自动控制原理期末考试题4.docx
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自动控制原理期末考试题4
第四章根轨迹法习题及解答
4-1、已知开环零、极点分布如图4-25所示。
试概略绘制相应的闭环根轨迹图。
I[Jf[s]I[s]
X
(a)(b)(c)
解:
根轨迹如图解
[s]
[s]
[s]
a-—
■x—;
a
所示。
(e)
极点分布图
图解4-1
圏4-25开环零、
—□aXX'
—1>-<—st
试作
K从0—;心的闭环根轨迹,并证明福解sk平面内的根轨迹是圆,求出圆的半径和圆心。
K*(s+3)
s(s1)
G(S)二
解:
D(s)二s(s1)K(s3)=s2(K1)s3K-0
-(K+1)±j』12K-(K+1)2
1,2厂
X—K1二K*=T_2X
2
212K_(K1)212(—1—2X)一(一1—2X1)2Y
4
2
=-(X3)6
22
(X3)Y=6
根轨迹圆心(-3,0),半径'-6的圆,如图解4-2所示。
。
4-3、设单位反馈控制系统开环传递函数如下,试概略绘出系统根轨迹图(要求确定分离点坐标d)。
G(s)
解⑴
①实轴上的根轨迹:
10K
s(0.2s1)(0.5s1)s(s5)(s2)
系统有三个开环极点:
山=°,p2=-2,P3=—5
7
3
Tt
士一兀
J
32
④与虚轴的交点:
特征方程为D(s)=s7s10s10^0
令
;Re[D(jco)]=—7豹2+10k=0广Im[D(jo))]=—縛3+1^=0
解得彳。
蛍=<10\、
"7\
与虚'
轴的图4-訟)根戟迹E
交占
八、、
:
■]
(0,士山6)。
根轨迹如图解4-3(a)所示。
⑵根轨迹绘制如下:
1
实轴上的根轨迹:
〔-5,-3】,〔-2,0】
用试探法可得d=-0.886。
根轨迹如图解4-3(b)所示。
4-4、已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试概略绘出系统的根轨迹图(要求算出出射角)。
G(s)二
K*(s+2)
(s1j2)(s1-j2)
G(s)二
G(s)=
K*(s+20)
s(s10j10)(s10-j10)
K*(s+2)
(s1j2)(s1-j2)
根轨迹绘制如下:
1实轴上的根轨迹:
-:
:
,-2丨
111
2分离点:
d1j2d1-j22
解之得:
d=「4.23
③起始角:
f=18063.435-90丄153.43
由对称性得另一起始角为-153.43'。
根轨迹如图解4-4(a)所示。
G(s)二
K(s+20)
s(s10j10)(s10-j10)
系统有三个开环极点和一个开环零点。
根轨迹绘制如下:
1实轴上的根轨迹:
'■20,01
2起始角:
v-18045-90-135~0
根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-5、已知系统如图4-26所示。
作根轨迹图,要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点。
并确定使系统稳定的K值的范围。
解
R(s)
1
S(E+2)
C(s)
G(s)=
1
Ks(s
=
s1.2s(s22s2)
s(s2)
②渐近线:
③出射角:
图解军4-5
G(s^K^^°)
(3)s(s5)
n=2有2条根轨迹,且1条趋向无穷远处。
"-45°
"45°
4与虚轴交点:
D(s)二s32s22sK=0
D(j•)—j3一22j2•K=0
Re[D(jJ]=『2,2K=0
'■3
则有lm[D(jJ]=-2=0
「:
二..2
解得:
K=4
•••使系统稳定的K值范围为0:
:
:
K:
:
:
4
4-6、已知单位反馈系统的开环传递函数如下,试画出概略根轨迹图。
*
K
G(s):
(1)
图解4-6
(2)
s(s+5)
4-7、设系统开环传递函数
试作出b从0厂:
变化时的根轨迹。
解:
做等效开环传递函数
b(s+4)
二~2
G(s)s4s20
1实轴上的根轨迹:
(-二,-4]
11_1
2分离点:
d2j4d2-j4d4
解得:
d1=-0.472(舍去),d2=8.472
如图解4-7所示,根轨迹为以开环零点为圆心,开环零点到开环极点的距离为半径的圆。
4-8、设系统的闭环特征方程
s2(sa)K(s1)=0(a0)
(1)当a=10时,作系统根轨迹,并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时(有复极点)K的取值范围。
(2)若使根轨迹只具有一个非零分离点,此时a的取值?
