人教版必修二高中数学第二章 点直线平面之间的位置关系 单元质量评估二及答案.docx
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人教版必修二高中数学第二章点直线平面之间的位置关系单元质量评估二及答案
单元质量评估
(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与平面α的位置关系是 ( )
A.b⊂平面α
B.b⊥平面α
C.b∥平面α
D.b与平面α相交,或b∥平面α
【解析】选D.直线a显然不可能在平面α内,平行与相交都有可能,故选D.
2.下列叙述中,正确的是 ( )
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形必是平面图形
【解析】选D.A中四边形可以是空间四边形;B中两个相交平面的交线上有无数个公共点;C中若三条直线有一个公共点,可得三条直线不一定在一个平面内,故A,B,C不正确,D正确.
3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则 ( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.
【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,
所以n⊥l.
4.(2016·银川高一检测)空间四边形ABCD中,若AB=AD=AC=CB=CD=BD,则AC与BD所成角为 ( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
【解析】选D.取AC中点E,连接BE,DE,因为AB=AD=AC=CB=CD=BD,所以AC垂直于BE,也垂直于DE,所以AC垂直于平面BDE,因此AC垂直于BD.
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论不正确的是 ( )
A.C1D1⊥B1CB.BD1⊥AC
C.BD1∥B1CD.∠ACB1=60°
【解析】选C.因为C1D1⊥平面B1C,B1C⊂平面B1C,
所以C1D1⊥B1C,
所以A选项正确;
由于AC⊥平面BDD1,
所以BD1⊥AC,B选项正确;
因为三角形AB1C为等边三角形,
所以∠ACB1=60°,即D选项正确.
由于BD1与B1C是异面直线,所以C错.
6.(2016·鞍山高一检测)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是 ( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β
B.若l∥α,α∥β,则l⊂β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β
D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
【解析】选C.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β或l∥β,故A不正确;若l∥α,
α∥β,则l⊂β或l∥β,故B不正确;若l⊥α,α∥β,则l⊥β,故C正确;若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l⊂β或l∥β,故D不正确.
7.(2016·衡水高二检测)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC=AC,AC1⊥A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点,给出下列结论:
①C1M⊥平面A1ABB1,②A1B⊥NB1,③平面AMC1⊥平面CBA1,其中正确结论的个数为 ( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选D.①因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所以平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,因为BC=AC,所以B1C1=A1C1,又因为M为A1B1的中点,所以C1M⊥A1B1,因为平面A1B1C1∩平面ABB1A1=A1B1,所以C1M⊥平面ABB1A1,故①正确;②由①知,C1M⊥A1B,又因为AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,所以A1B⊥平面AMC1,所以A1B⊥AM,因为M,N分别是A1B1,AB的中点,所以ANB1M是平行四边形,所以AM∥NB1,因为A1B⊥AM,所以A1B⊥NB1,故②正确;③由②知A1B⊥平面AMC1,又因为A1B⊂平面CBA1,所以平面AMC1⊥平面CBA1,故③正确,综上所述,正确结论的个数为3.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
【解析】选D.A.由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,此命题正确,不符合题意;
B.EF∥平面ABCD,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,
故有EF∥平面ABCD,此命题正确,不符合题意;
C.三棱锥A-BEF的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到面DD1B1B的距离是定值,故可得三棱锥A-BEF的体积为定值,此命题正确,不符合题意;
D.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确,故D是错误的.
9.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是 ( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】选D.由于BD∥B1D1,易知BD∥平面CB1D1;连接AC,易证BD⊥面ACC1,所以AC1⊥BD;同理可证AC1⊥B1C,因为BD∥B1D1,所以AC1⊥B1D1,所以AC1⊥平面CB1D1;对于选项D,因为BC∥AD,所以∠B1CB即为AD与CB1所成的角,此角为45°,故D错.
10.在四面体ABCD中,已知棱AC的长为
,其余各棱长都为1,则二面角A-CD-B的余弦值为 ( )
A.B.C.
D.
【解析】选C.因为AC=
,其余各棱长均为1,故AB⊥BC,AD⊥DC,取CD,AC的中点分别为E,F,连接EF,BF,BE,则EF∥AD,所以EF⊥CD.且EF=AD=,BF=AC=
,BE⊥CD,且BE=
,所以∠FEB为二面角A-CD-B的平面角,在△BEF中,BE2=BF2+EF2,所以△BEF为直角三角形,所以cos∠FEB=
=
=
.
