其前n项和 第2节 等比数列及其前n项和 学生版.docx
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g801第1节等差数列及其前n项和第2节等比数列及其前n项和学生版
第1节 等差数列及其前n项和
◆考纲·了然于胸◆
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用 有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
一、知识点回顾
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
如果A=
,那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am+(n-m)d,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n,(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=
或Sn=na1+
d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=
n2+(a1-
)n.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn,(A、B为常数).
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
质疑探究:
等差数列通项公式与前n项和公式的推导分别用了什么方法?
提示:
前者用的是叠加法,后者用的是倒序相加法.
[小题查验]
1.给出下列命题:
①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.
③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.
④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.
⑤等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.
其中正确的命题是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.④⑤
2.(2016·海淀质检)等差数列{an}中,a2=3,a3+a4=9,则a1a6的值为( )
A.14B.18
C.2D.27
3.(2015·高考新课标卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=( )
A.
B.
C.10D.12
4.已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a7-a5=4,a11=21,Sk=9,则k=________.
5.(2015·高考安徽卷)已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+
(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
二、考点突破
考点一 等差数列基本量的计算
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
[题组练透]
1.(2014·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( )
A.8 B.10
C.12 D.14
2.(2016·石家庄质检)已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为( )
A.8B.9
C.10D.11
3.设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=________.
考点二 等差数列的判断与证明
[一题多变]
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=
.
(1)求证:
是等差数列;
(2)求an的表达式.
[发散1] 试说明本例中数列{an}是不是等差数列.
[发散2] 若将本例条件改为“a1=2,Sn=
(n≥2)”,问题不变,试求解.
[发散3] 若本例变为:
已知数列{an}中,a1=2,an=2-
(n≥2,n∈N*),设bn=
(n∈N*).求证:
数列{bn}是等差数列.
[类题通法]
等差数列的判定方法
(1)定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:
验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立;
(3)通项公式法:
验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:
验证Sn=An2+Bn.
[提醒] 在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
考点三 等差数列的性质及应用
【例2】
(1)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=( )
A.5 B.7
C.9 D.11
(2)(2016·武汉联考)已知数列{an}是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是( )
A.18B.19
C.20D.21
(3)(2016·上海虹口二模)等差数列{an}的通项公式为an=2n-8,下列四个命题.α1:
数列{an}是递增数列;α2:
数列{nan}是递增数列;α3:
数列
是递增数列;α4:
数列{a
}是递增数列.其中真命题是________.
(4)一个等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和S偶与前12项中奇数项的和S奇之比为
,则公差d=________.
小结:
利用等差数列性质的常见题型与求解策略:
题型
求解策略
求基本量
(1)关键是将性质m+n=p+q⇒am+an=ap+aq与前n项和公式Sn=
结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.
(2)利用等差数列奇数项和与偶数项和的性质:
项数为偶数2n的等差数列{an}:
S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1),S偶-S奇=nd,
=
;项数为奇数(2n+1)的等差数列{an}:
S2n+1=(2n+1)an+1,
=
.(其中S奇、S偶分别表示数列{an}中所有奇数项、偶数项的和).
求前n项和的最值
(1)若a1>0,d<0,且满足
前n项和Sn最大.
(2)若a1<0,d>0,且满足
前n项和Sn最小.(3)除上面方法外,还可将{an}的前n项和最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题(公差不为零),利用二次函数的图象或配方法求解,注意n∈N*.
确定单调性
公差d>0时为递增数列,且当a1<0时,前n项和Sn有最小值;d<0时为递减数列,且当a1>0时,前n项和Sn有最大值.
跟踪训练
1.等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( )
A.20 B.22
C.24 D.-8
2.(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=__________________时,{an}的前n项和最大.
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=10,S20=30,则S30=________.
思想方法函数思想在等差数列前n项和的最值中的应用
典例 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
方法点睛 求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;②利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;③将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值.
即时突破 已知等差数列{an}的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和Sn的最大值为________.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1.等差数列的判断方法
(1)定义法:
an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:
2an+1=an+an+2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:
an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:
Sn=An2+Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列.
