数学建模培训-多目标规划.ppt
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多多目目标标规规划划数学建模培训数学建模培训2012.07多多目目标标规规化化模模型型n多目标规划是数学规划的一个分支。
研究多多目标规划是数学规划的一个分支。
研究多于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
于一个的目标函数在给定区域上的最优化。
又称多目标最优化。
通常记为又称多目标最优化。
通常记为MOP(multiMOP(multi-objectiveprogramming)objectiveprogramming)。
n在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、在很多实际问题中,例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好科学和工程设计等领域,衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多坏往往难以用一个指标来判断,而需要用多个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,个目标来比较,而这些目标有时不甚协调,甚至是矛盾的。
因此有许多学者致力于这方甚至是矛盾的。
因此有许多学者致力于这方面的研究。
面的研究。
例如例如,对企业产品的生产管理对企业产品的生产管理,既希望达到高利润既希望达到高利润,又又希望优质和低消耗希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污染等。
这就还希望减少对环境的污染等。
这就是一个多目标决策的问题。
又如选购一个好的计算机系是一个多目标决策的问题。
又如选购一个好的计算机系统统,似乎只有一个目标似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映但由于要从多方面去反映,要用要用多个不同的准则来衡量多个不同的准则来衡量,比如比如,性能要好性能要好,维护要容易维护要容易,费费用要省。
这些准则自然构成了多个目标用要省。
这些准则自然构成了多个目标,故也是一个多故也是一个多目标决策问题。
一般来说目标决策问题。
一般来说,多目标决策问题有两类。
一多目标决策问题有两类。
一类是多目标规划问题类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解其对象是在管理决策过程中求解使多个目标都达到满意结果的最优方案。
另一类是多目使多个目标都达到满意结果的最优方案。
另一类是多目标优选问题标优选问题,其对象是在管理决策过程中根据多个目标其对象是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序。
或多个准则衡量和得出各种备选方案的优先等级与排序。
多目标决策由于考虑的目标多多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又彼有些目标之间又彼此有矛盾此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难这就使多目标问题成为一个复杂而困难的问题的问题.但由于客观实际的需要但由于客观实际的需要,多目标决策问题多目标决策问题越来越受到重视越来越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题因而出现了许多解决此决策问题的方法的方法.一般来说一般来说,其基本途径是其基本途径是,把求解多目标问把求解多目标问题转化为求解单目标问题题转化为求解单目标问题.其主要步骤是其主要步骤是,先转化先转化为单目标问题为单目标问题,然后利用单目标模型的方法然后利用单目标模型的方法,求出求出单目标模型的最优解单目标模型的最优解,以此作为多目标问题的解以此作为多目标问题的解.化多目标问题为单目标问题的方法大致可分化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两类为两类,一类是转化为一个单目标问题一类是转化为一个单目标问题,另一类是另一类是转化为多个单目标问题转化为多个单目标问题,关键是如何转化关键是如何转化.以下以下,我们会介绍几种主要的转化方法我们会介绍几种主要的转化方法:
主要主要目标法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
目标法、线性加权和法、字典序法、步骤法。
一、多一、多目标目标规规划划及及其其解解n多目标规划包含有三大要素:
目标、方案和决策者。
多目标规划包含有三大要素:
目标、方案和决策者。
n在多目标规划中,目标有多层次的含义。
从最高层次来看,在多目标规划中,目标有多层次的含义。
从最高层次来看,目标代表了问题要达到的总目标。
如确定最满意的投资项目标代表了问题要达到的总目标。
如确定最满意的投资项目、选择最满意的食品。
从较低层次来看,目标可看成是目、选择最满意的食品。
从较低层次来看,目标可看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标,如投资项目的盈体现总目标得以实现的各个具体的目标,如投资项目的盈利要大、成本要低、风险要小;目标也可看成衡量总目标利要大、成本要低、风险要小;目标也可看成衡量总目标得以实现的各个准则,如食品的味道要好,质量要好,花得以实现的各个准则,如食品的味道要好,质量要好,花费要少。
费要少。
n多目标规划中的方案即为决策变量,也称为多目标问题的多目标规划中的方案即为决策变量,也称为多目标问题的解。
备选方案即决策问题的可行解。
在多目标决策中,有解。
备选方案即决策问题的可行解。
在多目标决策中,有些问题的方案是有限的,有些问题的方案是无限的。
方案些问题的方案是有限的,有些问题的方案是无限的。
方案有其特征或特性,称之为属性。
有其特征或特性,称之为属性。
(一)任何多目标规划问题,都由两个
(一)任何多目标规划问题,都由两个基本部分组成基本部分组成:
(11)两个以上的目标函数;)两个以上的目标函数;(22)若干个约束条件。
)若干个约束条件。
(二)对于多目标规划问题,可以将
(二)对于多目标规划问题,可以将其数学模型一般地描写为如下形式:
其数学模型一般地描写为如下形式:
(22)(11)式中:
式中:
为决策变量向量。
为决策变量向量。
(三)多目标规划解的特点(三)多目标规划解的特点对对于于上上述述多多目目标标规规划划问问题题,求求解解就就意意味味着着需需要要做出如下的复合选择:
做出如下的复合选择:
(11)每一个目标函数取什么值,原问题可以得)每一个目标函数取什么值,原问题可以得到最满意的解决?
到最满意的解决?
(22)每一个决策变量取什么值,原问题可以得)每一个决策变量取什么值,原问题可以得到最满意的解决到最满意的解决?
