二次根式教学设计.docx

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二次根式教学设计

第二十一章 二次根式教学设计

   教材内容

   1．本单元教学的主要内容：

   二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

   2．本单元在教材中的地位和作用：

   二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

   教学目标

   1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．

   （3）掌握•＝（a≥0，b≥0），=•；

 =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．

   （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

   2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．

   （3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

   （4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

   3．情感、态度与价值观

   通过本单元的学习培养学生：

利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

   教学重点

   1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）及其运用．

   2．二次根式乘除法的规定及其运用．

   3．最简二次根式的概念．

   4．二次根式的加减运算．

   教学难点

   1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．

   2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

   3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

   教学关键

   1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

   2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．

   单元课时划分

   本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

   21．1 二次根式           3课时

   21．2 二次根式的乘法     3课时

   21．3 二次根式的加减     3课时

   教学活动、习题课、小结    2课时

21．1 二次根式

第一课时

   教学内容

   二次根式的概念及其运用

   教学目标

   理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

   提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

   教学重难点关键

   1．重点：

形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

   2．难点与关键：

利用“（a≥0）”解决具体问题．

   教学过程

   一、复习引入

   （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

   问题1：

已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：

如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

   问题3：

甲射击6次，各次击中的环数如下：

8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

   老师点评：

问题1：

横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x=，所以所求点的坐标（，）．

   问题2：

由勾股定理得AB=

   问题3：

由方差的概念得S= .

   二、探索新知

   很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

   （学生活动）议一议：

   1．-1有算术平方根吗？

   2．0的算术平方根是多少？

   3．当a<0，有意义吗？

   老师点评:

（略）

   例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

   分析：

二次根式应满足两个条件：

第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．

   解：

二次根式有：

、（x>0）、、-、（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：

、、、．

   例2．当x是多少时，在实数范围内有意义？

   分析：

由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．

   解：

由3x-1≥0，得：

x≥

   当x≥时，在实数范围内有意义．

   三、巩固练习

   教材P练习1、2、3．

   四、应用拓展

   例3．当x是多少时，+在实数范围内有意义？

   分析：

要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

   解：

依题意，得

   由①得：

x≥-

   由②得：

x≠-1

   当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．

   例4

（1）已知y=++5，求的值．（答案:

2）

（2）若+=0，求a2004+b2004的值．（答案:

）

   五、归纳小结（学生活动，老师点评）

   本节课要掌握：

   1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

   2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

   六、布置作业

   1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第一课时作业设计

   一、选择题    1．下列式子中，是二次根式的是（ ）

     A．-     B．     C．     D．x

   2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）

     A．     B．     C．     D．

   3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

     A．5    B．     C．      D．以上皆不对

   二、填空题

   1．形如________的式子叫做二次根式．

   2．面积为a的正方形的边长为________．

   3．负数________平方根．

   三、综合提高题

   1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

   2．当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

   3．若+有意义，则=_______．

   4.使式子有意义的未知数x有（ ）个．

     A．0    B．1    C．2    D．无数

5.已知a、b为实数，且+2=b+4，求a、b的值．

   第一课时作业设计答案:

   一、1．A 2．D 3．B

   二、1．（a≥0） 2．  3．没有

   三、1．设底面边长为x，则0.2x2=1，解答：

x=．

   2．依题意得：

，

∴当x>-且x≠0时，＋x2在实数范围内没有意义．

3.

   4．B

   5．a=5，b=-4

21.1 二次根式

（2）

第二课时

   教学内容

   1．（a≥0）是一个非负数；

   2．（）2=a（a≥0）．

   教学目标

   理解（a≥0）是一个非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

   通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

   教学重难点关键新|课|标|第|一|网

   1．重点：

（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

   2．难点、关键：

用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

   教学过程

   一、复习引入

   （学生活动）口答

   1．什么叫二次根式？

   2．当a≥0时，叫什么？

当a<0时，有意义吗？

   老师点评（略）．

   二、探究新知

   议一议：

（学生分组讨论，提问解答）

    （a≥0）是一个什么数呢？

   老师点评：

根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

    （a≥0）是一个非负数．

   做一做：

根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

   老师点评：

是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

   同理可得：

（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以

（）2=a（a≥0）

   例1 计算

   1．（）2   2．（3）2   3．（）2    4．（）2

   分析：

我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：

（）2=，（3）2=32•（）2=32•5=45，

（）2=，（）2=．

   三、巩固练习

   计算下列各式的值：

X|k|b|1.c|o|m

（）2   （）2   （）2   （）2    （4）2

   四、应用拓展

   例2 计算

1．（）2（x≥0）  2．（）2  3．（）2 

 4．（）2

分析：

（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

   解：

（1）因为x≥0，所以x+1>0

   （）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

   （3）∵a2+2a+1=（a+1）2

     又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1

   （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2

      又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3   

（2）x4-4       （3）2x2-3

分析：

（略）

   五、归纳小结

   本节课应掌握：

   1．（a≥0）是一个非负数；

   2．（）2=a（a≥0）;反之:

a=（）2（a≥0）．

   六、布置作业

   1．教材P8 复习巩固2．

（1）、

（2） P9 7．

2．选用课时作业设计．

3.课后作业:

《同步训练》

   第二课时作业设计

   一、选择题

   1．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（ ）．

     A．4    B．3    C．2    D．1

   2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．

     A．a>0   B．a≥0    C．a<0    D．a=0

   二、填空题

   1．（-）2=________．

   2．已知有意义，那么是一个_______数．

   三、综合提高题

   1．计算

（1）（）2   

（2）-（）2   （3）（ ）2    （4）（-3）2

 （5）       

   2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（1）5    

（2）3.4   （3）     （4）x（x≥0）

3．已知+=0，求xy的值．

   4．在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-2   

（2）x4-9    3x2-5