并做出根轨迹。
(3)当a=5时,是否具有非零分离点,并做出根轨迹。
解:
D(s)二s2(sa)K(s1)=0(a0)
(1)a=10
D(s)二s2(s10)K(s1)=0
*
G(s)
做等效开环传递函数
K(s1)
s2(s10)
n=3有3条根轨迹,有2条趋向无穷远处。
①实轴上:
[T0,T]
a
②渐近线:
-101
2
ji
=±—
2
图解4-8
(1)
③分离点:
解得:
211
—+=
dd10d1
二-2.5
d12
d110
|d1+1
=31.25
d2「|d2+10|
陲+1|
=32
当31.25乞K<32时系统阶跃响应为单调。
当0:
:
:
K:
:
:
31.25及K■32时系统阶跃响应为阻尼振荡。
(2)D(s)=S2(Sa)K(s1)=0
K(s1)
s2(sa)
211
分离点:
ddad1
2
2d(a3)d2a=0
-(a+3)±J(a+3)2-16a
d二
2
2
要使系统只有一个非零分离点,则(a3)-16a=0即
(3)a=5
2
D(s)=s(s5)K(s1)=0
作等效开环传递函数
*
G(s)二
K(s1)
s2(s5)
1
■
1
■
1
i
i
1
-1
1
1
1
1
1
1
-1
1L
ij
A*
-•
■
i-i
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
p
r
i
-a
■j
RdoILocus
RealAxis
ExvAm匸
n=3有3条根轨迹其中
①实轴上:
[-5,-1]
2条趋向无穷远处
图解4-8
(2)
「-5+1
I仃
③分离点:
Z•丄二丄
dd5d1d24d5=0无解,故无分离点。
4-9、试作图4-27所示系统K从0T旳时的系统根轨迹图,并确定使系统解稳定的P)K值范围。
图4-27习题4T图
图4-茨习题4-1Q图
a
①
②
a
二、2
解根轨迹绘制如下:
实轴上的根轨迹:
0.5,7/41
渐近线:
-1-17/4-(-0.5)
2
(2k1)二二
=
2-2
③与虚轴交点:
闭环特征方程为
431210
D(s)s-s(2K)sK-1=0777
把s二代入上方程,令
12
Re(D(j))二K一12“
104
lm(D(j•))=(2K)■
7—
4.3*=0
7
解得:
根轨迹如图解
4-10、做出图
(1)
(2)
图解4-
K=1
4-9所示。
由图解
I9
4-9可知使系统稳定的K值范围为1”:
K:
:
:
97。
4-28所示系统的根轨迹,图中
H(S)=1
H(s)二s3
H(s)分别为
解:
K
②起始角:
-30°
®a=±—,兀
3渐近线:
、3
4与虚轴相交:
32
D(s)=s3s9sK=0
32
D(j■-3■j9•K=0
2
Re[D(j)]=—3‘K=0
3
lm[D(jJ]=9-0
解得:
-=3
K=27
L
=0
K=0
(2)
G(s)H(s)
K(s1)K(s1)
s(s3s9)s(s3j2.6)(s3-j2.6)
22
①实轴上:
[-1,0]
3
2
3
j2.6j2.61
-1
②渐近线:
图解4-10
(1)
③出射角:
--
3、3
1=18O0-tg=
2100°
片=180-tg426
1.5=120°
100°-Ca+120°+90)°=(2k+1)
弘=70°
G(s)H(s)=」43K*(s3)3—
s(s+3s+9)s(s+—+j2.6)(s+—-j2.6)(3)22
图解4-10
(2)
①实轴上:
[-3,0]
今26-3
j2.63
-0
2渐近线:
3出射角:
JI
±—
2
图解4-10(3)
_j2.612.6
1二tg60t=180-tg
1.5,「5=120°,
K=90
60°-Cp2+120°+90)°=(2k+1)
邛2=30
4-11、设控制系统如图4-29所示,为了使系统闭环极点为%2=-1-八3,试确定增益K和
速度反馈系数Kh的数值,并利用Kh值绘制系统的根轨迹图。
图4-29习题4-11图
解:
G
2
s
D(s)=s2KKhsK=(s1j、.3)(s1-j..3)
2
二s
2s4
KKh=2
K=4
••有
K=4
=>J
Kh#
G(s)H(s)二
1K
K(-s1)y(s2)
2_2
ss
n=2有2条根轨迹,1条趋向无穷远处。
1实轴上:
(」:
,一2]
2分离点:
21
dd2
d_-4
4-12、为了使图4-30所示系统的闭环极点的希望位置为入一个校正装置作补偿,其传递函数为
岂2八-j4,在前向通路中串
RCs)
►tgr—G(s)
C(s)
图中
图4-30习题472图
s+2.5
Gc(s)=TT
G(s)=K
S(s+1)试确定
(1)所需的a值。
(2)所希望的闭环极点
K(s2.5)
s(s1)(sa)
上的K值。
G(s)Gc(s)=
(3)第三个闭环极点的位置。
解:
D(s)=s(s1)(sa)K(s2.5)
32
-s(a1)s(aK)s2.5K
2
(s1.6j4)(s1.6-j4)=s3.2s18.56
