12圆的对称性.docx
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12圆的对称性
12-例1等腰△ABC内接于半径为5的⊙O,点O到底边BC的距离为3,则AB的长为。
考点:
垂径定理;等腰三角形的性质;勾股定理.
专题:
压轴题;分类讨论.
分析:
分两种情况考虑:
当三角形ABC为锐角三角形时,如图1所示,过A作AD垂直于BC,根据题意得到AD过圆心O,连接OB,在直角三角形OBD中,由OB与OD长,利用勾股定理求出BD的长,在直角三角形ABD中,利用勾股定理即可求出AB的长;当三角形ABC为钝角三角形时,同理求出AB的长,综上即可得到所有满足题意AB的长.
12-例2已知P是⊙O内一点,⊙O的半径为15,P点到圆心O的距离为9,则通过P点且长度是整数的弦的
A.5
B.7
C.10
D.12
答:
视频;
12-例3视频
如图,⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M,N.且AB=CD,求证:
∠AMN=∠CNM.
考点:
圆心角、弧、弦的关系;全等三角形的判定与性质;垂径定理.
专题:
证明题.
分析:
连OM,ON,由M,N分别为AB,CD的中点,根据垂径定理的推论得到OM⊥AB,ON⊥CD,即∠AMO=∠CNO=90°,又AB=CD,根据在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等,则另外两组量也对应相等得到OM=ON,所以∠OMN=∠ONM,于是∠AMN=∠CNM.
12-例4视频:
(
2009•中山)
(1)如图1,圆内接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G,
求证:
阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的1/3。
(2)如图2,若∠DOE保持120°角度不变,
求证:
当∠DOE绕着O点旋转时,由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图
中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的1/3。
考点:
三角形的外接圆与外心;全等三角形的判定;等边三角形的性质.
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
(1)本题要依靠辅助线的帮助.连接OA,OC,证明Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA后求得S△OAC=
S△ABC,易证SOFCG=
S△ABC.
(2)本题有多种解法.连接OA,OB和OC,证明△AOC≌△COB≌△BOA,求出∠AOC以及∠DOE之间的关系即可.
12-例5如图,半径为2的⊙O中,弦AB与弦CD垂直相交于点P,连结OP,若OP=1,则AB²+CD²的值为。
小其。
3级 2008-07-01
满意答案:
连接OAOD过O做CDAB垂线交于FE。
则根据圆的性质得出CF=FDAE=ED。
因为AB^2=4AE^2=4[AO^2-EO^2]勾股定理
CD^2=4DF^2=4[DO^2-FO^2]
两者相加得到AB^2+CD^2=4[AO^2+DO^2-EO^2-FO^2]
=4[AO^2+DO^2-[EO^2+EP^2]]
=4[AO^2+DO^2-OP^2]
=4*[2^2+2^2-1^2]
=28
12-例6(2012•广陵区二模)P是⊙O内一点,⊙O的半径为15,P点到圆心的距离为9,通过P点、长度是整数的弦的条数是( )
A.5
B.7
C.10
D.12
考点:
点与圆的位置关系;垂径定理的应用.
专题:
计算题;推理填空题.
分析:
在圆中过点P最长的弦是过的P的直径,最短的弦是过点P且垂直于OP的弦,知道最长和最短的弦长后,通过P点,长度是整数的弦的条数就能确定.
解答:
解:
在⊙O中,半径是15,点P到圆心的距离为9,则过点P最长的弦是过点P的直径,长度为30.
过点P最短的弦是垂直于OP的弦,这条弦长为24.
最长的弦有一条,最短的弦有一条,而弦长分别是25,26,27,28,29的弦有两条,
所以过P点,长度是整数的弦一共有1+2×5+1=12条.
故选D.
点评:
本题考查的是点与圆的位置关系,根据P点在圆内,过点P最长和最短的弦长,可以确定弦长是整数的弦的条数.
要把三个边长为1cm的正方形纸片放在一个圆形盘子内,要求这三个正方形纸片不能某部分在盘子边以外,且不能重叠.则盘子的半径至少是?
考点:
正多边形和圆.
专题:
压轴题.
