f(x)dx,其中2e(0,1)o
18.设广(x)连续,尸(0=』了(/)广(2°-从〃,/(0)=0,/(«)=1,试证:
F(2a)-2F(a)=\o
>
19.设g(x)是[c,b]上的连续函数,/(a)=,试证在(“,/?
)内方程g(x)_‘""=0至少有一个根。
20.
21.
22.
23.
设/⑴在肚对连续,且/(X)>o,又F(x)=jy(/w+j:
命〃,证明:
(1)F'(x)>2
(2)F(x)=0在仏b)内有且仅有一个根。
设f(x)在[0,2切上连续,则f/(a>=匸[/(J+f(2a-x^lx。
设/(Q是以兀为周期的连续函数,证明:
J:
(sinx+x)f(x\lx=匚(2x+7r)f(x\lx。
设/⑴在肚对上正值,连续,则在[d,b)内至少存在一点纟,使
=JjGHv=。
24.证明fInf{x+t\lt=|In丿"+j*:
Inf(u\lu。
z、du+fM
25.设/(x)在[sb]上连续且严格单调增加,则⑺+/?
)『/(“々<2「寸(;讪。
26.设/(Q在[。
闰上可导,且,/(«)=0,则J:
/(咸仪5耳0—°尸。
27.设/(对处处二阶可导,且/*(x)>0,又“(f)为任一连续函数,则
认恤n/[£(:
"◎"),(a>°)。
28.设几r)在[a,对上二阶可导,且厂(刘<0,则S0-“)/斗卜
aI2丿
29.设/(X)在[("]上连续,且/(x)>0,j7(-vHv<0,证明在[“,对上必有f(x)=Oo
30./(x)在\ci.b]上连续,且对任何区间[a”]u[%切有不等式
『于6诃<—(M,
5为正常数),试证在卜上]上/⑴三0。
第五章定积分
(A)
1.
2
JJsinxcos\vJx
解:
.j:
A2yja~-x~dx
解:
令x=6/sinr,则dx=acostdt
当尤=0时/=(),当x=a时/=?
2
原式=sin21•acost・acostdf
3.
=—J(~(1-cos4/W
8284
16
dx
X2y]\+X2
解:
令兀=tgO,则dx=sec2OdO
当归,血e分别吟彳
sec20tg1OsecO
dO
=J?
(sin&)-'dsin&T
=V2——^3
3
4.「严
JjJ5_4x
解:
令则2}扣,心冷皿
当x=-l,1At,u=3,1
原式=J3j(5-«2>=|
5.『咅
Vx+1
解:
令yfx=ttdx=2tdt
当X=1时,/=1;当x=4时,t=2
原式=
4-臥1+氓
=2+214
解:
令Jl-x=it,则x=1-H2,dx=-ludit
31
当x=—,1ntu=—.0
42
du=2f--_^-^-du=l-21n2
=2-71+In.v
=2上一2
9-3+cos2皿
解:
原式=hJ2cos,xclx=、伍J()|cosa|〃x
=血];cosxdx+V2JzT(-COSX)6/x
=a/2sina-|J-sin=2y/2
10.fx4sinxdx
J-打
解:
Tx4sinx为奇函数
c/*4
Ixsinxdx=0J-ff
11•J:
4cos"xclx
解:
原式=4-2^2cos4xdx=2|J(2cos2x\dx
=2
(1+cos2x)2dx=2JJ(1+2cos2x+cos22x\lx
=2x|J+2|Jcos2xdr+JJ(1+cos4x)t/x
=zr+2sin2.v|J+———J2cos4xJ4x
2
12.
=^+lsin4x
24
「5x3sin2xt
23
=—7t
o2
解:
・・・t^为奇函数
gTnsw+ablp
5一•一瓦I、
a堡逐
l、px8n37?
Hy婆穆
xpxmuxj9寸I2W8H
2>Jelz=8
gvTH
€-
电:
T
•寸L
•>
-dx
1+x2
16.
解:
17.
解:
1
1
2
7t
1
I
~2
n
1
4
2
1
x+—arctgxo2
Cdx+-
Jo2
26,2\/sinx
o
J7戶COS皿•
ezXsin.v
1fidx
°l+x2
££
「的・2*
=er+2(,八dcosx
££
=e"+2e2xcosx|^-2^2cosx-2elxdx
£
=eT-2-4£2e2xcosxdx
cosay/x=-
5
X-2)
J:
(xsinx
)2dx
原式=匸(xsiiix)2dx=J]x2-—:
''i\dx
1f龙)1/•/T
=—x^dx一一2coslxdx
2Jo2Jo
—x
6
1r‘y
才严sin2x
--x2sin2a
64L
rr/•jt
一sin2x・2x厶
0Jo
xdcos2x
1
T'
'4
xcos2x|;-J()cos2xdx=—
18.Jsin(lnx\lx
解:
原式=xsin(ln现-j\cos(lnx)-—dx
X
=esin1-J】cos(hix)clx
=fsinl-xcos'
(inx)||+[xsin(inx)丄dx
a/cosx-cos3xdx
=0sinl-acosl+l-jsin(inx)clx
fsin(inx\lx=*(sin1-cosl+1)
19
J/TVcosx(-sinx)clx+4
20
4V2
5"T
X・sinx
01+sinx
dx
解:
sinx
cos2x
dcosx
cos2x
—*-(妙-啪=:
血+手_2
cosx04
21.rxsinydx
Jo1+COS~X
解:
令X=--t9则
2
x—cost-2t1+sinS
■
/cos/
1+sin21
wdg(sin需
1+x1
1-x
•>
21=——In
21—x
l_x_(l+x)(j)〃
(l-v)2
=-In3+-+—In
822
44ln3
23.