52+3.2y+18.56丿刑+(口+1)护+(d+K肖+23K
OS3-32欝+1S.565
(a-2.^S2-(Ct+K-18.56)5+2,5K
-)(a-2.2)S3+(3.2a-7,04)i-40.832+18.56n
(K-2.2a-11.32)y+2.5K+40.832-18.56
2.5K-18.56a40.832=0
-K-2.2a-11.52=0
--t
a=5.28
K=23.14
解得:
3二-(a-2.2)=-3.06
4-13、设负反馈系统的开环传递函数为
G(s)=K*(S*2)
s(s+1)(s+3)
试作系统的根轨迹。
求当=0.5时,闭环的一对主导极点值,并求其
求出满足
(2)条件下的闭环零、极点分布,
K*(s2)
(1)
(2)
(3)
K及另一个极点。
并求出其在阶跃作用下的性能指标。
解:
G(S八s(s1)(S3)
(1)、n=3有3条根轨迹,其中2条趋向无穷远处。
①实轴上:
[-3,-2],[-1,0]
2渐近线:
3分离点:
d
-1-32,
1
2
Ji
=±—
2
d(-1,-0.5)
试根得:
d二-0.5344
设.=°.5阻尼线与根轨迹交点为(一宀,'"-2)
另一实根为‘3=_P3
D(s)二s(s1)(s3)K(s2^s34s2(3K)s2K
-jnJ-'(SP3)
=(SIjn"-1(S冷
=(S22£J)(SP3)=(S2\SJ)(SP3)
二S3(JP3)S2(JP3n)SP3J
•nP3=4
*2
3*K='p3"Tn
2*
有p3'n2K
n=1.36
P3=2.64
解得:
K二2.44
'1,^-n-j'n
4-14、图4-31所示的随动系统,其开环传递函数为
图4-31习题4-14图
K
G(s)--
s(5s+1)
为了改善系统性能,分别米用在原系统中加比例-微分串联校正和速度反馈校正两种不同方
案。
系统阶跃响应的影响。
解:
(1)
0.2K
(a)G(s)=s^1)s(s0.2)
实轴上:
[一°2°]
(b)
K(0.8s+1)0.16K(s+1.25)
G(s):
s(5s1)
s(s0.2)
G(s)H(s)二
K(0.8s1)
s(5s1)
_0.16K(s1.25)s(s+0.2)
K=5
J
j
L
L.1
0.2
(1)试分别绘制这三个系统的根轨迹。
(2)当K=5时,根据闭环零、极点分布,试比较两种校正对
(a)
>(s)
5
G(s):
s(5s+1)
1
T
s(s)
5
5
2
5ss5
2
二s0.251=0
D(s)
,1,2=-0.1工j1
s(0.8s+1)G(s)二
(b)
4s+5
0.8(s+1.25)
s(s0.2)
s(5s1)s(5s1)
K(0.8s+1)
s(5s1)K(0.8s+1)
1.K(0.8s+1)_5s2(0.8K1)s+K
s(5s1)
、1亠•V3
1,2八2一j"T
K(0.8s+1)
G(s):
(c)s(5s1)
K
G(s)=
0.8s+1
s2s1
/*(C)
-0.5-0.1
图解4-14
(2)
s(5s1)
1.K(0.8s+1)s(5s1)
1丄』
1,2八2一j"T
比较:
2)与(a)相比附加了开环零点,因此影响了系统的闭环极点,改变了阶跃响应中
G(s)=
5s2(0.8K+1)sK
s2s1
的模态,使得超调量减小,调节时间缩短。
(b)与(c)相比开环传递函数相同,只是前者附加了闭环零点,不影响极点,不影响单位
阶跃响应中的各模态,但会改变各模态的加权系数,从而影响系统的动态性能。
(b)附加了
闭环零点后,比(c)的峰值时间提前,超调量稍有增加。
4-15、
系统的开环传递函数为
G(s)_s(s+2)(s2+2s+2)
试绘制系统的根轨迹,并确定系统输出为等幅振荡时的闭环传递函数。
解:
(1)
G(s)22
s(s+2)(s2+2s+2)s(s十2)(s2+1+j1)(s+1—j1)
[-2,0]
a
实轴上:
--1
(2)
(3)
渐近线:
分离点:
4
(2k1)二
4
ji
=±—
4
=0
1111
—+++
dd2dTj1d1-j1解得:
d1=d2=d3=1
(4)与虚轴交点:
432*
D(s)=s4s6s4sK=0令:
Re[D(jJ]-62K-0
3
Im[D(j)]=44-0
&=0®=1
-*-*
解得:
.K=0K=5
根轨迹如图。
输出为等幅振荡时的闭环传递函数即为根轨迹与虚轴相交处对应的闭环极点。
‘1,2=j
打4=D(s)=s2+4s+5s+1
1:
:
」(s)22
•所求闭环传递函数为(s1)(s4s5)
s(s1j1)(s1-j1)
n=3有3条根轨迹,且3条全趋于无穷远处。
①实轴上:
3
!
.a「3
0-(订135°90°)=(2k1)二
33
s(sj2.6)(sj2.6)
22
n=3有3条根轨迹且全趋向于无穷远处。
①实轴上:
(」:
0]
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