数学建模如何提出假设.ppt
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数学建模如何提出假设.ppt
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3.3.如何作好建模过程中的假设如何作好建模过程中的假设1.根据实际问题需要提出新的不同假设根据实际问题需要提出新的不同假设实例实例席位分配问题席位分配问题:
甲,乙,丙三个公司各投资103万元,63万元,34万元组建联合企业集团。
为了成立由20人组成的集团董事会,按投资数比例分配投资数比例分配董事席位如下:
甲公司10人(20(103/(103+63+34)=2051.5%=10.3人),乙公司6人(20(63/(103+63+34)=2031.5%=6.3人),丙公司4人(20(34/(103+63+34)=2017%=3.4人)。
经一段时间后,委员会需要增加一个代表席位,变为21人董事会,根据投资数比例分配办法,重新计算如下:
甲公司11人(2151.5%=10.8人),乙公司7人(2131.5%=6.61人),丙公司3人(2117%=3.57人)。
问题分析:
问题分析:
“按投资数比例分配席位是科学合理按投资数比例分配席位是科学合理”的说法,在增加席位这一新问题上,显然是一个不成功的假设。
需提出新的假设,并建立新的席位分配模型,以期解决在增加代表人数时,某个单位不仅得不到代表增加数,反而减少原有代表数的问题。
出现反常现象反常现象(AlabamaParadox)!
分配席位过程中,“公公平平”是一个原则。
“公公平平”的数量化度量方法是考虑代表率。
但由于人数需取整原因,不可能做到绝对公平,即绝对按代表率数值来分配整数席位是无法实施的,因此在评价两种都不是绝对公平的方案时,要对不公平程度作出数量化度量数量化度量,以不公平程度最小为取舍原则。
什么是一个方案的不公平程度的数量度量不公平程度的数量度量?
先研究只有两个公司的情况。
如果已有分配方案:
公司投资数席位代表率甲公司p1n1p1/n1乙公司p2n2p2/n2假定p1/n1p2/n2,即对甲公司存在不公平因素不公平因素。
借用数学中的有关概念,引入该方案的相对不公平值r来量化这个不公平因素不公平因素:
这时,若再增加一席,有两种方案:
甲p1n1+1p1/(n1+1)乙p2n2p2/n2和甲p1n1p1/n1乙p2n2+1p2/(n2+1)它们各自有两个相对不公平值相对不公平值r1和r2:
我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象(AlabamaParadox)的问题,认为“取取相相对对不不公公平平值值为为最最小小的的方方案案来来操操作作”是能够建立科学合理的席位分配模型的(一种新假设一种新假设)。
在这种最合理的假设下,我们的操作过程(建立模型过程)为比较r1和r2的大小:
如果r1r2,则给乙公司增席;如果r2r1,则给甲公司增席。
若记则“给甲给甲公司公司增席增席”r1QQ22.称之为Q值(Quota),上述建模方法因此称为“比较比较QQ值大小法值大小法”,简称“QQ值法值法”,具体地说,就是在现有的席位分配状态下,各自计算Q值,哪个Q值大,就增加一席给哪个公司。
至于开始的分配方案,可以均取为一席,然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作,直止所有席位分配完毕。
这样建立的席位分配模型,显然能够解决问题而不出现AlabamaParadox。
这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。
例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题:
公司(投资数)席位数(Q值)甲公司(103万元)1(5304.5)2(1768.2)2(1768.2)乙公司(63万元)1(1984.5)1(1984.5)2(661.5)丙公司(34万元)1(578)1(578)1(578)3(884.1)4(530.5)4(530.5)4(530.5)2(661.5)2(661.5)3(330.8)3(330.8)1(578)1(578)1(578)2(192.7)5(353.6)6(252.6)6(252.6)7(189.4)3(330.8)3(330.8)4(198.5)4(198.5)2(192.7)2(192.7)2(192.7)2(192.7)7(189.4)7(189.4)8(147.3)9(117.9)5(132.3)5(132.3)5(132.3)5(132.3)2(192.7)3(96.3)3(96.3)3(96.3)9(117.9)10(96.4)11(80.4)116(94.5)6(94.5)6(94.5)63(96.3)3(96.3)3(96.3)4问题的最后答案是:
甲公司11席,乙公司6席,丙公司4席。
从分配过程中可看到,实际上总共20个席位时,分配方案是(11,6,3),而不是(10,6,4),在此基础上再增一席,就变成了(11,6,4)我们称Q值法值法,即分配方案的相对不公平值应最小相对不公平值应最小,是建立席位分配模型的一种假设假设,而不是一种真理不是一种真理,这表明还可以提出另外种种假设,从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。
答案不唯一答案不唯一!