分析:
首先根据题意求得符合要求的盘子的半径,注意当呈现品字形是半径最小,分别求其半径,即可求得答案.
12-1视频
12-2视频:
(2012•衢州)工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为。
考点:
垂径定理的应用;勾股定理.
专题:
探究型.
分析:
先求出钢珠的半径及OD的长,连接OA,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长,进而得出AB的长.
12-3视频:
(2012•深圳)如图,双曲线y=
(k>0)与⊙O在第一象限内交于P、Q两点,分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线.已知点P坐标为(1,3),则图中阴影部分的面积为。
考点:
反比例函数综合题.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
由于⊙O和y=
(k>0)都关于y=x对称,于是易求Q点坐标是(3,1),那么阴影面积等于两个面积相等矩形的面积减去一个边长是1的正方形的面积.
解答:
解:
∵⊙O在第一象限关于y=x对称,
y=
(k>0)也关于y=x对称,
P点坐标是(1,3),
∴Q点的坐标是(3,1),
∴S阴影=1×3+1×3-2×1×1=4.
故答案是4.
点评:
本题考查了反比例函数的性质,解题的关键是知道反比例函数在k>0时关于y=x对称.
12-4视频:
(2005•苏州)如图,直角坐标系中一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为。
考点:
确定圆的条件;坐标与图形性质.
专题:
压轴题;网格型.
分析:
根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
解答:
解:
根据垂径定理的推论:
弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.
如图所示,则圆心是(2,0).
点评:
能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置.
12-5视频:
12-6视频:
12-7视频:
如图,AB为⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆周上滑动时,始终与AB相交.设A,B到MN的距离为h1,h2.则|h1-h2|=。
6
考点:
垂径定理;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
分析:
设AB、NM交于H,做OD⊥MN于D,连接OM,利用垂径定理及勾股定理可求出OD,再推△AFH∽△ODH∽△BEH,然后就可利用OH表示BE、AF,从而可求出答案.
12-8视频:
12-9视频:
(2010•武汉模拟)如图,AE是△ABC外接圆O的直径,AD是△ABC的边BC上的高,EF⊥BC,F为垂足.
(1)求证:
BF=CD;
(2)若CD=1,AD=3,BD=6,求⊙O的直径.
考点:
三角形的外接圆与外心;垂径定理;圆周角定理;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.
专题:
应用题;数形结合.
分析:
(1)过O作OM⊥BC于M,易得AD∥OM∥EF,由于AO=OE,根据平行线分线段成比例定理可得DM=FM;由垂径定理知:
BM=CM,即可证得CD=BF.
(2)首先由勾股定理求得AB、AC的长,连接BE,通过相似三角形△ACD∽△AEB得到的比例线段,即可求得⊙O的直径.
12-10视频:
(2008•陕西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E,连接DE.
(1)求证:
AC=AE;
(2)求AD的长.
考点:
圆周角定理;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(1)由圆O的圆周角∠ACB=90°,根据90°的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径,再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形,又AD是△ABC的角平分线,可得一对角相等,而这对角都为圆O的圆周角,根据同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等可得CD=ED,利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等,根据全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)由三角形ABC为直角三角形,根据AC及CB的长,利用勾股定理求出AB的长,由第一问的结论AE=AC,用AB-AE可求出EB的长,再由
(1)∠AED=90°,得到DE与AB垂直,可得三角形BDE为直角三角形,设DE=CD=x,用CB-CD表示出BD=12-x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为CD的长,在直角三角形ACD中,由AC及CD的长,利用勾股定理即可求出AD的长.
答:
解:
(1)∵∠ACB=90°,且∠ACB为圆O的圆周角(已知),
∴AD为圆O的直径(90°的圆周角所对的弦为圆的直径),
∴∠AED=90°(直径所对的圆周角为直角),
又AD是△ABC的∠BAC的平分线(已知),
∴∠CAD=∠EAD(角平分线定义),
∴CD=DE(在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弦相等),
在Rt△ACD和Rt△AED中,
12-11视频:
已知,是一段圆弧上的两点,且在直线的同侧,分别过这两点作的垂线,垂足为,,是上一动点,连接,,,且度.
