高中数学 131 等比数列同步精练 北师大版必修51.docx
- 文档编号:26695420
- 上传时间:2023-06-21
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:20.68KB
高中数学 131 等比数列同步精练 北师大版必修51.docx
《高中数学 131 等比数列同步精练 北师大版必修51.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 131 等比数列同步精练 北师大版必修51.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学131等比数列同步精练北师大版必修51
高中数学1.3.1等比数列同步精练北师大版必修5
基础巩固
1下列说法中正确的是( )
A.一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列就叫等比数列
B.一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫等比数列
C.一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列就叫等比数列
D.一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫等比数列
2公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18B.24C.60D.90
3设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q=__________.
4已知数列{an}满足:
lgan=3n+5,求证:
{an}是等比数列.
5在等比数列{an}中,
(1)已知a3=9,a6=243,求a5;
(2)已知a1=,an=,q=,求n.
6某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际上二月份比原计划多生产10台,三月份比原计划多生产25台,这样三个月产量成等比数列.而第3个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台,问该厂第一季度实际生产微机多少台?
综合过关
7已知等差数列{an}的公差d≠0,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是( )
A.4B.3C.2D.
8设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn等于( )
A.+B.+
C.+D.n2+n
9首项为3的等比数列{an},它的第n项为48,第2n-3项为192,问从第几项起各项的绝对值都超过100?
10设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N+)有两根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)求证:
{an-}是等比数列;
(3)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
能力提升
11等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)设bn=(n∈N+),求证:
数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
12已知数集A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:
对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj与两数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由;
(2)证明:
a1=1,且=an;
(3)证明:
当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
参考答案
1解析:
很明显仅有D符合等比数列的定义.
答案:
D
2解析:
由a=a3a7,则
解得
d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.
答案:
C
3解析:
{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,但仅有四项-24,36,-54,81成等比数列,公比为q=-,6q=-9.
答案:
-9
4分析:
利用等比数列的定义证明=q(常数).
证明:
由lgan=3n+5,得an=103n+5,
∴==1000=常数.
∴{an}是等比数列.
5分析:
由已知条件列出关于a1,q的方程(或方程组),或有关量的方程(或方程组).
解:
(1)∵a6=a3q3,∴q3=27.∴q=3.∴a5=a6·=81.
(2)∵an=a1qn-1,∴=·()n-1.
∴()n-1=()3.∴n=4.
6分析:
可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求.
解:
根据已知,可设该厂第一季度原计划3个月生产微机台数分别为x-d,x,x+d(d>0),
则实际上这3个月生产微机台数分别为x-d,x+10,x+d+25,
由题意得
解得x=90,d=10.
则该厂第一季度实际生产微机
(x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台).
7解析:
设公差为d,则a=a1a17,
即(a1+4d)2=a1(a1+16d),整理,得a1=2d.
所以===3.
答案:
B
8解析:
a=a1a6,设数列{an}的公差为d,则(2+2d)2=2(2+5d),解得d=或d=0(舍去),所以数列{an}的前n项和Sn=2n+×=+.
答案:
A
9解:
设公比为q,则
即
①2÷②得q2=4,
∴或
∴由|an|=3×2n-1>100,得n≥7,
即从第7项起各项的绝对值都超过100.
10分析:
(1)根据一元二次方程根与系数的关系列出关于an和an+1的等量关系;
(2)转化为证明=常数;(3)先求出{an-}的通项公式,再求出{an}的通项公式.
(1)解:
由题意,得
又6α-2αβ+6β=3,∴6(α+β)-2αβ=3.
∴-=3.∴an+1=an+.
(2)证明:
∵an+1=an+,
∴an+1-=(an-),即=.
∴{an-}是等比数列.
(3)解:
当a1=时,a1-=,则{an-}是以为首项,以为公比的等比数列.
∴an-=()n.∴an=+()n.
11分析:
(1)求出公差即可写出数列{an}的通项an与前n项和Sn;
(2)利用反证法证明.
(1)解:
由已知,得解得d=2,
则an=+1+(n-1)2=2n-1+,
Sn=n(+1)+2=n(n+).
(2)证明:
由
(1)得bn==n+.
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则b=bpbr,
即(q+)2=(p+)(r+).
∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
∵p,q,r∈N+,∴
∴()2-pr=0.∴(p-r)2=0.
∴p=r,与p≠r矛盾.∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.
12分析:
(1)aiaj与两数中至少有一个属于A是指:
数集A中的任意两个数的积与和中至少有一个属于A,且数集A中的任意数的平方与自身的商中至少有一个属于A,则对数集{1,3,4}与{1,2,3,6}中的元素验证即可;
(2)转化为证明anan∉A,则说明1=∈A,利用已知证得=an-k+1,从而获得等式;(3)利用
(2)验证从第二项起,每一项与前一项的比都等于a2.
(1)解:
由于3×4与均不属于数集{1,3,4},
∴数集{1,3,4}不具有性质P.
由于1×2,1×3,1×6,2×3,,,,,,都属于数集{1,2,3,6},
∴数集{1,2,3,6}具有性质P.
(2)证明:
∵A={a1,a2,…,an}具有性质P,
∴anan与中至少有一个属于A.
由于1≤a1<a2<…<an,
∴anan-an=an(an-1)>0.
∴anan>an,
故anan∉A.
从而1=∈A,∴a1=1.
∵1=a1<a2<…<an,
∴akan>an,
故akan∉A(k=2,3,…,n).