这就是数学建模的魅力所在!
例如,在多公司席位分配问题中,有人认为衡量各种方案中不公平程度最小的数量指标(建模的不同假设)是rmax最小值,从而得到一种称之为rmax最小法最小法的数学模型的数学模型。
这种方法的操作过程是:
设想将增加一席分别给某公司,共有若干个(n个)方案,每个方案中公司与公司之间都可以算出一个相对不公平值r,一共可得到n(n+1)/2个r值,其中最大的一个r值称为该方案的rmax值,在n个rmax值中最小的值,称为rmax最小值最小值(两极分化最小的模型是好模型),它所对应的分配方案就认为是相对而言最为公平合理的方案。
考察以下分配13个席位后,再增加一席时的操作实例:
公司投资数已分配席位数甲公司252乙公司10010丙公司141pnp/n2538.33
(1)1001010rmax=(14-8.33)/8.33=0.6814114pnp/n25212.5
(2)100119.09rmax=(14-9.09)/9.09=0.5414114pnp/n25212.5(3)1001010rmax=(12.5-7)/7=0.7851427根据rmax最小法最小法,应取方案
(2),即(2,11,1)为相对而言最为“公平合理公平合理”的增席方案。
在此(2,10,1)的基础上,如果要增加一席有三种方案:
故根据Q值法值法,在(2,10,1)时,相应的Q值分别为(104.1,90.9,98),故增一席时应取方案
(1),即(3,10,1);而根据按投资数比例法按投资数比例法(140.179=2.5063;140.719=10.0710;140.101=1.411),也应取方案
(1),即(3,10,1)!
该问题产生了两个相互矛盾但都为该问题产生了两个相互矛盾但都为“正确正确”的解答的解答!
应该注意到,投资数比例值此时Q值25/139=0.179104.16100/139=0.71990.914/139=0.10198在数学模型(高教出版社)第55页习题1中,还介绍了一种比利时大学生VictorDhondt提出的DHondt法法,请分析一下他提出的方案公平(不公平)程度数量化方法(建模新假设建模新假设)是什么?
这种方法是否可以解决增席问题?
它与这里介绍的Q值法值法和rmax最小法最小法在具体操作中是否会有不一样的结果?
如果有不一样的情况,则可以说明Q值法值法、rmax最小最小和DHondt法法是不一样的三种方法。
(提示:
考察三公司投资数分别为25,100,14;席位总数为8的分配问题。
Q值法值法结果是:
1,6,1;rmax最小法最小法结果是:
2,5,1;DHondt法法结果是:
1,7,0。
)你能提出第四种解决增席问题的方法吗?
你能提出第四种解决增席问题的方法吗?