11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.如图所示:
因为α∥平面CB1D1,所以若设平面CB1D1∩平面ABCD=m1,则m1∥m.
又因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
结合平面B1D1C∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥m1,故B1D1∥m.同理可得:
CD1∥n.
故m,n所成角的大小与B1D1,CD1所成角的大小相等,即∠CD1B1的大小.而B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即sin∠CD1B1=
.
12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图,M,N分别为A1B,B1C1的中点.
下列结论中正确的个数有 ( )
①直线MN与A1C相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面ACC1A1.
④三棱锥N-A1BC的体积为
=a3.
A.4个B.3个C.2个D.1个
【解析】选B.由三视图可知,
该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边BC中点E,连ME,NE,则ME∥A1C,NE∥C1C,故平面MNE∥平面ACC1A1,故MN∥平面ACC1A1,所以直线MN与A1C相交错误,故③正确,①错误.因为三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面,故BC⊥平面MNE,所以MN⊥BC,②正确.
=
=×a××a×a=a3,故④正确.所以②③④正确.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点.给出以下四个结论:
①直线AM与直线C1C相交;
②直线AM与直线DD1异面;
③直线AM与直线BN平行;
④直线BN与直线MB1异面.
其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).
【解析】由异面直线判定定理知:
①直线AM与直线CC1异面;②直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面,因为直线BN与直线AE平行(E为DD1的中点),所以③直线AM与直线BN异面.
答案:
②④
14.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的E点有两个时,a的取值范围是________.
【解析】由题意知:
PA⊥DE,
又PE⊥DE,PA∩PE=P,
所以DE⊥面PAE,
所以DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设BE=x,
则
=
,
即
=.
所以x2-ax+9=0,由Δ>0,
解得a>6.
答案:
a>6
15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,点M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的即可).
【解题指南】可以证明BD⊥PC,因此只需确定M的位置,使BM⊥PC即可.
(DM⊥PC也可).
【解析】因为四边形ABCD的边长相等,所以四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.
若PC⊥平面BMD,即PC垂直于平面BMD中两条相交直线,所以当BM⊥PC时,PC⊥平面BMD,所以平面PCD⊥平面BMD.
答案:
BM⊥PC(其他合理即可)
16.(2016·成都高二检测)如图,正方形BCDE的边长为a,已知AB=
BC,将△ABE沿BE边折起,折起后A点在平面BCDE上的射影为D点,则翻折后的几何体中有如下描述:
①AB与DE所成角的正切值是
;②AB∥CE;③VB-ACE的体积是a2;
④平面ABC⊥平面ADC;⑤直线EA与平面ADB所成角为30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)
【解析】由题意,AB=
BC,AE=
a,AD⊥平面BCDE,AD=a,AC=
a,①由于BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)为AB与DE所成角.因为AB=
a,BC=a,AC=
a,所以BC⊥AC,所以tan∠ABC=
,故①正确;②由图象可知AB与CE是异面直线,故②错误.③VB-ACE的体积是S△BCE×AD=×a3=a3,故③错误;④因为AD⊥平面BCDE,BC⊂平面BCDE,所以AD⊥BC,因为BC⊥CD,AD∩CD=D,
所以BC⊥平面ADC,因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC,故④正确;
⑤连接CE交BD于F,则EF⊥BD,因为平面ABD⊥平面BDE,所以EF⊥平面ABD,连接AF,则∠AFE为直线AE与平面ABD所成角,在△AFE中,EF=
a,AE=
a,所以sin∠EAF=
=,则∠EAF=30°,故⑤正确.
答案:
①④⑤
三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别为D1C1,C1B1的中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,E,F四点共面.
(2)若A1C交平面BDEF于点R,则P,Q,R三点共线.
【证明】
(1)连接B1D1.因为E,F分别为D1C1,C1B1的中点,所以EF∥B1D1,又因为B1D1∥BD,
所以EF∥BD,所以EF与BD共面,
所以E,F,B,D四点共面.
