高二数学下学期期末考试试题.docx
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高二数学下学期期末考试试题
2019-2020年高二数学下学期期末考试试题
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.已知,则。
2.若正方体的体对角线长是4,则正方体的体积是。
3.经过抛物线的焦点,且以为方向向量的直线的方程是。
4.在二项式的展开式中,含的项的系数是。
(用数字作答)
5.若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的标准方程为。
6.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则。
7.若五个人排成一排,则甲乙两人之间仅有一人的概率是。
(结果用数值表示)
8.已知,,若直线与射线(为端点)有交点,则实数的取值范围是。
9.圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为cm,半径为cm,则该圆锥的体积为。
10.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面
的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是。
11.在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径为cm的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好
上升cm,则_______cm。
12.如右图,中,
,在三角形
内挖去半圆,圆心在边AC上,半圆与BC、AB相切于点C、M,
与AC交于点N,则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的
体积为。
13.已知抛物线,过定点作两条互相垂直的直线,与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,设的斜率为.若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为,则弦MN的中垂线在y轴上的截距为。
14.半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,
是平面内边长为的正三角形,线段、
分别与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离
是。
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。
15.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如下图所示,盛满酒后他们约定:
先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为,,,,则它们的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
16.已知直线平面,直线在平面内,给出下列四个命题:
①;
②;③;④,其中真命题的个数是()
A.①②B.①④C.②③D.②④
17.方程的图象表示曲线C,则以下命题中
甲:
曲线C为椭圆,则1 若曲线C为双曲线,则t>4或t<1; 丙: 曲线C不可能是圆;丁: 曲线C表示椭圆,且长轴在x轴上,则。 正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 18.将正整数n表示成k个正整数的和(不计较各数的次序),称为将正整数n分成k个部分的一个划分,一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同,则称为不同的划分,将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P(n,k),则P(10,3)的值为() A.12B.10C.8D.6 三、解答题 19.(本题满分12分) 如图,直线平面,为正方形,,求直线与所成角的大小。 20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 在二项式的展开式中: (1)若第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若所有项的二项式系数和等于4096,求展开式中系数最大的项。 21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 已知圆。 (1)求过点的圆C的切线的方程; (2)如图,为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足 求的轨迹。 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。 如图,圆锥的轴截面为等腰直角三角形,为底面圆周上一点。 S A B C H Q O (1)如果的中点为,,求证: 平面; (2)如果,,求此圆锥的体积; (3)如果二面角大小为,求的大小。 23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分8分,第3小题满分5分。 定义: 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。 已知椭圆。 (1)若椭圆,判断与是否相似? 如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由; (2)写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围; (3)如图: 直线与两个“相似椭圆”和 分别交于点和点,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点(非椭圆顶点),使和组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法。 (不必证明) 金山中学xx学年度第二学期高二年级数学学科期末考试卷 参考答案 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。 1.已知,则11。 2.若正方体的体对角线长是4,则正方体的体积是。 3.经过抛物线的焦点,且以为方向向量的直线的方程是y=x-1。 4.在二项式的展开式中,含的项的系数是28。 (用数字作答) 5.若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的标准方程为。 6.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则。 7.若五个人排成一排,则甲乙两人之间仅有一人的概率是。 (结果用数值表示) 8.已知,,若直线与射线(为端点)有交点,则实数的取值范围是。 9.圆锥的侧面展开图为扇形,若其弧长为cm,半径为cm,则该圆锥的体积为。 