解:
原式=\?
T^dx=2
-4+1
T—-
=2
if
X-—
X)
Jx-l
\X)
■+OC
1
2兀一―
pr
0*
24.
/r
1Insinxdx
解:
原式=J?
x
In2sin—-cos
2
JInsin+J;
2J:
(in2+Insint+Incost\lt
Incostclt
z-—itrr
2-ln2+2
^=2
JJInsintdt+J;Insinudu
=f1,12+2
2hisintdt
o
dx
(ano)
dx
.严dx_严dx严屮dx
Jo(1+讯+屮广Jo(1+迩+屮广」。
(l+辺—
■*□0
广81
Jo1+x2
dx=arctg^
dx
(1+小1+・产)
1.求由£'e1dt+£'cosM/=0所决定的隐函数y对x的导数*。
解:
将两边对x求导得
vdyc
e—+cosx=0
dx
COSX
•4
dxey
2.当x为何值时,函数=有极值解:
厂&)=比卞,令厂(x)=0得x=0
当x>0时,Zr(x)>°
当x<0时,C(x)<0
・••当x=0时,函数/(x)有极小值。
3.2严C。
如2爪心Jg汛r
解:
原式=#『'cos(加(cosd»〃]
=-cousin2x)(sinx)+cos(cos2Ajfcosx)
=-cos(^sin2)cosx+cos(/rcos2x)(-sinx)
=-cos(^sin2x)cosx-sinxcos(^-sin2x
=(sinx-cosx)cos(^sin2x)
X+1,x<1、
4.
—X2,X>1
12
设f(x)=\i2.,求J*(了(尤冷。
解:
=j('(x+1>/a-+J:
1x-dx
^(arctgt)2dt
5・lim
一JF+1
解:
J(甞S
一3+1—i
=limE讥曲讨=lim
X—>*xYXK
=輒Jl+g伽crgx)2=壬
沁zX—sinx,06•设f(x)=<2,求0(Q=丄/(讪。
0,其它
解:
当Xv0时,0(x)=匸/(/w=匚0/=0
当0K兀时,(p(x)=Jugsintdt=-_斗巴
当x>7r时,於)=]:
/("〃=匸/("〃+jy(d〃=J:
;sinM/+J»〃=1
Q当vow
7.
故(p(x)=<
—(1-cosx
2'
1,
当0当X>加寸
1
设/⑴J节
求-曲。
1+"
当X>1时
当XV1时
丄
9解:
/(X-1)=P']
」+严
「1+严_严Ju—1+严—
9.
求limV
2£n+nen
7T
=arctge_—
Q时,y>o
当血
=f—(——dx=arctgex
扎1+戶6
10.设/(x)是连续函数,且/(x)=x+2j'/(r>/r,求/(A-)o解:
令[:
/("〃=△,则/(a)=x+2A,
从而j'/ak"=J(:
(x+=丄+2A
oo2
即A=-+2A9A=--
22
・\f(x)=x-\
11.若「=仝,求X。
Jx6
a
解:
令Jr_]=u,wt=hi(l+w2),dt=—du
1+M"
当r=2hi2吋,H=V3
当/=x时,u=\leA-1
•「21112(It“2udur|洛
・J胡K
7t
6
从而x=In2
12.证明:
岳飞叮哼厂dxv血。
址考虑专拾
yf=-2xe^x,令y‘=0得x=0
/•y=£一'在兀=0处取最大值y=l,且卩=e"A
在心寺
处取最小值
故压
e1dxi]
即辰=vj平e^dx<41.
13.
已知lim:
—
XT巩X+d丿
=J4x2e~2ldx,
求常数4。
解:
左端=lim1
2a
x+a
右端=「"(一2x2e~2x)t/(-2x)=J'"-2x2de-lx
+x3
I2xe^xdx
aJ"
=2a2e-2a-2j+Xxde~2x
=2a2e~2a_2卜严『_厂严对
=(2宀2匕+1片加
化(2a2+2a+1戸=严
解之a=0或a=—1。
[1+x2
体设/«='
x<0
x>0
解:
令x-2=t,贝|]
J:
f(x-2>/x=j*:
=j"i(l+r\lt+J:
Q山=g一+
15.设/(x)有一个原函数为1+sin2x,求£2xfr(2x)clxo
解:
令2x=t,且/(x)=(1+sin2x)=sin2x角⑺冷=鳥广隔〃=初分,(讪弓:
甌)冷[呦:
-"呦
16.设/(x)=ax+/?