如图,如果,,且,求的长;
如图,若点恰为这段圆弧的圆心,则线段,,之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明.再探究:
当,分别在直线两侧且,而其余条件不变时,线段,,之间又有怎样的等量关系?
请直接写出结论,不必证明.
(2009•成都)已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线l的同侧,分别过这两点作l的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连接AD、AE、DE,且∠AED=90度.
(1)如图①,如果AB=6,BC=16,且BE:
CE=1:
3,求AD的长;
(2)如图②,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明.再探究:
当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD,而其余条件不变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?
请直接写出结论,不必证明.
考点:
勾股定理;直角三角形全等的判定;相似三角形的判定与性质.
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
(1)根据两角对应相等证明Rt△ABE∽Rt△ECD,然后根据相似三角形的对应边的比相等求得CD的长,再运用勾股定理就可计算出AD的长;
(2)可以证明Rt△ABE≌Rt△ECD,得到对应线段相等,根据图形就可得到线段之间的和差关系.
解答:
解:
(1)∵AB⊥l于B,DC⊥l于C,
∴∠ABE=∠ECD=90°.
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°,且∠AED=90°,
∴∠CED=90°-∠BEA.
又∵∠BAE=90°-∠BEA,
∴∠BAE=∠CED.
∴Rt△ABE∽Rt△ECD.
12-12看书本P122及其答案。
12-13视频:
1)如图①,多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成,⊙O过点A,D,E三点,则⊙O的半径等于。
(2)如图②,若多边形ABDEC是由一个等腰三角形和一个矩形组成,AB=AC=BD=2,⊙O过A,D,E三点,则⊙O的半径是否改变?
答:
。
考点:
垂径定理;菱形的判定.
专题:
计算题;探究型.
分析:
(1)过A作BC的垂线交DE于F点,由于△ABC为等边三角形,则AF平分BC,得到AF也垂直平分DE,由垂径定理的推论得到过点A,D,E三点的圆的圆心O在AF上;连AD,OD,易得∠1=∠2,∠3=∠4,则∠2=∠3,得AB∥OD,于是有四边形ABDO为菱形,即可得到
AO=AB=2,即⊙O的半径为2.
(2)⊙O的半径不改变.上面的证明方法仍然有效.
解答:
解:
(1)如图,
过A作BC的垂线交DE于F点,由于△ABC为等边三角形,则AF平分BC,
∵四边形BDEC为正方形,
∴AF也垂直平分DE,
∴过点A,D,E三点的圆的圆心O在AF上,
连接AD,OD,则OA=OD,
∴∠1=∠2,
又∵BC=BD=BA,
∴∠3=∠4,
而AF∥BD,
∴∠1=∠4,
∴∠2=∠3,
∴AB∥OD,
∴四边形ABDO为菱形,
∴AO=AB=2,即⊙O的半径为2.
(2)⊙O的半径不改变.
因为AB=AC=BD=2,此题的求法和
(1)一样,⊙O的半径为2.
故答案为2,不改变.
点评:
本题考查了垂径定理逆定理:
弦的垂直平分线必过圆心.也考查了等腰三角形的性质和菱形的判定与性质.
12-14视频:
12-15视频:
如图,AB是圆O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,BF交圆O于G,下面的结论:
1.EC=DF2.AE+BF=AB.3.AE=GF.4.FG×FB=EC×ED其中正确的结论是?
(答案是124,我不知道为什么)
满意回答
回答者:
牛转乾坤2012-11-2914:
31
过点O作OM⊥CD于M,
∵AE⊥EF,OM⊥EF,BF⊥EF,
∴AE∥OM∥BF,
∴OA∶OB=ME∶FF
又∵OA=OB,
∴ME=MF
∵OM过圆心O,OM⊥CD,
∴CM=MD,
∴EM-MD=MF-MC,
即ED=CF,
∴EC=ED+BC=CF+BC=DF
故①正确
∵AE∥OM∥BF ,OA=OB,ME=MF
∴AE+AF=2OM≠AB
故②错误
连接AD,CG,AG
∵AB是直径
∴∠AGB=90°
∴四边形AEFG是矩形
∴AE=GF
又DE=CF
AE⊥EF,BF⊥EF
∴△AED≌△GFC
∴AE=GF
故③正确
连接BD,GC
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴∠ADE+∠BDF=90°
又∠ADE+∠EAD=90°=∠BDF+∠DBF
∴∠ADE=∠DBF
∵△AED≌△GFC
∴ED=CF
∴∠GCF=∠ADE=∠DBF;EC=FD
∴△GCF∽△DBF
∴FG∶FD=CF∶FB
∴FG∶EC=ED∶FB即FG×FB=EC×ED
故④正确
综上正确的结论是①③④
12-16视频:
12-17若一个梯形内接于圆,有如下四个结论:
①它是等腰梯形;②它是直角梯形;③它的对角线互相垂直;④它的对角互补.请写出正确结论的序号.