多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化(最大或最小),而不顾其它目标。
最优化(最大或最小),而不顾其它目标。
当目标函数处于冲突状态时,就不会当目标函数处于冲突状态时,就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解,于是我们只能寻求非劣解值的最优解,于是我们只能寻求非劣解(又称非支配解或帕累托解)。
(又称非支配解或帕累托解)。
非劣解:
可以用图非劣解:
可以用图33说明。
说明。
图图3多目标规划的劣解与非劣解多目标规划的劣解与非劣解二、多二、多目目标标规规划划问问题题的的建建模模方方法法为为了了求求得得多多目目标标规规划划问问题题的的非非劣劣解解,常常常常需需要要将将多多目目标标规规划划问问题题转转化化为为单单目目标标规规划划问问题题去去处处理理。
实实现现这这种种转转化化,有有如如下下几种建模方法。
几种建模方法。
(三)约束模型三)约束模型理论依据理论依据:
若规划问题的某一目标可以给:
若规划问题的某一目标可以给出一个可供选择的范围,则该目标就可以出一个可供选择的范围,则该目标就可以作为约束条件而被排除出目标组,进入约作为约束条件而被排除出目标组,进入约束条件组中。
束条件组中。
假如,除第一个目标外,其余目标都可以假如,除第一个目标外,其余目标都可以提出一个可供选择的范围,则该多目标规提出一个可供选择的范围,则该多目标规划问题就可以转化为单目标规划问题:
划问题就可以转化为单目标规划问题:
用目标达到法求解多目标规划的计用目标达到法求解多目标规划的计算过程,可以通过调用算过程,可以通过调用MatlabMatlab软件系统软件系统优化工具箱中的优化工具箱中的fgoalattainfgoalattain函数实现。
函数实现。
三、多目标规划问题的求解(化多为少的方法)11、主要目标法、主要目标法在有些多目标决策问题中,各种目标的重在有些多目标决策问题中,各种目标的重要性程度往往不一样。
其中一个重要性程度最要性程度往往不一样。
其中一个重要性程度最高和最为关键的目标,称之为主要目标法。
其高和最为关键的目标,称之为主要目标法。
其余的目标则称为非主要目标。
余的目标则称为非主要目标。
例如,在上述多目标问题中,假定例如,在上述多目标问题中,假定f1(X)为主要为主要目标,其余目标,其余pp-1-1个为非主要目标。
这时,希望个为非主要目标。
这时,希望主要目标达到极大值,并要求其余的目标满足主要目标达到极大值,并要求其余的目标满足一定的条件,即一定的条件,即例题例题某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品,某工厂在一个计划期内生产甲、乙两种产品,各产品都要消耗各产品都要消耗AA,BB,CC三种不同的资源。
每件产品三种不同的资源。
每件产品对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的对资源的单位消耗、各种资源的限量以及各产品的单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。
单位价格、单位利润和所造成的单位污染如下表。
假定产品能全部销售出去,问每期怎样安排生产,假定产品能全部销售出去,问每期怎样安排生产,才能使利润和产值都最大,且造成的污染最小?
才能使利润和产值都最大,且造成的污染最小?
甲甲乙乙资源限量资源限量资源资源AA单位消耗单位消耗资源资源BB单位消耗单位消耗资源资源CC单位消耗单位消耗99443344551010240240200200300300单位产品的价格单位产品的价格400400600600单位产品的利润单位产品的利润7070120120单位产品的污染单位产品的污染3322解:
问题的多目标模型如下解:
问题的多目标模型如下对于此模型的三个目标,工对于此模型的三个目标,工厂确定利润最大为主要目标。
厂确定利润最大为主要目标。
另两个目标则通过预测预先另两个目标则通过预测预先给定的希望达到的目标值转给定的希望达到的目标值转化为约束条件。
经研究,工化为约束条件。
经研究,工厂认为总产值至少应达到厂认为总产值至少应达到2000020000个单位,而污染控制个单位,而污染控制在在9090个单位以下,即个单位以下,即由主要目标法化为单目标问题由主要目标法化为单目标问题用单纯形法求得其最优解为用单纯形法求得其最优解为22、线性加权和目标规划、线性加权和目标规划在上述目标规划中,假定在上述目标规划中,假定f11(X),(X),f22(X),(X),fpp(X(X)具有具有相同的量纲相同的量纲,按照一定的规则分别给按照一定的规则分别给ffii赋予相同的权赋予相同的权系数系数i,作线性加权和评价函数作线性加权和评价函数则多目标问题化为如下的单目标问题则多目标问题化为如下的单目标问题例如,某公司计划购进一批新卡车,可供选择的卡车有例如,某公司计划购进一批新卡车,可供选择的卡车有如下如下44种类型:
种类型:
A1A1,A2A2,A3A3,A4A4。
现考虑现考虑66个方案属性:
个方案属性:
维修期限维修期限f11,每每100100升汽油所跑的里数升汽油所跑的里数f22,最大载重吨数最大载重吨数f33,价格(万元)价格(万元)f44,可靠性可靠性f55,灵敏性灵敏性f66。
这这44种型号的卡种型号的卡车分别关于目标属性的指标值车分别关于目标属性的指标值fijij如下表所示。
如下表所示。
fijf1f2f3f4f5f6A12.01500455一般一般高高A22.527003.665低低一般一般A32.020004.245高高很高很高A42.21800450很高很高一般一般首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。
先将定性指标定量化:
化处理。
先将定性指标定量化:
变换后的指标值矩阵为:
变换后的指标值矩阵为:
aijf1f2f3f4f5f6A1116750.53450.5A2100100110011A3142.25100167100A440.625.756725.751001设权系数向量为设权系数向量为W=(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3),则则故最优方案为选购故最优方案为选
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