二元函数的极值和最值.ppt
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7.77.7二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值教学要求:
教学要求:
1.理解二元函数极值和条件极值的概念理解二元函数极值和条件极值的概念;3.会用拉格朗日乘数法求条件极值会用拉格朗日乘数法求条件极值.2.掌握掌握二二元函数极值存在的必要条件、元函数极值存在的必要条件、充分条件充分条件;会求二元函数的极值会求二元函数的极值.4.会求简单二元函数的最大值和最小值会求简单二元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题.如果如果f(x)在在闭区间闭区间a,c上上连续连续,则则f(x)在在a,c上必定能取得最大值与最小值上必定能取得最大值与最小值.xoyacb复习:
一元函数的极值、最值复习:
一元函数的极值、最值.(11)极值:
)极值:
由由P146极值点定义:
极值点定义:
端点没有资格做极值点端点没有资格做极值点极值点一定在区间内部极值点一定在区间内部.(22)最值:
)最值:
闭区间上连续函数闭区间上连续函数最值最值只能在只能在极值极值点点和和端点端点处取得处取得.在区间在区间a,b上,上,区间区间a,c上上xoyacb可见可见,为什么要单独考虑端点?
为什么要单独考虑端点?
因因端点没有资格做极值点,但可能取最值端点没有资格做极值点,但可能取最值而而极值点极值点只会在只会在驻点驻点和和不可导点不可导点处处闭区间上连续函数闭区间上连续函数最值最值只能在只能在极值点极值点和和端点端点处取得处取得.所以闭区间上连续所以闭区间上连续函数函数最值最值只能在只能在驻点驻点、不可导点不可导点和和端点端点处取得处取得1.1.求闭区间求闭区间a,ba,b上连续函数最值的步骤:
上连续函数最值的步骤:
(2)PK:
以上各函数值以上各函数值中最大的即为最大中最大的即为最大值,最小的即为最小值值,最小的即为最小值
(1)求出求出f(x)在在a,b内的内的可疑最值点可疑最值点(驻驻点、不可导点、区间端点点、不可导点、区间端点)及其函数数值及其函数数值注:
注:
对这些可疑最值点对这些可疑最值点不需不需采用第一或第采用第一或第二充分条件二充分条件确认确认其是否为极大(小)值点其是否为极大(小)值点闭区间上闭区间上可导可导函数函数最值最值只存在于只存在于驻点驻点、端点、端点二元函数极值二元函数极值播放播放一、多元函数的极值一、多元函数的极值1.引例引例2、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义
(1)
(2)(3)例例11例例例例3、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证类似一元函数,凡能使类似一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零一阶偏导数同时为零的点的点,均称为函数的,均称为函数的驻点驻点.注:
注:
可导函数可导函数的极值点的极值点驻点驻点(3)问题:
问题:
可导函数的驻点未必是极值点,那什可导函数的驻点未必是极值点,那什么样的点才是极值点呢?
么样的点才是极值点呢?
这是寻找极值点的这是寻找极值点的条件条件充分充分定理定理2(极值存在的充分条件)(极值存在的充分条件)(证略)(证略)ABC法则法则ABC法则只适用于二元函数法则只适用于二元函数解解类似类似P295、296例例1、例、例2;P325第第23题题简单而重要!
简单而重要!
1.定理定理(详见(详见P72性质性质1)闭区域上的连续函数闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值一定有最大值和最小值:
AA闭区域闭区域DD上可导函数的最值上可导函数的最值一般一般求法求法注:
注:
极值点极值点(见(见P107定义)定义)和和驻点驻点(见(见P75偏导定义)偏导定义)一定是内点一定是内点驻点驻点极值点极值点
(1)
(1)求出函数在求出函数在DD内部的一切可疑内部的一切可疑极值点(驻点)处的函数值极值点(驻点)处的函数值驻点驻点边界边界上的上的最值最值比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,最大的就是最大的就是函数在函数在DD上的最大值上的最大值,最小的就是函数在最小的就是函数在DD上的上的最小值最小值.(内点)(内点)(边界上)(边界上)(3)PK(3)PK注:
可疑极值点(驻点)无需用注:
可疑极值点(驻点)无需用ABCABC法则确认其是不是真正的极值点。
法则确认其是不是真正的极值点。
(whywhy?