2.方程思想和化归思想:
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量,通过建立方程(组)获得解.
3.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为
(1)a,a+d,a+2d;
(2)a-d,a,a+d;(3)a-d,a+d,a+3d等,可视具体情况而定.
【失误与防范】
1.当公差d≠0时,等差数列的通项公式是n的一次函数,当公差d=0时,an为常数.
2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数列不是等差数列,它从第二项起成等差数列.
三、课时跟踪训练
[基础训练组]
1.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2016·贵阳监测)在等差数列{an}中,a4=2,则前7项的和S7等于( )
A.28B.14
C.3.5D.7
3.(2016·深圳调研)等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S7B.S6
C.S5D.S4
4.(2015·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中,首项a1=1且前n项和Sn满足Sn
-Sn-1
=2
(n∈N*且n≥2),则a81=( )
A.638B.639
C.640D.641
5.(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.n(n+1)B.n(n-1)
C.
D.
6.在数列{an}中,若a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项an=________.
7.(2016·荆门调研)已知一等差数列的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此等差数列的项数是________..
8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
9.(2016·商洛模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和.
(1)推导Sn的计算公式;
(2)若Sn=
,证明:
数列{an}为等差数列.
10.(2016·西安质检)等比数列{an}中,已知a3=8,a6=64.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[能力提升组]
11.(2016·石家庄一模)已知等差数列{an},且3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=48,则数列{an}的前13项之和为( )
A.24 B.39
C.52 D.104
12.(2016·南昌一模)在等差数列{an}中,a1>0,a10·a11<0,若此数列的前10项和S10=36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值是( )
A.24B.48
C.60D.84
13.(2016·天津河西口模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a11-a8=3,S11-S8=3,则使an>0的最小正整数n的值是( )
A.8B.9
C.10D.11
14.设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若对任意自然数n都有
=
,则
+
的值为________.
15.(2016·武汉调研)已知数列{an}满足0<a1<2,an+1=2-|an|,n∈N*.
(1)若a1,a2,a3成等比数列,求a1的值;
(2)是否存在a1,使数列{an}为等差数列?
若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
第2节 等比数列及其前n项和
◆考纲·了然于胸◆
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
一、知识点回顾
1.等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示.
2.等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an=a1·qn-1.
3.等比中项
若G2=a·b(ab≠0),那么G叫做a与b的等比中项.
质疑探究:
b2=ac是a、b、c成等比数列的什么条件?
提示:
必要而不充分条件,因为b2=ac时,不一定有a、b、c成等比数列(如a=0,b=0,c=1),而a、b、c成等比数列,则必有b2=ac.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:
an=am·qn-m,(n,m∈N*).
(2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an.
(3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{
},{a
},{an·bn},{
}仍是等比数列.
5.等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn=
=
.
6.等比数列前n项和的性质
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn.
[小题查验]
1.给出下列命题:
①满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.
②数列{an}是公比q≠±1的等比数列,则{nan}是等比数列.
③如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.
④如果数列{an}为等比数列,则数列{lnan}是等差数列.
其中错误的命题是( )
A.①②③ B.②③④
C.①④D.①②③④
2.(2016·日照一模)已知等比数列{an}的公比为正数,且公比a2·a6=9a4,a2=1,则a1的值为( )
A.3 B.-3
C.-
D.
3.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于( )
A.7 B.5
C.-5 D.-7
4.在等比数列{an}中,已知a7·a12=5,则a8a9a10a11=________.
5.(2015·高考新课标卷Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=________.
二、考点突破
考点一 等比数列基本量的计算
解决等比数列有关问题的常用思想方法
(1)方程的思想:
等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.
(2)分类讨论的思想:
等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn=
=
.
[题组集训]
1.(2015·高考新课标卷Ⅱ)等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )
A.21 B.42
C.63 D.84
2.(2016·东北三校联考)已知数列{an}满足2an+1+an=0,a2=1,则数列{an}的前10项和S10为( )
A.
(210-1)B.
(210+1)
C.
(2-10-1)D.