由A具有性质P可知∈A(k=1,2,3,…,n).
∴<<…<<.
又1=a1<a2<…<an(n≥2),
∴=1=a1,=a2,…,=an-1,=an.
∴++…++
=a1+a2+…+an-1+an.
∴(a+a+…+a+a)an
=a1+a2+…+an-1+an.
∴=an.
(3)证明:
由
(2)知,当n=5时,有=a2,=a3,即a5=a2a4=a.
∵1=a1<a2<…<a5,
∴a3a4>a2a4=a5.∴a3a4∉A.
由A具有性质P可知∈A.
由a2a4=a,得=∈A,且1<=a2,
∴==a2.
∴====a2,
即a1,a2,a3,a4,a5是首项为1,公比为a2的等比数列.
第二课时
基础巩固
1在等比数列{an}中,a4=2,a5=1,则公比q等于( )
A. B.1 C.2 D.4
2等比数列{an}的各项都为正数,且a5a6+a4a7=18,log3a1+log3a2+…+log3a10等于( )
A.12B.10
C.8D.2+log35
3各项均为实数的等比数列{an}中,a2=1,a4=9,则a3=________.
4等比数列{an}中,a2009a2010a2011=8,则a2010=______.
5在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______.
6等比数列{an}中,a1=1,a9=6561,求a5的值.
7设{an}是各项均为正数的等比数列,bn=log2an,若b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3,求此等比数列的通项公式an.
综合过关
8
(1)在各项均为正的等比数列{an}中,a3·a9=4,a6·a10+a3·a5=41,求a4+a8的值;
(2)在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,求a7.
9三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
能力提升
10设数列{an}的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t>0,n=2,3,4,…).
(1)求证:
数列{an}是等比数列;
(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使b1=1,bn=f(),n=2,3,4,…,求bn.
参考答案
1解析:
q==.
答案:
A
2解析:
a5a6+a4a7=2a5a6=18,所以a5a6=9.
所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)…(a5a6)]=log395=10.
答案:
B
3解析:
a=a2a4=9,则a3=±3.
答案:
±3
4解析:
a2009a2010a2011=a=8,
∴a2010=2.
答案:
2
5解析:
先求公比q,把三个数用a1,q表示或利用性质求解.
方法一:
设这个等比数列为{an},
其公比为q,a1=,a5==a1q4=·q4.
∴q4=,q2=.
∴a2·a3·a4=a1q·a1q2·a1q3=a·q6=()3·()3=63=216.
方法二:
设这个等比数列为{an},公比为q,
则a1=,a5=,加入的三项分别为a2,a3,a4,
由题意a1,a3,a5也成等比数列,
∴a=×=36.
故a3=6.
∴a2·a3·a4=a·a3=a=216.
答案:
216
6分析:
可以先解出公比q,再求a5,或利用等比中项求解.
解法一:
∵a9=a1q8=6561,
∴q=±3.
∴a5=a1q4=1×(±3)4=81.
解法二:
∵a5是a1与a9的等比中项,
∴a=a1a9=6561.∴a5=±81.
而a5=-81不合题意,应舍去,∴a5=81.
7分析:
需由已知条件求出公比q和某一项,再求通项公式.
解:
由b1+b2+b3=3得log2(a1·a2·a3)=3.
∴a1·a2·a3=23=8.
∵a=a1·a3,
∴a2=2.
又∵b1·b2·b3=-3,
设等比数列{an}的公比为q,
得log2()·log22·log2(2·q)=-3,
解得q=4或.
∴所求等比数列{an}的通项公式为:
an=a2·qn-2=22n-3或25-2n.
8分析:
(1)此题应考虑使用等比数列的性质求解,即若m、n、p、q∈N+,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
(2)应用a=a5·a9求解,但应注意a7的符号.
解:
(1)∵{an}为等比数列,且3+9=4+8,6+10=2×8,3+5=2×4,
∴a3·a9=a4·a8=4,a6·a10=a,a3·a5=a.
∴a6·a10+a3·a5=a+a=41,a4·a8=4.
∴(a4+a8)2=41+2×4=49,且an>0.
∴a4+a8=7.
(2)∵a5,a9是方程7x2-18x+7=0的两个根,
∴∴a5,a9>0.
又∵a=a5·a9=1,且a7=a5·q2>0,
∴a7=1.
9分析:
由题意可设三个数为a-d,a,a+d,再结合等比中项知识讨论上述三个数哪一个可能为排列之后等比数列的中间项.
解:
由题意,这三个数成等差数列,可设分别为a-d,a,a+d.
∴a-d+a+a+d=6.
∴a=2,这三个数分别为2-d,2,2+d.
若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).
解之得,d=6或d=0(舍去),此时三数为-4,2,8.
若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解之得,d=-6或d=0(舍去),此时三个数为8,2,-4.
若2为等比中项,则22=(2+d)(2-d),
解得d=0(舍去).
综上可知,这三个数是-4,2,8.
10解:
(1)由S1=a1=1,S2=1+a2,
得3t(1+a2)-(2t+3)=3t,
得a2=,∴=.
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t,①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t,②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0,
∴=,n=2,3,4,….
所以{an}是一个首项为1,公比为的等比数列.
(2)由f(t)==+得
bn=f()=+bn-1,
可见{bn}是一个首项为1,公差为的等差数列,
于是bn=1+(n-1)=.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 131 等比数列同步精练 北师大版必修51 等比数列 同步 精练 北师大 必修 51