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2基本积分表
§2、基本积分表与积分计算法则
2.1基本积分表
由基本微分表得基本积分表,熟记.
积分法则在计算积分中的作用:
把所求积分化为积分表中的情形。
基本积分表的扩充:
严分项积分与非段积分
1.分项积分
j了(片)几二]卡(幻必+J&OMx⑴心二[川对必+f必
分项中常用的方法:
有理式的分解(加减同一项,待定系数);三甬函数式的恒等变形;分子分母同乘某一函数(分母有理化)0
]r(?
+5-(F_1)亦_1「必1rdx
了」(H_l)(F+i)—引仁一D&+1)引宀1
-—arctanx+C
2
例2:
必
r二T),
=j1)+1-1必
331
二+忌+JU_M必
=-aU-(x-1)U-^-1)Uc
553
分母有理化,加一项减一项。
dx
TCOS2X
sin2x+cos2孟尸3
r酝2Ja
nsinx
=tan^-2cotx-
1
cot
2曲cotx
=tanX-2cotx--cot3x+U
3
COGJ
—|強x
JcQSA+2sinz
解:
cosx=j4(cosx+2sint)+5[cosjc+2sinx)
=(j4+2B}cosx+(2J\-B)smx
令A,B满足
/+站二1
l2A-B=0
X=-
5
B--
52畑时2血%=彳+补*2阴+$
解得:
U+二]
55Jcosa+2sin2C
评注I.适用于求
令sinx或CO3JC=^(cosx+isinx)+百仏匚加忑十坯inx)1◎
评注2定积分与不定积分在分项积分法上无多大区别。
2•分段积分法
定积分情形:
什么时候用分段积分法?
(1)
被积函数分段表示;
(2)被积函数的原函数分段表示。
若孙亡(3』)二>「了⑴必二「"或力必+『城戒必
」卫」乩JjT(j
cr
解
OO必-1
求/(i)=
V香
"(QI)
仏)=[
+『x-tdt-[(£—x臨+](x-^dx
二一扣-X)肾I扣-疔J二
£Z22
21卫.
+—arctan(—tanx)0ab為*
不定积分的情形:
方法L拼接法
、\或M工兰心
设/(x).g连续(含術点)°
岭)工…
分别求[g(兀)血二&(打址(兀兰心),卜(只)必二丹(竹+於(兀三工口)
jsin0弐)
/⑴=£("+l)U〉O)
解法1:
拼接法(要点:
连接点处连续)
兀兰0,f-—
血2申-[
J2
v>0I]ln(2x+1)必二
-;vln(2x+l)—x+!
ln(2;r+1;十巾
■|乙]
--cos2x(z<0)取巾二—二保证/0)
令F(舟二匚2
x\h(_2z+1)-l]+f111("+1)+5在畫=O连续他就必可导h
・2
评注拼接法的依据是:
设在(讹)连续,a 又巩蛊)在盖=匸连续,二护©二口0 F'(c)=limF("F(c? )_匾聲(”=血/(工)=f(c) 〒一卢21-J-f用今『 方法2: 变限积分法。 23换元积分法(变量替换法)| 不定积分情形 G(药乜))+"G何+血打)创㈤卅■少〃辆曲= +—尸9(工)〕x二级7仙)是肚=酬>)的反函数。 沁)在[化屈有连续导数I(f匕[工飾,眞u)二$賦0)二占 换元也相应地换积分限 1、利用第一换元法,求J$(£)必 关键是: 从Q(x)中分岀一部分与d孟凑成d沁).余下是®(对的函数。 掌握如何凑微分由基本积分制凑微分 ^x)=arctana诃韵二一^ 1+x J/(arctan孟)必二£/(arctanx)dar: tanx 1+F 由扩充的积分表来凑微分 基本积分表J疋必=2Va+l+G优芒-1 1+Of 扩充的积分表J矿0)d汎X)=—矿“⑴+£ 1+a 0(! ^*卷遍 [(先恒等变形,再凑微分) Jsin2t+2sinx [Intanx 」gin2x 么利用第二换元法的关键是: 选择变量替换’常用的有: | (1)|三角函数代换去根号|-化成三角函数有理式积分,基本类型: 图对求变量还原时有作用 例/=[? 罕 解: x2-2r=(t-I)2-1令x-1=—! —=secI cos/ dx=——di-tanIsecirf^cosI sint=(sinf油订) rjsec/tanf、 Jz———黴 \sec(tanf (2)幕函数代换去根号-化无理式为有理式。 解*叵皿 二字卫八1)二1宀£ 出T=「 0-1) 班代入被积表达式,得 J© 1] /=-2dt一(_\dt--2l-In 」f-1“1 ⑶指数函数代换(被积函数由h构成的代数式) 解: 扇函数代换与指数函数代换相结合。 [•鼻处二[(——血二in +1-1 t? -1Jt-1z+1=2111^/7+1^1)-x+c 4)倒代换 w咖⑵" 评注: 这两道题均可作三角函数代换,但作倒代换简便。 2.4分部积分法 卜(x)必⑶=讥工叽或-卜〔町山㈤ (Q旳(打二火)呛*-]: 呛)di心) 其中讥x)■讥朗在所讨论区间上有连续导数 选择心L⑴恥) 关于”cf内外函数的选择「常见以下情形以氏(R,必⑴表示川次多项式 巳(A)CO5加必- 斗(x)ln^z=h抚您絆0)^(^aictan皿=arctanxdQ^(^) 使用分部积分法时常有以下情形 重复使用•递推使用「导出方程.自身部分相消, 直接分部 再分部二A(arcsin+2|arcsin叔Jl_F -^arcsmxf+2Jl一卡arcsinx-2x+C 例: /二“曲竺二兽上必JCOSX 二(L丄严+c cos^ 注意: J/(e必—[/(对必二u 例: 求©二『血「必(«>2为自然数) J! J J4--IJsin^-'xcos2xdx 解免二一”cms_^dfcos7r=-? inH_1zcosx --l)^sin"_Jj(1-sin2工)必=(闲_1)厶斗_(理一1)厶 讯L1 4=——A-2{^>2)这是递推公式- 科 n为偶数时厶=匕1.三匚广仁1二1口……1;O=(1Z^^卫”一2可兄一2川一42^112 n为奇数时_(n»心 B用〔用一2)…3«! ! 严二屮 广 —为奇数 挖为偶数 1.2
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- 关 键 词:
- 基本 积分