①,④
(把你认为正确结论的序号都填上).
解析此题主要利用圆内接四边形的性质对角互补和梯形的性质来分析.
①是正确的,∵梯形的一组对边平行,根据垂径定理的推论得另一组对边相等;
②是错误的,∵圆内接四边形的对角互补∴如果是直角梯形那这个四边形就是矩形;
③不一定正确,对角线无条件判断它们是否垂直;
④是正确的.
∴正确的答案是①④.
12-18(2001•天津)若一个梯形内接于圆,有如下四个结论:
①它是等腰梯形;②它是直角梯形;③它的对角线互相垂直;④它的对角互补.请写出正确结论的序号.
①,④
①,④
(把你认为正确结论的序号都填上).
考点:
圆内接四边形的性质.
专题:
压轴题.
分析:
此题主要利用圆内接四边形的性质对角互补和梯形的性质来分析.
解答:
解:
①是正确的,∵梯形的一组对边平行,根据垂径定理的推论得另一组对边相等;
②是错误的,∵圆内接四边形的对角互补∴如果是直角梯形那这个四边形就是矩形;
③不一定正确,对角线无条件判断它们是否垂直;
④是正确的.
∴正确的答案是①④.
点评:
此题主要考查梯形的性质和圆内接四边形的性质.
12-19视频:
小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?
写出结论,不必证明.
考点:
圆心角、弧、弦的关系.
专题:
证明题;探究型.
分析:
(1)连接AD,BD,易证△ADB为等腰三角形,根据等腰三角形三线合一这一性质,可以证得AE=BE.
(2)根据圆内接四边形的性质,先∠CDA=∠CDF,再证△AFD为等腰三角形,进一步证得PB=PF,从而证得结论.
(3)根据∠ADE=∠FDE,从而证明△DAE≌△DFE,得出AE=EF,然后判断出PB=PF,进而求得AE=PE-PB.
解答:
证明:
(1)如图1,连接AD,BD,
∵C是劣弧AB的中点,
∴∠CDA=∠CDB,
∴△ADB为等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴AE=BE;
(2)如图2,延长DB、AP相交于点F,再连接AD,
∵ADBP是圆内接四边形,
∴∠PBF=∠PAD,
∵C是劣弧AB的中点,
∴∠CDA=∠CDF,
∵CD⊥PA,
∴△AFD为等腰三角形,
∴∠F=∠A,AE=EF,
∴∠PBF=∠F,
∴PB=PF,
∴AE=PE+PB
(3)AE=PE-PB.
连接AD,BD,AB,DB、AP相交于点F,
∵弧AC=弧BC,
∴∠ADC=∠BDC,
∵CD⊥AP,
∴∠DEA=∠DEF,∠ADE=∠FDE,
∵DE=DE,
∴△DAE≌△DFE,
∴AD=DF,AE=EF,
∴∠DAF=∠DFA,
∴∠DFA=∠PFB,∠PBD=∠DAP,
∴∠PFB=∠PBF,
∴PF=PB,
∴AE=PE-PB;
点评:
此题主要考查了垂径定理及其推论,垂径定理-在5个条件中,1.平分弦所对的一条弧;2.平分弦所对的另一条弧;3.平分弦;4.垂直于弦;5.经过圆心(或者说直径).只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个.
12-20视频:
(2012•上海)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.
考点:
垂径定理;勾股定理;三角形中位线定理.
专题:
压轴题;探究型.
12-21视频:
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