初三专题线段和最值对称旋转与圆相关.docx
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初三专题线段和最值对称旋转与圆相关
教师辅导教案
年级:
初三上课时数:
学员姓名:
辅导科目:
数学学科教师:
郭老师
课程主题:
小题突破
授课时间:
学习目标
掌握常见的最值问题的处理方法
重难点
最值问题
小题突破:
最值问题
对称型
如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E是AB的中点,点P是对角线AC上一个动点,连接PE,PB,求PE+PB的最小值.
模型一同侧和的最小值模型
【基本图形】
基本
图形
说明
作A、A′关于直线l对称,PA+PB=PA′+PB≥A′B,当点P在线段A′B上时取最小值
基本
图形
说明
过A作AA′∥MN且AA′=MN,再作A′关于l的对称点A″,连接A″B,则AM+MN+NB=A″N+BN+MN≥A″B+MN,当且仅当点N在A″B上时取等号
【模型突破】
1.如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB=2
.在直线a上取一点M,在直线b上取一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最短,则此时AM+NB=( )
A.6 B.8 C.10 D.12
2.如图,在边长为2的等边△ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为________.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连接AD,CD.
(1)求证:
△ADE≌△CDB;
(2)若BC=
,在AC边上找一点H,使得BH+EH的值最小,并求出这个最小值.
模型二异侧差的最大值模型
【基本图形】
基本
图形
说明
作A、A′关于直线l对称,则|PA-PB|=PA′-PB≤A′B,当点P在直线A′B上时取最大值
【模型突破】
1.如图,等腰Rt△ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90°,点D是AB上一点,且∠BCD=15°,动点P在射线CD上,则|PA-PB|的最大值为________.
2.如图,抛物线y=-
x2+bx+c与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P是抛物线对称轴上一点,连接PB,PC,若|PB-PC|取得最大值,求点P的坐标.
模型三角内一定点模型
【基本图形】
基本
图形
说明
点P′与点P关于OA对称,点P″与点P关于OB对称,连接P′P″与OA,OB分别交于点M,N,此时△PMN的周长最小,最小值为P′P″
【模型突破】
1.如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=
,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN的周长的最小值是( )
A.
B.
C.6D.3
2.如图,已知二次函数y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.OC上点P的坐标为(0,1),动点S,K分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PS,PK,SK,求△PSK的周长的最小值.
隐含的圆
【母题示例】
如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E是CD上一动点,沿AE折叠矩形,使得点D落在矩形ABCD内的点D′处,连接CD′,则CD′的最小值为________.
模型一直角模型
【基本图形】
基本
图形
说明
BM⊥BN,点C是∠MBN内一点,且AC⊥BC,则点C在以AB为直径的圆上
【核心突破】
1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别从点D和点C出发,沿射线DA、射线CD运动,且DE=CF,直线AF、直线BE交于点H,连接DH,则线段DH长度的最小值为( )
A.3
-3 B.2
-3 C.3
-3 D.3
2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(3,0),点P是平面内一点,且AP⊥BP,点M的坐标为(3,4),连接MP,则MP的最小值为________.
模型二定角模型
【基本图形】
基本
图形
说明
点P是正方形ABCD内一点,且∠APB=60°,则以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABM,点P在△ABM的外接圆在正方形内的部分弧上
基本
图形
说明
点P是平面内一点,且∠APB=45°,则以AB为斜边作等腰Rt△AOB,点P在以O为圆心,OA为半径的圆的优弧上
【模型突破】
1.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=2
,点P是矩形ABCD内(含边界)上一点,且∠APB=60°,连接CP,则CP的最小值为________.
2.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A,D均在x轴上,点B在第三象限,且OA=2,OD=1,AB=4,点E是AB的中点,连接OE,动点P是平面内一点,且∠OPE=45°,连接CP,求CP的最小值.
模型三折叠、旋转模型
【基本图形】
基本
图形
说明
沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE,得到△AD′E,则点D′在以A为圆心,AD为半径的圆弧上
基本
图形
说明
△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转,则点F的轨迹为以A为圆心,AF为半径的圆
【模型突破】
1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE,使点B落在点F处,连接AF,则线段AF的长取最小值时,BF的长为________.
2.如图,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形(∠ACB=∠DCE=90°).保持△ABC固定不动,将△CDE绕点C顺时针旋转一周,连接AD、AE、BD,直线AE与BD相交于点H.点P、M、N分别是AD、AB、DE的中点.若AC=4,CD=2,则在旋转过程中,△PMN的面积的最大值为________.
课堂练习
1.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,连接PD,PG,则PD+PG的最小值为 .
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2
,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转,得到矩形A1B1CD1,点E是A1B1的中点,过B作BF⊥B1C于点F,连接DE,DF,则线段DE长度的最大值是 ,线段DF长度的最小值是 .
3.已知:
如图,△ABC中,∠A=45°,AB=6,AC=
,点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点,则△DEF周长的最小值是 .
4.如图,在△ABC中,已知AB=AC=4,BC=6,P是BC边上的一动点(P不与点B、C重合),连接AP,∠B=∠APE,边PE与AC交于点D,当△APD为等腰三角形时,则PB之长为 .
5.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以CB为半径作⊙C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接BD,BE.
(1)求证:
△ABD∽△AEB;
(2)当
=
时,求tanE;
(3)在
(2)的条件下,作∠BAC的平分线,与BE交于点F,若AF=2,求⊙C的半径.
6.在矩形ABCD中,G为AD上一点,连接BG,CG,过作CE⊥BG于点E,连接ED交GC于点F.
(1)如图1,若点G为AD的中点,则线段BG与CG有何数量关系?
请说理由.
(2)如图2,若点E恰好为BG的中点,且AB=3,AG=k(0<k<3)求
的值(用含k的代数式表示);
(3)在
(2)有条件下,若M、N分别为GC、EC上的任意两点,连接NF、NM,当k=
时,求NF+NM的最小值.
7.抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),与y轴交于点C.
(1)求抛物线表达式;
(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC下方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,①求点P坐标;②过此二点的直线交y轴于F,此直线上一动点G,当GB+
GF最小时,求点G坐标.
(3)如图2,⊙O1过点A、B,C三点,AE为直径,点M为圆上的一动点(不与点A,E重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.
8.Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,BC=84,D,E分别在射线BC,AC上,AD与BE交于F.
(1)从顶点A所作三角形中线长为 ;
(2)若D恰为BC边中点,E在边AC上且AE:
EC=6:
1,求∠AFE;
(3)点M在AC边上,AM=56
,AD与BE所成锐角为60°,当BF与MF的差的绝对值最小时求CE.
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