(2)因为AC∩BD=P,所以P∈平面AA1C1C∩平面BDEF.
同理,Q∈平面AA1C1C∩平面BDEF,
因为A1C∩平面DBFE=R,
所以R∈平面AA1C1C∩平面BDEF,
所以P,Q,R三点共线.
18.(12分)(2016·菏泽高一检测)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:
OE∥平面BCC1B1.
(2)若AC1⊥A1B,求证:
AC1⊥BC.
【解析】
(1)连接BC1,因为侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,所以O为AC1的中点,又因为E是AB的中点,所以OE∥BC1,因为OE⊄平面BCC1B1,
BC1⊂平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,
A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,
所以AC1⊥BC.
19.(12分)如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求证:
EC⊥CD.
(2)求证:
AG∥平面BDE.
【证明】
(1)由平面ABCD⊥平面BCEG,
平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,
所以EC⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,故EC⊥CD.
(2)在平面BCEG中,过G作GN⊥CE交BE于M,连接DM,则由已知知,MG=MN,MN∥BC∥DA,且MN=AD=BC,
所以MG∥AD,MG=AD,
故四边形ADMG为平行四边形,
所以AG∥DM,因为DM⊂平面BDE,AG⊄平面BDE,所以AG∥平面BDE.
20.(12分)(2016·泰安高一检测)如图,PA⊥平面ABC,AE⊥PB,AB⊥BC,AF⊥PC,PA=AB=BC.
(1)求证:
平面AEF⊥平面PBC.
(2)求二面角P-BC-A的大小.
【解题指南】
(1)要证平面AEF⊥平面PBC,可通过证明AE⊥平面PBC得出,而要证AE⊥平面PBC,已有AE⊥PB,则证出BC⊥AE即可,后者利用BC⊥平面PAB可以证出.
(2)由
(1)知,BC⊥平面PAB,∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角,易知为45°.
【解析】
(1)因为PA⊥平面ABC,又BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,
又AB⊥BC,AB与PA相交于点A,
所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE,又AE⊥PB,而PB与BC相交于点B,所以AE⊥平面PBC,又AE⊂平面AEF,故平面AEF⊥平面PBC.
(2)由
(1)知,BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以PB⊥BC,又AB⊥BC,
所以∠PBA就是二面角P-BC-A的平面角,
在Rt△PAB中,因为PA=AB,所以∠PBA=45°,
即二面角P-BC-A的大小为45°.
21.(12分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:
DC⊥平面PAC.
(2)求证:
平面PAB⊥平面PAC.
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?
说明理由.
【解析】
(1)因为PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC,所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC,DC⊥平面PAC,所以AB⊥平面PAC.
又因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)取PB中点F.连接CE,EF,CF.
因为E为AB中点,所以PA∥EF.
又因为PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,所以PA∥平面CEF.
因此,当F为PB中点时,PA∥平面CEF.
22.(12分)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,∠BAC=
∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.
(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP∥平面EAB?
请证明你的结论.
(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值.
【解析】
(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.
证明如下:
取AB的中点F,连接DP,PF,EF,
则FP∥AC,FP=AC,
取AC的中点M,连接EM,EC,
因为AE=AC且∠EAC=60°,
所以△EAC是正三角形,所以EM⊥AC.
所以四边形EMCD为矩形,
所以ED=MC=AC.
又因为ED∥AC,
所以ED∥FP且ED=FP,
所以四边形EFPD是平行四边形,所以DP∥EF,
而EF⊂平面EAB,DP⊄平面EAB,
所以DP∥平面EAB.
(2)过C作CG∥AB,过B作BG∥AC,CG∩BG=G,连接GD.
因为ED∥AC,所以ED∥BG,
所以B,E,D,G四点共面,
所以平面EBD与平面ABC相交于BG,
因为CD⊥AC,平面ACDE⊥平面ABGC,
所以CD⊥平面ABGC,
又因为BG⊂平面ABGC,
所以BG⊥CD,
又BG⊥GC,CD∩GC=C,
所以BG⊥平面CDG,
所以BG⊥DG,
所以∠DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ,设AB=AC=AE=a,
则GC=AB=a,DC=EM=
a,
所以GD=
=
a,
所以cosθ=cos∠DGC=
=
..Com]
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