高中数学第二册上两条直线所成的角.docx
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高中数学第二册上两条直线所成的角
2019-2020年高中数学第二册(上)两条直线所成的角
一、教学目标
(一)知识教学点
一条直线与另一条直线所成角的概念及其公式,两直线的夹角公式,能熟练运用公式解题.
(二)能力训练点
通过课题的引入,训练学生由特殊到一般,定性、定量逐层深入研究问题的思想方法;通过公式的推导,培养学生综合运用知识解决问题的能力.
(三)学科渗透点
训练学生由特殊到一般,定性、定量逐步深入地研究问题的习惯.
二、教材分析
1.重点:
前面研究了两条直线平行与垂直,本课时是对两直线相交的情况作定量的研究.两直线所成的角公式可由一条直线到另一条直线的角公式直接得到,教学时要讲请l1、l2的公式的推导方法及这一公式的应用.
2,难点:
公式的记忆与应用.
3.疑点:
推导l1、l2的角公式时的构图的分类依据.
三、活动设计
分析、启发、讲练结合.
四、教学过程
(一)引入新课
我们已经研究了直角坐标平面两条直线平行与垂直的情况,对于两条相交直线,怎样根据它们的直线方程求它们所成的角是我们下面要解决的问题.
(二)l1到l2的角正切
两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角.为了区别这些角,我们把直线l1依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.图1-27中,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°).
l1到l2的角有三个要点:
始边、终边和旋转方向.
现在我们来求斜率分别为k1、k2的两条直线l1到l2的角,设已知直线的方程分别是
l1∶y=k1x+b1 l2∶y=k2x+b2
如果1+k1k2=0,那么θ=90°,
下面研究1+k1k2≠0的情形.
由于直线的方向是由直线的倾角决定的,所以我们从研究θ与l1和l2的倾角的关系入手考虑问题.
设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2(图1-32),甲图的特征是l1到l2的角是l1、l2和x轴围成的三角形的内角;乙图的特征是l1到l2的角是l1、l2与x轴围成的三角形的外角.
tgα1=k1, tgα2=k2.
∵θ=α2-α1(图1-32),
或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1),
∴tgθ=tg(α2-α1).
或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1).
可得
即
eq\x()
上面的关系记忆时,可抓住分子是终边斜率减始边斜率的特征进行记忆.
(三)夹角公式
从一条直线到另一条直线的角,可能不大于直角,也可能大于直角,但我们常常只需要考虑不大于直角的角(就是两条直线所成的角,简称夹角)就可以了,这时可以用下面的公式
(四)例题
解:
k1=-2,k2=1.
∴θ=arctg3≈71°34′.
本例题用来熟悉夹角公式.
例2 已知直线l1:
A1x+B1y+C1=0和l2:
A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0),l1到l2的角是θ,求证:
证明:
设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,则
这个例题用来熟悉直线l1到l2的角.
例3等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0,底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线l3的方程.
解:
先作图演示一腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰到底的角与底到另一腰的角相等,并且与两腰的顺序无关.
设l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3,l1到l2的角是θ1,l2到l3的角是θ2,则
.
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形,所以
θ1=θ2.
tgθ2=tgθ1=-3.
解得 k3=2.
因为l3经过点(-2,0),斜率为2,写出点斜式为
y=2[x-(-2)],
即 2x-y+4=0.
这就是直线l3的方程.
讲此例题时,一定要说明:
无须作图,任一腰到底的角与底到另一腰的角都相等,要为锐角都为锐角,要为钝角都为钝角.
(五)课后小结
(1)l1到l2的角的概念及l1与l2夹角的概念;
(2)l1到l2的角的正切公式;
(3)l1与l2的夹角的正切公式;
(4)等腰三角形中,一腰所在直线到底面所在直线的角,等于底边所在直线到另一腰所在直线的角.
五、布置作业
1.(教材第32页,1.8练习第1题)求下列直线l1到l2的角与l2到l1的角:
∴θ1=45°.
l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3.
