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高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解
第一章函数、极限、连续
第1节函数
★基本内容学习
一基本概念和性质
1函数的定义
设有两个变量x和y,变量x的变域为D,如果对于D中的每一个x值,按照一定的法则,变量y有一个确定的值与之对应,则称变量y为变量x的函数,记作:
yfx。
2函数概念的两要素
①定义域:
自变量x的变化范围②对应关系:
给定x值,求y值的方法。
3函数的三种表示方法
①显式:
形如yfx的称作显式,它最直观,也是初等函数一般采用的形式。
②隐式:
有时有些关系用显式无法完全表达,这时要用到隐式,形如
x2y2
F(x,y)0,如椭圆函数221。
ab
xvt
③参数式:
形如平抛运动的轨迹方程12称作参数式。
参数式将两个ygt2
变量的问题转化为一个变量的问题,从而使很多难以处理的问题简化。
4函数的四个基本性质
1
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①奇偶性:
设函数fx在对称区间X上有定义,如果对于xX恒有f(x)f(x)
(或)f(x)f(x),则称fx为偶函数(或fx奇函数)。
注:
偶函数fx图形关于y轴对称,奇函数fx的图形关于坐标原点对称。
②有界性:
设函数fx在区间X上有定义,如果M0,使得对一切xX,恒有:
fxM,则称fx在区间X上有界;若不存在这样的M0,则称fx在区间X上无界.注:
函数fx有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性:
设函数fx在区间X上有定义,若存在一个与x无关的正数T,使对任一xX,恒有fxTfx则称fx是以T为周期的周期函数,把满足上式的最小正数T称为函数fx的周期。
④单调性:
设函数fx在区间X上有定义,如果对x1,x2X,x1x2,恒有:
fx1fx2(或fx1fx2)则称fx在区间X上是单调增加(或单调减少)的;如果对于x1,x2X,x1x2,恒有:
fx1fx2(或fx1fx2)则称fx在区间X上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
5其它函数定义
①复合函数:
设函数yfu的定义域为Df,而函数ux的定义域是D值域为Z,若DfZ,则称函数yfx为x的复合函数,它的定义域是{x∣xD且(x)Df}。
这里表示空集。
②反函数:
设函数yfx的值域为Zf,如果对于Zf中任一y值,从关系式yfx中可确定唯一的一个x值,则称变量x为变量y的函数,记为:
xy,2
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其中y称为函数yfx的反函数,习惯上yfx的反函数记为:
yf1x。
6初等函数
①常值函数C(C为常数),xR
②幂函数yxR,定义域由确定,但不论如何,在(0,)yax(a0且a1)xR
x④对数函数yloag(a0且a1)x(0,)
⑤三角函数如ysinx,xR;ycosx,xR;
ytanx,x(k,k),kZ;cotx,x(k,(k1)),kZ等22
⑥反三角函数yarcsx;inx[1,1]yarccosx,x[1,1];yarctanx,xR;yarccotx,xR.
以上六类函数称基本初等函数。
由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。
7分段函数
一个函数在其定义域ysgnx0当x0,
1当x0.
②取整函数[x]表示不超过x的最大整数;[x]n,当nxn1,其中n为整数。
1当x为有理数时,yfx③狄利克莱(Dirichlet)函数0当x为无理数时.
3
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x,x0④绝对值函数xx,x0
★基本题型训练
一典型例题
1判断函数的等价性
例1.1下列各题中,函数f(x)与g(x)是否相同?
为什么?
(1)f(x)lgx2,g(x)2lgx;
(2)f(x)x,g(x)
(3)f(x)g(x);(4)f(x)1,g(x)sec2xtan2x;解:
(1)不相同,因为lgx2的定义域是(,0)(0,),而2glx的定义域是(0,)。
(2)不相同,因为两者对应法则不同,当x0时,g(x)x。
(3)相同,因为两者定义域、对应法则均相同。
(4)不相同,因为两者定义域不同。
2求函数的定义域
例1.2设f(x1)的定义域为[0,a](a0)则f(x)的定义域为多少?