2.模型假设的逐步完善与修改模型假设的逐步完善与修改实实例例电电饭饭锅锅销销售售量量预预测测问问题题:
根据某些统计数据寻求销售量x随时间t变化的曲线x=x(t),从而给决策部门提供销销售售预预测测信信息息,以便在最佳时间点最佳时间点上推出新一代的产品。
假设:
假设:
新产品面世一段时间内,任何时刻销售量关于时间的增长率增长率是一常数r。
建模:
建模:
记x(t)为销售量,t为时间。
在某时刻起的某段时间间隔内,由假设可得:
销售量x的增长量增长量为x(t+t)-x(t)=x(t);单位时间的增长量为单位时间的增长量为这段时间间隔内平均增长率为t时刻的(瞬时)增长率为由假设得模型:
.这里x(0)=x0为面世时的销售基数(可认为是为作广告的赠送品数目)。
求解:
求解:
x(t)=x0ert.分析:
分析:
将t离散化:
t=1,2,3,4,.记er=q1,则x=x0qn(n=1.2,3,).说明该模型曲线是一条几何增长曲线.在新产品面世初期,模型经检验有效.但持续一段时间后,显见不再有合理性.如销售量不能无限制地增加,市场应有一个饱和度。
如何修改模型使得销售中后期情况也能在模型里得到反映?
检视建模过程可以看出,应该修改假设的不合理处应该修改假设的不合理处:
当销售量增加到一定量后,增长率不应该为常数增长率不应该为常数,而应该逐渐减少。
假设的完善修改:
假设的完善修改:
假定任何时刻销售量对时间的增长率r是销售量x(t)的递减函数r=r(x)。
这里r0为当x=0的增长率(常数),称为固有增长率。
k为待定常数。
如设销售量的最大极限数为xm(常数),则当x=xm时,r(xm)=0.由此,这样,假设的数学表示式可写为:
再建模:
再建模:
再求解:
再求解:
为简单计,设增长率设增长率r(x)是是x(t)的的线性减函数线性减函数:
r(x)=r0-kx销售量销售量x(t)随时间随时间t变化的曲线变化的曲线销售速度销售速度x(t)随时间随时间t变化的曲线变化的曲线再分析:
再分析:
由上面两图可知,
(1)当时,;
(2)当tt*时,销售速度x(t)不断递减;当t=t*时,此时x(t*)=xm/2,销售速度x(t)达到最大值.这个模型,可以适用于许多实际应用问题,数学上称它为Logistic模型模型。
3.模型假设的公理性模型假设的公理性实例实例多人合作所得合作效益的合理分配问题多人合作所得合作效益的合理分配问题问问题题:
沿江有三个城市,相距分别为20公里和38公里。
现在三个城市须建立污水处理厂,可各自单独建立,也可联合建立。
为了讨论问题方便,规定只能将污水由上游送至下游。
假定建厂费c1与管道费c2分别有经验核算公式:
c1=73Q0.712(千元),c2=0.66Q0.51L(千元).其中Q(吨/秒)为污水排放速度;L(公里)为管道长。
已知三城镇污水量为Q1=吨/秒,Q2=吨/秒,Q3=吨/秒,L的数值如图所示。
试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。
如果联合建厂,各城镇如何分担费用?
河流20km38km城城2的的意意见见是是:
同意城3的建厂费分摊意见,但城城2至至城城3的的管管道道费费应按城1和城2的污水排放量比例5:
3分摊,城城1至至城城2的的管管道道费费应由城1单独承担.城城1提提不不出出什什麽麽反反对对意意见见,但仔细算了一下,按此方案,自己要承担建厂费建厂费73(5+3+5)0.7125/13=174.2;城城1至城至城2管道费管道费0.6650.5120=30;城城22至城至城33管道费管道费0.66(5+3)0.51385/8=42.55;总计总计需支出174.2+30+42.55=246.7.这个费用要大于自己单独建厂费用这个费用要大于自己单独建厂费用:
7350.712=230.管道费管道费应由城1和城2分摊(城3由于没有使用管道,不应分摊管道费);城城3的意见是的意见是:
建厂费建厂费按各城污水排放量的比例5:
3:
5分摊,为了把解决问题的原理原理说清,不妨先看一个提法简单一些提法简单一些的问题.问题:
问题:
甲乙丙三人经商。
在单干时,每人各获利1元。
甲乙合作,可获利7元;甲丙合作,可获利5元;乙丙合作,可获利4元。
当甲乙丙三人合作时,则可获利10元。
此时该如何合理分配合理分配这10元
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