10.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体,如果任意转动该正方体,液面 的形状都不可能是三角形,那么液体体积的取值范围是。 11.在一个水平放置的底面半径为cm的圆柱形量杯中装有适量的水,现放入一个半径为cm的实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升cm,则_______cm。 12.如图,中, , 在三角形内挖去半圆,圆心在边AC上,半圆与BC、 AB相切于点C、M,与AC交于点N,则图中阴影部分绕 直线AC旋转一周所得旋转体的体积为。 13.已知抛物线,过定点作两条互相垂直的直线,与抛物线交于两点,与抛物线交于两点,设的斜率为.若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为,则弦MN的中垂线在y轴上的截距为。 14.半径为的球的直径垂直于平面,垂足为, 是平面内边长为的正三角形,线段、 分别与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离 是。 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案。 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。 A.B.C.D. 16.已知直线平面,直线在平面内,给出下列四个命题: ①; ②;③;④,其中真命题的个数是(B) A.①②B.①④C.②③D.②④ 17.方程的图象表示曲线C,则以下命题中 甲: 曲线C为椭圆,则1 若曲线C为双曲线,则t>4或t<1; 丙: 曲线C不可能是圆;丁: 曲线C表示椭圆,且长轴在x轴上,则。 正确的个数为(B) A.1个B.2个C.3个D.4个 18.将正整数n表示成k个正整数的和(不计较各数的次序),称为将正整数n分成k个部分的一个划分,一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同,则称为不同的划分,将正整数n划分成k个部分的不同划分的个数记为P(n,k),则P(10,3)的值为(C) A.12B.10C.8D.6 三、解答题 19.(本题满分12分) 如图,直线平面,为正方形,,求直线与所成角的大小。 解: 令取中点为,中点为,中点为, 连,则, 所以就是直线与所成角或其补交。 ……………………4分 又因为在中,再连,可得, 所以,………………………10分 所以直线与所成角的大小为。 …………………12分 20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 在二项式的展开式中: (1)若第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项; (2)若所有项的二项式系数和等于4096,求展开式中系数最大的项。 解: (1)因为,所以或。 ……………………2分 当时,二项式系数最大的项为,;……………………4分 当时,二项式系数最大的项为。 ……………………6分 (1)因为,所以。 ……………………8分 又因为 ,所以…………………12分 所以展开式中系数最大的项为。 ……………………14分 21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分。 已知圆。 (1)求过点的圆C的切线的方程; (2)如图,为圆C上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足 求的轨迹。 解: (1)由题意知所求的切线斜率存在,设其方程为, 即;……………………2分 由得,解得,……………………5分 从而所求的切线方程为,.……………………6分 (2) ∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|.……………………8分 又 ∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.…………12分 且椭圆长轴长为焦距2c=2. ∴点N的轨迹是方程为………………………………14分 22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分。 如图,圆锥的轴截面为等腰直角三角形,为底面圆周上一点。 (1)如果的中点为,,求证: 平面; (2)如果,,求此圆锥的体积。 (3)如果二面角大小为,求的大小。 解: (1)因为,所以平面,所以,…………2分 又,所以平面.……………………4分 (2)在中,是直角,且,所以,……………………6分 又三角形为等腰直角三角形,所以,……………………8分 所以 。 ……………………10分 (3)过作,所以平面,……………………12分 再过作,连接,则. 所以是二面角的平面角,所以,……………14分 令,则,,所以, 所以.……………………16分 23、(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分8分,第3小题满分5分。 定义: 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。 如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。 已知椭圆。 (1)若椭圆,判断与是否相似? 如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由。 (2)写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围。 (3)如图: 直线与两个“相似椭圆”和 分别交于点和点,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点(非椭圆顶点),使和组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法。 (不必证明) 解: (1)椭圆与相似。 ……………………2分 因为椭圆的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,而椭圆的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形, 因此两个等腰三角形相似,且相似比为……………………5分 (2)椭圆的方程为: ……………………6分 设,点,中点为, 则 ,所以 则……………………8分 因为中点在直线上,所以有,……………………10分 即直线的方程为: , 由题意可知,直线与椭圆有两个不同的交点, 即方程 有两个不同的实数解, 所以 ,即……………………13分 (3)作法1: 过原点作直线,交椭圆和椭圆于点和点,则和即为所求相似三角形,且相似比为。 ……………………18分 作法2: 过点A、点C分别做轴(或轴)的垂线,交椭圆和椭圆于点和点,则和即为所求相似三角形,且相似比为。 ……………………18分
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