解:
函数f(x1的)定义域是指x的变化范围,即0x1a,令tx1,则1ta1。
故对函数f(x)而言,t的变化范围为[1,a1],由函数表达式的“变量无关性”,知:
f(x)的定义域为[1,a1]。
常见错误:
[1,a1]。
主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深,误认为0x1a,由此得到1xa1。
3判断函数奇偶性
例1.4下列函数中哪些是奇函数,哪些是偶函数,哪些是非奇非偶函数?
4
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(1)yexsinx,
(2)
yloga(x(a0,a1)
2
解:
(1)因为sinx为奇函数,x2为偶函数,所以yexsinx为奇函数。
(2)f(x)loga(xloga
故f(x)为奇函数
4判断函数的周期性
例1.5下列哪些是周期函数?
对于周期函数,指出其周期。
(1)ycos(x2)
(2)y1sinx解
(1)ycos(x2)是周期函数,周期为2;
(2)y1sinx是周期函数,周期是25判断函数单调性
例1.6设f(x)在(,)上有定义,且对任意x,y(,)有
f(x)f(y)xy证明F(x)f(x)x在(,)上单调增加。
2
loga(xf(x),
证明:
设x1,x2(,),x1x2所以f(x2)f(x1)x2x1x2x1,而f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)x2x1所以f(x1)x1f(x2)x2所以
F(x1)F(x2)
即F(x)在(,)上单调增加。
6求反函数例1.7
求函数y
5
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解:
令ty
2y1y11t。
所以t,
,所以y1y11ty14yx1,2y1(y1)
所以反函数y4x即为所求。
(x1)2
7复合函数求法
x2,x01x,x0,g(x)例1.8设f(x)则f[g(x)]等于多少?
x2,x0x,x0
解:
当x0时,g(x)x0,所以当x0时有f[g(x)]1x;
当x0时,g(x)2x0所以x0时有f[g(x)]2x2故,
1x,x0f[g(x)]2。
x2,x0
注:
求复合函数一般用三种方法:
分析法,代入法,图示法。
本题用的是分析法,下面分别介绍这三种方法。
(1)分析法:
是抓住最外层函数定义域的各区间段,结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析,从而得出复合函数的方法,该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。
(2)代入法:
将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代,这种构成复合函数的方法,称之为代入法,该法适用于初等函数或抽象函数的复合,这种方法在求复合函数时一般最先想到。
(3)图示法:
借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法,适用于分段函数,尤其是两个均为分段函数的复合。
关于图示法解题的一般步骤如下:
①先画出中间变量函数ux的图形;
②把yfu的分界点在xou平面上画出(这是若干条平行于x轴的直线);③写出u在不同区间段上x所对应的变化区间;
④将③所得结果代入yfu中,便得yfx的表达式及相应x的变6
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化区间。
关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。
二能力拓展
例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"MN"表示“M的充分必要条件是N”,则必有
(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数。
(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数。
(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数。
(D)F(x)
[A]
解法一:
任一原函数可表示为F(x)f(t)dtC,且F(x)f(x).当F(x)0x是单调函数f(x)是单调函数。
为偶函数时,
有F(x)F(x),于是F(x)
(1)F(x),即f(x)f(x),也即f(x)f(x),
可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则f(t)dt为偶函数,0x
从而F(x)f(t)dtC为偶函数,可见选(A)。
0x
1解法二:
令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=x2,2
排除(D);故应选(A)。
1,x1例2设f(x)则f{f[f(x)]}等于。
0,x1
1,x1(A)0(B)1(C)(D)0,x1
解:
由f[f(x)]=1得,f{f[f(x)]}=1,故应选(B)0,x11,x1
7
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解★函数理论框架图
第2节极限与连续性
★基本limxna0,n一个正整数N,当nN时,
8恒有
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解xna。
