微分方程的基本概念.ppt

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微分方程第一节微分方程的基本概念第九九章二二、基本概念、基本概念一、问题的提出一、问题的提出例例1x解解tyo一、问题的提出一、问题的提出解解例例2一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上任意一点任意一点M（x,y）处切线的斜率等于该点横处切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程坐标的平方，求该曲线的方程.其中其中C为任意常数为任意常数.把条件把条件

（2）代入）代入（3）式得式得C=0.将将C=0代入代入（3）式，即得所求曲线方程）式，即得所求曲线方程例例3质量为质量为m的物体的物体,只受重量作用只受重量作用,从静止开始从静止开始做自由落体运动做自由落体运动,求物体的运动规律求物体的运动规律.解解首先建立坐标系，首先建立坐标系，即即1.1.微分方程微分方程:

二、基本概念二、基本概念凡含有一个或几个自变量、未知函凡含有一个或几个自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方数以及未知函数的导数或微分的方程叫程叫微分方程微分方程.若自变量只有一个，若自变量只有一个，则称为则称为常微分方程；常微分方程；若自变量的个若自变量的个数不止一个，则称为数不止一个，则称为偏微分方程偏微分方程.常微分方程的一般形式：

常微分方程的一般形式：

如：

如：

常微分方程常微分方程2.微分方程的阶微分方程的阶:

微分方程中出现的未知函数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之的最高阶导数的阶数称之.3.线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程:

（关于关于y线性线性）（非线性非线性）（关于关于y非线性非线性）（关于关于x线性线性）4.微分方程的解微分方程的解:

的的解；解；5.微分方程的解的分类：

微分方程的解的分类：

（11）通解通解:

（2）特解特解:

不含有任意常数的解不含有任意常数的解.思考思考.通解是否一定包含了此方程的所有解？

通解是否一定包含了此方程的所有解？

不一定不一定.解的图象解的图象:

微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图象通解的图象:

积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:

用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:

二阶二阶:

过定点且在定点过定点且在定点的切线的斜率为的切线的斜率为定值的积分曲线定值的积分曲线.6.初值问题初值问题:

求微分方程满足初始条件的求微分方程满足初始条件的解的问题解的问题.解解例例4所求特解为所求特解为微分方程微分方程;微分方程的阶微分方程的阶;微分方程的解微分方程的解;通解通解;初始条件初始条件;特解特解;初值问题初值问题;积分曲线积分曲线;内容小结内容小结思考题思考题思考题解答思考题解答中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特解特解.