(2-10+1)
3.在等比数列{an}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为( )
A.1B.-
C.1或-
D.-1或
4.(2016·唐山一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=
,a2+a4=
,则
=( )
A.4n-1B.4n-1
C.2n-1D.2n-1
5.(2016·荆州质检)设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2am,则m=________.
考点二 等比数列的判定与证明
[一题多变]
【例1】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:
{cn}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
[发散1] 在本例条件下,若数列{bn}满足b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),证明:
{bn}是等比数列.
[发散2] 本例条件变为:
已知数列{an}满足:
a1=1,a2=a(a≠0),an+2=p·
(其中p为非零常数,n∈N*).试判断数列
是不是等比数列.
[类题通法]
等比数列的判定方法
(1)定义法:
若
=q(q为非零常数,n∈N*)或
=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)中项公式法:
若数列{an}中,an≠0且a
=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:
若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列.
[提醒]
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
考点三 等比数列的性质及应用
【例2】
(1)(2016·沈阳一模)已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a
+2a12=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b3b11等于( )
A.16 B.8
C.4 D.2
(2)(2016·南昌模拟)在各项均为正数的等比数列{an}中,(a1+a3)(a5+a7)=4a
,则下列结论中正确的是( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{an}是递减数列
C.数列{an}是常数列
D.数列{an}有可能是递增数列也有可能是递减数列
(3)(2016·昆明模拟)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于( )
A.80B.30
C.26D.16
(4)(2016·商丘模拟)已知x>1,y>1,且
lnx,
,lny成等比数列,则xy的最小值是________.
【名师说“法”】
等比数列性质应用中的常见题型与求解策略:
题型
求解策略
求基本量的值
在解决等比数列的有关问题时,利用性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
确定单调性
利用数列相邻两项的大小关系或求出公比,从而判断单调性.
求最大(小)值或比较大小
根据题目条件,认真分析,确定首项与公比,发现具体的变化特征,利用等比数列的单调性或基本不等式求解.
跟踪训练
1.(2016·长春调研)在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=________.
2.(2014·广东高考)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=______________.
规范答题 等差、等比数列综合问题的规范答题
典例 (本小题满分12分)(2013·新课标高考全国卷)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
即时突破 (2015·赣州市十二县市联考)已知数列{an}为等比数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4=-
,且对于任意的n∈N*有Sn,Sn+2,Sn+1成等差数列;
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知bn=n(n∈N*),记Tn=
+
+
+…+
,若(n-1)2≤m(Tn-n-1)对于n≥2恒成立,求实数m的范围.
[课堂小结]
【方法与技巧】
1.已知等比数列{an}
(1)数列{c·an}(c≠0),{|an|},{a
},{
}也是等比数列.
(2)a1an=a2an-1=…=aman-m+1.
2.判断数列为等比数列的方法
(1)定义法:
=q(q是不等于0的常数,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列;也可用
=q(q是不等于0的常数,n∈N*,n≥2)⇔数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只是n的初始值不同.
(2)等比中项法:
a
=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N*)⇔数列{an}是等比数列.
【失误与防范】
1.特别注意q=1时,Sn=na1这一特殊情况.
2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时,必须注意对q=1与q≠1分类讨论,防止因忽略q=1这一特殊情形而导致解题失误.
三、课时跟踪训练
[基础训练组]
1.若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为( )
A.2 B.4
C.8 D.16
2.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an等于( )
A.(-2)n-1B.-(-2)n-1
C.(-2)nD.-(-2)n
3.(2016·福州质检)记等比数列{an}的前n项积为Πn,若a4·a5=2,则Π8=( )
A.256B.81
C.16D.1
4.(2016·成都模拟)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)
C.
(1-4-n)D.
(1-2-n)
5.已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以
为首项的等比数列,则
等于( )
A.
B.
或
C.
D.以上都不对
6.在数列{an}中,已知a1=1,an=2(an-1+an-2+…+a2+a1)(n≥2,n∈N*),这个数列的通项公式是________.
7.(2016·皖南八校第三
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- g801 第1节等差数列及其前n项和 第2节 等比数列及其前n项和 学生版 等差数列 及其 等比数列 学生
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