导数在经济分析中的应用.ppt

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3-7导数在经济分析中的应用

（一）边际分析法边际概念是经济学中的一个重要概念，通常是经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称作边际分析方法。

定义:

经济学中，把函数的导函数称为函数的边际函数，在某点处的导数值称为在该点处的边际值（或变化率、变化速度等）1边际成本：

在经济学中，边际成本定义为产量增加一个单位时所增加的成本设某产品产量为q单位时所需的总成本为由于所以边际成本就是总成本函数关于产量q的导数2边际收入:

在经济学上，边际收入定义为多销售一个单位产品所增加的销售收入设某产品的销售量为q时的收入函数为则收入函数关于销售量q的导数就是该产品的边际收入.3.边际利润:

设某产品的销售量为q时的利润函数为,当可导时，称为销售量为q时的边际利润，它近似等于销售量为q时再多销售一个单位产品所增加（或减少）的利润例1某企业的总成本C关于产量Q的函数为求

（1）该企业的平均成本函数和边际成本函数；

（2）该企业生产5000个单位产品时的平均成本和边际成本.解

（1）平均成本函数边际成本函数

（2）这表示生产5001个单位产品时，成本增加3.75个成本单位.例2设某产品的需求函数，其中q为价格，Q为需求量.求边际收入函数以及当、50和70个单位时的边际收入，并说明所得结果的经济意义.解总收入函数，所以边际收入函数为当个单位时，边际收入分别为，,其经济意义为：

当销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将增加12个收入单位；当销售量为50个单位时，总收入达到最大值.当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个收入单位.

（二）弹性分析法在边际分析中，讨论函数的变化率与函数改变量均属于绝对范围内的讨论，在经济问题中，仅绝对数的分析是不足以深刻分析问题的，例如甲商品价格5元，涨价1元，乙商品价格50元，涨价1元，这两种商品的绝对改变量都是1元，哪个商品涨价幅度更大呢？

我们要用1元与原价相比就能回答问题，甲商品涨价百分比为20%，乙商品涨价百分比为2%，为此，我们有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.定义：

设函数在x处可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比，称为函数从x到两点间的弹性.当时，若的极限存在，则称该极限值为在x处的弹性，记作，即，称它为的弹性函数.一般地，设某商品的市场需求量为Q，价格为P，需求函数可导，则为该商品的需求价格弹性函数，简称为需求弹性函数，记为，由于需求函数为价格的减函数，需求弹性一般为负值，这表明：

当某商品的价格增加（或减少）1%时，其需求量将减小（或增加）%，在经济学中，比较商品需求弹性的大小时指弹性的绝对值.当时，称为富有弹性，价格变动对需求量的影响较大；当时，称为单位弹性，此时价格与需求变动的幅度相同；当时，称为弱有弹性，价格的变动对需求量的影响不大.例3某产品需求函数，求价格为100时的需求弹性并解释其经济含义解:

其经济意义为：

当价格为100时，若价格增加（或减少）1%，需求量减少（或增加）例4某商品需求函数为，求

（1）需求价格弹性函数；

（2）当时，需求价格弹性.解

（1）因，所以

（2）,，即价格变化对需求影响不大.其经济意义为：

在商品价格为3的水平下，价格上升（或下降）1%，需求量减少（或增加）.