若xn存在极限,称{xn}收敛,否则称{xn}发散。
定义2.2limf(x)a0,一个整数X,当xX时,有f(x)ax
f(x)a0,正数,当0xx0时,有f(x)a定义2.3xlimx0
2数列、函数极限的基本性质与相关定理定理2.1(极限的不等式性质)
xna,limynb若ab,设nlim则N,当nN时,若nN时,xnyn;xnyn,n
则ab。
xna,limxnb则ab。
定理2.2(极限的唯一性)设nlimn
定理2.3(收敛数列的有界性)设xn收敛,则xn有界(即常数M0,xnM,n1,2,)。
f(x)A,limg(x)B若AB则>0,定理2.4(极限的不等式性质)设xlimxxx00
当0xx0时f(x)g(x);若f(x)g(x)(0xx0),则AB。
fxA,A0或A0,则存在一个0,当[推论](极限的保号性)若xlimx0
xx0,x0,xx0时,fx0(或fx0)。
00f(x)A,limf(x)B则AB。
定理2.5(极限的唯一性)设xlimxxx
定理2.6(夹逼准则)设在x0的领域内,恒有xfxx,且
xx0limxlimxA,则limfxA。
xx0xx0
定理2.7(单调有界准则)单调有界数列xn必有极限。
3函数连续性定义
定义2.1设函数fx在x0的某领域内有定义,给x在x0处以增量x,相应
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地得到函数增量yfx0xfx0。
若极限limy0,则称fx在xx0处连x0续。
fx定义2.2设函数fx满足条件:
(1)fx在x0的某领域若fx在x0处出现以下三种情形之一:
fx不存在;fxfx0。
(1)fx在x0处无定义;
(2)xlim(3)xlim则称x0为fxxx
的间断点。
间断点x0的分类:
第Ⅰ类间断点fx0,fx0均存在。
其中若
fx0fx0fx0,xx0称为可去间断点。
若fx0fx0,xx0称为跳跃间
断点。
第Ⅱ类间断点:
fx0,fx0至少有一个不存在。
若fx0,fx0之中有一个为,则xx0称为无穷间断点。
5闭区间上连续函数的性质
(1)(连续函数的有界性)设函数fx在a,b上连续,则fx在a,b上有界,即常数M0,对任意的xa,b,恒有f
x
M。
(2)(最值定理)设函数fx在a,b上连续,则在a,b上fx至少取得最大值与最小值各一次,即,使得:
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fmaxfx,a,bfmin,a,bfxaxbaxb
(3)(介值定理)若函数fx在a,b上连续,是介于fa与fb(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在a,b上至少一个,使得f.ab。
(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数fx在a,b上连续,且fafb0,则在a,b内至少一个,使得f0.ab
5无穷小及其阶
(1)无穷小与无穷大的定义
定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小(量)。
limfx00,一个X0,当xXx时,恒有fx。
时,恒有fx。
xx0limfx00,0,当0xx0
定义2.6在自变量的某一变化过程中,若函数fx的绝对值无穷增大,则称函数fx为无穷大量。
limfxM0,一个X0,当xXx时,恒有fxM.
时,恒有fxM.xx0limfxM0,一个0,当0xx0
(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系
xx0limfxAf(x),其中lim(x)0;xx0
1f(x)为无穷小,f(x)0则为无穷大f(x)在同一极限过程中,。
f(x)为无穷大,则1为无穷小f(x)
(3)无穷小阶的概念
定义2.7设在同一极限过程中,x、x为无穷小且存在极限
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xx0(x)limx0,limx0。
xx0(x)
x①若lix0,则称x是比x高阶的无穷小,记为
xox.
②若limx,则称x是比x低阶的无穷小。
xxC,则称x与x是同阶无穷小。
x③若lim
④若limx1,则称x与x是等价无穷小,记为x~x。
x⑤若limxCC0,k0,则称x为x的k阶无穷小。
kx(4)等价无穷小的重要性质
x()x,(,①若xa(x)~)x且lim(x)存在,则(x)
lim(x)(x)lim(x)(x)
该结论表明:
在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。
②(x)~(x)(xa)(x)(x)o((x))
(5)确定无穷小阶的方法
①利用洛必达法则确定k0使得limxx0fx(xa)kA0,则xa时,f(x)
是xa的k阶无穷小。
洛必达法则:
法则Ⅰ(
xx0xx00型)设函数fx,gx满足条件:
0limfx0,limgx0;fx,gx在x0的领域内可导(在x0处可除外)且
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gx0;limxx0fxfxfxlim.存在(或)。
则limxxxx0gx0gxgxxx0法则I(型)设函数fx,gx满足条件:
limfx0,limgx0;一0
个X0,当xX时,fx,gx可导,且gx0;lim
fx
gxfx.gxxx0fx存在(或)。
gx则limxx0limxx0
法则Ⅱ(型)设函数fx,gx满足条件:
limfx,limgx;xx0xx0
fx,gx在x0的领域f(x)f(a)f(a)(xa)n!