)?
)AA闭区域闭区域DD上上可导可导函数的最值函数的最值一般一般求法求法
(2)
(2)求函数在区域边界上的最值求函数在区域边界上的最值类似题:
类似题:
P325:
25
(2)B实际问题实际问题最值的求法最值的求法则该驻点必为所求的最值点则该驻点必为所求的最值点.若只有若只有唯一驻点唯一驻点,最值不会在边界上最值不会在边界上(为什么?
)(为什么?
)对该唯一驻点无需用对该唯一驻点无需用ABC法则法则判断其是否为极值点判断其是否为极值点。
(即(即不会在极端情况取得不会在极端情况取得)四个条件缺一不可四个条件缺一不可若实际问题若实际问题存在最值,存在最值,且目且目标函数为标函数为可导可导函数函数类似题:
类似题:
P297例例3、P299例例5;P325:
27,28根据实际问题的意义,根据实际问题的意义,引例引例1.条件极值与无条件极值条件极值与无条件极值自变量除了受其定义域限制外还有别的条自变量除了受其定义域限制外还有别的条件限制,这种情况下的极值称为件限制,这种情况下的极值称为条件极值条件极值.相应地,前面讨论的极值称为相应地,前面讨论的极值称为无条件极值无条件极值.有时条件极值可转化为无条件极值来求有时条件极值可转化为无条件极值来求(如(如P301例例6),此为此为“降元法降元法”但并非所有条件极值都能用但并非所有条件极值都能用“降元法降元法”求解,求解,下面介绍新方法下面介绍新方法.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法说明说明F(x,y,)的可能极值点为上述方程组确定的的可能极值点为上述方程组确定的(x,y).(课外阅读)(课外阅读)(课外阅读)(课外阅读)拉格朗日乘数法的具体应用拉格朗日乘数法的具体应用解出解出(x,y)即为即为可疑极值点可疑极值点.判别可疑极值点是否为极值点通常由实际判别可疑极值点是否为极值点通常由实际问题来定,问题来定,不需用不需用ABC法则法则.解出解出(x,y,z)即为可能极值点即为可能极值点.8解解:
构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数类似题:
类似题:
P302例例7、P303例例9;P325:
24,26,29-31作业作业:
P32523
(1),25
(2),27,29一一.条件极值条件极值以二元函数为例,求函数以二元函数为例,求函数在在条件下的可能极值点条件下的可能极值点。
以下内容为课外阅读以下内容为课外阅读由一元函数极值得,由一元函数极值得,分析分析:
是是的条件极值点的条件极值点若若都在都在某邻域内是某邻域内是类函数,类函数,确定隐函数确定隐函数可化为可化为有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数条件极值点的必要条件条件极值点的必要条件此方程组为LagrangesMethodTomaximizeorminimizesubjecttotheconstraintsolvethesystemofequationscriticalpointfortheconstrainedextremumaLagrangemultiplier.forEachsuchpointisaandproblemandthecorrespondingiscalled二、应用解解:
构造构造LagrangesFunction或调用或调用MatlabMatlab软件中命令软件中命令constrconstr来来计算有约束的极小问题计算有约束的极小问题计算结果:
计算结果:
即应该雇佣即应该雇佣250个劳动力而把其余的个劳动力而把其余的部分作为资本投入,可获得最大产量部分作为资本投入,可获得最大产量Kuhu-Tucker驻点条件驻点条件拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法(前提:
前提:
具有连续的偏导数具有连续的偏导数)例例7.把一个正数把一个正数a表为三个正数之和,使其乘积最大,表为三个正数之和,使其乘积最大,求这三个数求这三个数.解解.从而有:
从而有:
(不作要求)(不作要求)Solution.四.总结拉格朗日乘数法步骤:
(1)寻求目标函数和约束条件
(2)构造拉格朗日函数(3)求解拉格朗日函数的驻点思考题思考题:
求坐标原点到曲线的最近距离,其中
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- 关 键 词:
- 二元 函数 极值