2.(教材第32页,1.8练习第2题)求下列直线的夹角:
∵k1·k2=-1,
∴l1与l2的夹角是90°.
(2)k1=1, k2=0.
两直线的夹角为45°.
∴l1与l2的夹角是90°.
3.(习题三第10题)已知直线l经过点P(2,1),且和直线5x+2y+3=0的夹角为45o,求直线l的方程.
即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0.
4.等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是2x-y+4=0,底面所在的直线l2的方程是x+y-1=0,点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在的直线l3的方程.
解:
这是本课例3将l1与l3互换的变形题,解法与例3相同,所求方程为:
x-2y-2=0.
六、板书设计
2019-2020年高中数学第二册(上)两条直线的交点
一、教学目标
(一)知识教学点
知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系,对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解,会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系,以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件.
(二)能力训练点
通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解,培养学生的数形结合能力;通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想;求出x后直接分析出y的表达式,培养学生的抽象思维能力与类比思维能力.
(三)学科渗透点
通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系,培养学生的转化思想.
二、教材分析
1.重点:
两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系,本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论.
2.难点:
对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论.
3.疑点:
当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明.
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合.
四、教学过程
(一)两直线交点与方程组解的关系
设两直线的方程是
l1:
A1x+B1y+c1=0, l2:
A2x+B2y+C2=0.
如果两条直线相交,由于交点同时在两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的公共解;反之,如果这两个二元一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.因此,两条直线是否相交,就要看这两条直线的方程所组成的方程组
是否有唯一解.
(二)对方程组的解的讨论
若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零,则两直线中至少有一条与坐标轴平行,很容易得到两直线的位置关系.
下面设A1、A2、B1、B2全不为零.
解这个方程组:
(1)×B2得 A1B2x+B1B2y+B2C1=0, (3)
(2)×B1得 A2B1x+B1B2y+B1C2=0. (4)
(3)-(4)得(A1B2-A2B1)x+B2C1-B1C2=0.
下面分两种情况讨论:
将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得
上面得到y可把方程组写成
即将x用y换,A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组.
综上所述,方程组有唯一解:
这时l1与l2相交,上面x和y的值就是交点的坐标.
(2)当A1B2-A2B1=0时:
①当B1C2-B2C1≠0时,这时C1、C2不能全为零(为什么?
).设C2
②如果B1C2-B2C1=0,这时C1、C2或全为零或全不为零(当C1、
(三)统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论
说明:
在平面几何中,我们研究两直线的位置关系时,不考虑两条直线重合的情况,而在解析几何中,由于两个不同的方程可以表示同一条直线,我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究.
(四)例题
例1 求下列两条直线的交点:
l1:
3x+4y-2=0, l2:
2x+y+2=0.
解:
解方程组
∴l1与l2的交点是M(-2,2).
例2 已知两条直线:
l1:
x+my+6=0,
l2:
(m-2)x+3y+2m=0.
当m为何值时,l1与l2:
(1)相交,
(2)平行,(3)重合.
解:
将两直线的方程组成方程组
解得m=-1或m=3.
(2)当m=-1时,方程组为
∴方程无解,l1与l2平行.
(3)当m=3时,方程组为
两方程为同一个方程,l1与l2重合.
(五)课后小结
(1)两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系.
(2)直线的三种位置关系所对应的方程特征.
(3)对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法.
五、布置作业
1.(教材第35页,1.9练习第2题)判断下列各对直线的位置关系,如果相交,则求出交点的坐标:
2.(教材第35页,1.9练习第3题)A和C取什么值时,直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0
(1)平行;
(2)重合;(3)相交.
解:
(1)A=3,C≠-2;
(2)A=3,C=-2;(3)A≠3.
3.(习题三第7题)已知两条直线:
l1:
(3+m)x+4y=5-3m,
l2:
2x+(5+m)y=8.
m为何值时,l1与l2:
(1)相交;
(2)平行;(3)重合.
解:
(1)m≠1且m≠-7;
(2)m=-7;(3)m=-1.
六、板书设计
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
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- 高中数学 第二 册上两条 直线