若f(a)f(a)f’n1fn(a)(a)0,f(a)0则f(x)(xa)no((xa)n)。
n!
n
因此f(x)是(xa)的n阶无穷小(后面章节还会讲到)。
③利用无穷小的运算性质如若xa时,fx,gx分别是xa的n阶与
则fxgx是xa的(nm)阶无穷小,当nm时,fxgx是m阶无穷小,
xa的n阶无穷小。
★本章需要记忆知识
1重点概念、性质
函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准13
高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解则等。
2重点公式
sinxlim1,x0x
nlim1xx01x1e(或lim1e);
xxnx常用极限:
01
特例lim1
limarctanx
2xlimarcxtanx
x2cotlimarcxxx0xxx1limarccotxlimex0limexlimx
★基本题型训练
1求复合函数
ex,x1x2,x0,x2例设fx,求fx。
x,x1x1,x0
xe,x1解:
由题设fx,
x,x1分以下情况讨论。
(1)当x1时,
x0x1.或x0,xx21,即x1
x00x或x0,xx211,
即2x2
(2)当x1时,
x01x0.或x0,xx21,即x1
x0x或x0,xx11,
即2x22
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ex2,x2,综上所述,f
xx21e,
x21,x11x00xx2利用函数概念求函数表达式
例已知f(ex)1xsinx,求f(x)。
解:
令ext,则xlnt。
于是f(t)1lntsin(lnt)从而f(x)1lxns。
ix
注:
设f((x))(x),其中(x)是已知函数,则有两类问题:
一是已知f求;二是已知求f。
①若f是已知,并存在反函数,则(x)f1((x))。
②若已知,并存在反函数,令t(x),则x1(t),从而f(t)(1(t)),即f(x)(1(t))。
因此,这两类问题都是求反函数问题。
3求未定型函数极限
例求下列极限
①
③
解:
①原式
④
②
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②原式
1
③原式
④原式
(
)
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4求变限积分不等式的极限
(etdt)2
02x0
2
=
例求极限lim解:
原式=lim
x
x
3x
edt
2t2
2(etdt)(etdt)’
2x
2
2x
2
3e
018x2
lim
x
4e4x
2
2x
3e
018x2
etdt
2
4lim014x23xe
2x
etdt
2
42e4xlim014x2x328xe
2
注:
在验证条件lim
x
(x)
x0
f(t)dt时,要用到以下结论:
若f(x)连续,又
(x)
x
limf(x)A0(也可为)lim(x),则lim
x0
f(t)dt。
5由极限确定函数中的参数例确定a,b,c的值,使
解:
当
原式
故原式
故c=
存在,并求该
1
2
时,由
可得
同理可得
的值,使极限
例试确定常数
极限值.
17
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解:
原式
由
可得
,即
存在
则原式
同理由
所以原式
6利用函数收敛准则求极限
例1(利用夹逼准则
)
_可得
,即
解:
且
又
由夹逼原则可得原式
例2(利用单调有界准则)
1a若序列a
n的项满足:
a1a为正的常数),且an1an,(这里2an
18
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n1,2,)。
试证an有极限,并求出它。
1aa12a2a解:
由a1
a2a12a12a12a1
今用数学归纳法
证ak1aak2a2aak1ak2aka2ak2k
1a又anan1an2an。
这只须注意到
:
an2a0,故an单调且有下界,从而其极限2an
(n时)存在,令其为A。
1a由an1an2an1alimalima有nn1nn2an1a,即AA,2A即A2a,
所以
AA
0。
从而limann
7求n项和数列的极限
2nsin]例求lim[nn1nn2n
2nsinsinsin1ni12n<(sinsinsin)=sin1nni1nnnnn1n1n2nsinsin
11ni2而limsinsinxdx,另一方面,0nnni1
19
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sin
2n
sinsinn>1(sinsin2sinn)=n1sini
nn1n1ni1nnnn
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