-Inx,在[1,3]上/'(x)A0,求出常数a,〃使j'f{x\lx最小。
解:
当丄f(x)clx最小,即1(ox+b-]n,x)clx最小,由f(x)=ax+/?
-Inxn0知,y=gx+Z?
在y=Inx的上方,其间所夹面积最小,则y=ax+Z?
是y=\nx的切线,而/=-,设切点为(x0,lnx0),则切线y=—(x-x0)+lnx0,故"=丄,
Inxdx
于是/=J*】("X+〃一Inx\lx=
=4a—2(1+Ina)-[Inxdx
21
令/:
=4一二=0得“=—
a2
从而x0=2,b=In2-1
又Z:
=4->0,此时最小。
17-已知/(x)=f,求]:
广3)/"(尤冷。
解:
广(0=_2站,
j;广⑴厂(必=J;广(讪©)=|Lr(x)p
18.设f\x)=x2-xj~f(x\lx+2^f(x)dx,求f(x)o
解:
设J(:
f=A‘jj/(A)iZv=B,则f(x)=x2-B.X+2A
・•・A=^f(x\Lx=fX-Bx+2A)dx=丄一丄B+2A
・•・B=jj/(A>Zv=J:
(F-Bx+2A»/x=|一2B+4A
14
解得:
A=丄,B=-9于是
33
/(%)=A2~—X+—
733
19.(cosjv)cosx-广(cosx)sin'x^lx。
解:
原式=J;/(cosx)cos^v+J:
sincosx
=[)/(cosx)cosAzAr+sin#(cosx)|(;/(cosx)cosxtAr
20.设xtO时,打0=匸(,一/2护(少〃的导数与,是等价无穷小,试求
厂(0)。
解:
仆―2)厂(讪匚2#伽lim;=lun
j)r3w0犷
£
T
2匸厂(讪
=Inn
5x
=lim
xtO
込(EM
X
=2厂(0)=1
故厂(0)=£
1.设/(x)是任意的二次多项式,g(x)是某个二次多项式,已知
JO/(XVY=+/(°)+4/M+才
(1)],求£g(x0x°
解:
设x=(b-a》+a,则
1=[g(x"x=J:
g(0-心+(询-幺W
=(b_d)J;g((b_C+dk〃
令g(0-C+G)=/(J
于是/(O)=g(a),/|=
/(l)=g(b)
由已知得/=_-g(d)+4g(^^+g⑹
2.设函数/⑴在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数,则在仏b)内存在纟,使得\j^x=0一(号◎+右("一厂(◎。
证:
由泰勒公式
/(兀)=/仇)+广GoXx-X。
)+丄字(X-勺)2
其中x(pxe(t/,b),g位于筍与x之间。
两边积分得:
\j{x)dx=jy(x0>/.v+J:
/tv()女-Xo冷+J:
Z字(x-x0)2dx
=(b-a)f(x0)+[07。
尸_(a一心尸]+[(/?
-x0)3-(«-xoy
令x()=上乜,贝U
2
=0-a)/(卜-fl)3厂(纟)'&已C'b)。
3./(x)在[“力]上二次可微,且ff(x)>0,厂(x)>0o试证
(b-a)f(a)<<(b-a)'(方):
□")。
证明:
当xe(a,b)时,由广(x)>0,/*(x)>0知/(x)是严格增及严格凹的,从而/(X)>f(a)及/(%)(")+V,"(x-a)
(x\lx(一严)+•他)
4.设函数在嗣上连续,广⑴在[a,b]上存在且可积,f(a)=/(/?
)=0,
试证W证明:
因为在[“"]上广⑴可积,故有
J:
广(讹=匸/W+J:
广(讪
而/⑴訂了(讪,一他)=匸广(创
于是/⑴冷们伽-门伽]
如冷山广(也+幽卜川广(也
5.设/⑴在[0,1]上连续,J(:
/(QZr=0,J;#(兀冷=1,求证存在一点x,OKI,使|/(对>4o
证:
假设|f(x)|54,xe[0,1]
由已知J()f(x)cLx=0,J(jxf(x)clx=1,得
故J:
—扣何必=4匸一*必从而Jox_|(|/何一4加=°
・•・/(对-4=0
因为/(x)在[0,1]连续,则/(x)=4或/(x)=-4o从而J'/(a->/x=4或一4,这与J:
f(x、lx=0矛盾。
故|/(x)|>4o
6.设/⑴可微,f(0)=0,广(0)=1,F(x)=£V(x2-r2>,求1帆学。
解:
令x2-t2=it,则F(x)=*J:
,显然Ff(x)=x/(x