第3讲 学生相交线与平行线.docx
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第3讲学生相交线与平行线
第3讲相交线与平行线
基础知识
一、基础知识点:
1、平行线的性质:
性质1:
如果两条平行直线被第三条直线所截,那么同位角相等。
简单说成:
两直线平行,同位角相等。
几何语言:
如图,推理符号表示为:
∵AB∥CD,
∴∠1=∠2.
【例1】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°,那么∠2的度数是________.
性质定理2:
如果两条平行直线被第三条直线所截,那么内错角相等。
简单说成:
两直线平行,内错角相等。
几何语言:
∵AB//CD
∴∠2=∠4.
性质定理3:
如果两条平行直线被第三条直线所截,那么同旁内角互补.
简单记为:
两直线平行,同旁内角互补.
符号表示:
∵AB∥CD,∴∠2+∠3=180°.
【例2】某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段,其中AB∥CD,∠EAB=45°,则∠FDC的度数是( ).
A.30°B.45°C.60°D.75°
【例3】如图,直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于( ).
A.70°B.80°C.90°D.100°
2.证明的一般步骤:
①理解题意;
②根据题意正确画出图
形;
③结合图形,写出“已知”和“求证”;
④分析题意,探索证明的思路;
⑤依据寻求的思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
⑥检查表达过程是否正确、完善.
(2)证明的思路:
可以从求证出发向已知追溯,也可以由已知向结论探索,还可以从已知和结论两个方向同时出发,互相接近.
3.
借助辅助线构造平行线
有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整,这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”,再由图形联想相关性质,从而确定方法,达到解题的目的.
平行线判定与性质的应用
以平行为条件的求值或证明角相等的问题中,关键要分析出哪对角相等(或互补),再进行转化,从而求出结论中的角或完成证明.
【例4】如图,AB∥CD,
若∠ABE=120°,∠C=35°,则∠BEC=__________.
平行线的性质与判定的区别
平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反.性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”;判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”.
2、两条平行线的距离
如图,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。
注意:
直线AB∥CD,在直线AB上任取一点G,过点G作CD的垂线段GH,则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。
3、平移
(1)、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。
②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
(2)、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
二、例题精讲
例1、如图所示,直线a∥b,求∠A的度数。
例2、如图,已知:
AD∥BC,∠A=∠C,求证:
AB∥CD.
例3、如图所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C.
例4、
(1)已知:
如图1,AB∥CD,求证:
∠B+∠D=∠BED;
(2)已知:
如图2,AB∥CD,试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系,并说明理由.
例5.如图,直线a与b平行,∠1=(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
例6、如图1-7,已知直线
//
,且
和
、
分别交于A、B两点,点P在AB上,
和
、
分别交于C、D两点,连接PC、PD。
(1)试求出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由。
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。
(3)如果点P在AB两点的外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)
基础训练
1.已知:
如图,请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)如果AB∥EF,那么∠2=______,理由是_____________________________________.
(2)如果AB∥DC,那么∠3=______,理由是____________________________________.
(3)如果AF∥BE,那么∠1+∠2=______,理由是_______________________________.
(4)如果AF∥BE,∠4=120°,那么∠5=______,理由是________________________.
2.已知:
如图,DE∥AB.请根据已知条件进行推理,分别得出结论,并在括号内注明理由.
(1)∵DE∥AB,()
∴∠2=______.(____________________________________)
(2)∵DE∥AB,()
∴∠3=______.(____________________________________)
(3)∵DE∥AB(),
∴∠1+______=180°.(____________________________________)
3.已知:
如图,∠1=∠2,∠3=110°,求∠4.
解题思路分析:
欲求∠4,需先证明______//______.
解:
∵∠1=∠2,()
∴______//______.(____________________________________)
∴∠4=_____=_____°.(____________________________________)
4.已知:
如图,∠1+∠2=180°,求证:
∠3=∠4.
证明思路分析:
欲证∠3=∠4,只要证______//______.
证明:
∵∠1+∠2=180°,()
∴______//______.(_________________)
∴∠3=∠4.(____________________________________)
5.已知:
如图,∠A=∠C,求证:
∠B=∠D.
证明思路分析:
欲证∠B=∠D,只要证______//______.
证明:
∵∠A=∠C,(_________________________________)
∴______//______.(____________________________________)
∴∠B=∠D.(____________________________________)
6.已知:
如图,AB∥CD,∠1=∠B,
求证:
CD是∠BCE的平分线.
证明思路分析:
欲证CD是∠BCE的平分线,
只要证∠2=______
证明:
∵AB∥CD,()
∴∠2=______.(____________________________________)
但∠1=∠B()
∴______=______.(等量代换)即CD是____________.
7.已知:
如图,AB∥CD,∠B=35°,∠1=75°,求∠A的度数.
解题思路分析:
欲求∠A,只要求∠ACD的大小.
解:
∵CD∥AB,∠B=35°,()
∴∠2=∠______=______°(____________________________________)
而∠1=75°,
∴∠ACD=∠1+∠2=______。
∵CD∥AB()
∴∠A+______=180°.(____________________________________)
∴∠A=____________=______.
8.已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠B=50°.求∠D的度数.
分析:
可利用∠DCE作为中间量过渡.
解:
∵AB∥CD,∠B=50°()
∴∠DCE=∠______=______°(________________,_________________)
又∵AD∥BC,()
∴∠D=∠______=______°(__________________,__________________)
想一想:
如果以∠A作为中间量,如何求解?
解法2:
∵AD∥BC,∠B=50°,()
∴∠A+∠B=______.(_____________________,_____________________)
即∠A=______-______=______°-______°=______.
∵DC∥AB,()
∴∠D+∠A=______.(_____________________,_____________________)
即∠D=______-______=______°-______°=______.
9.已知:
如图,已知AB∥CD,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,求∠APC的度数.
解:
过P点作PM∥AB交AC于点M.
∵AB∥CD,()
∴∠BAC+∠______=180°()
∵PM∥AB,
∴∠1=∠______()
且PM∥______。
(平行于同一直线的两直线也互相平行)
∴∠3=∠______。
(两直线平行,内错角相等)
∵AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,()
()
()
∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°()
总结:
两直线平行时,同旁内角的角平分线__________________。
解答题
1.如图,AB∥CD,AE、DF分别是∠BAD、∠CDA的角平分线,AE与DF平行吗?
为什么?
2、如图:
把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠后,ED交BC于G,点D、C分别落在P、Q位置上,若∠EFG=55度,求∠1、∠2的度数
3、.如图,AD⊥BC于点D,EF⊥BC于点F,EF交AB于点G,交CA的延长线于点E,且∠1=∠2.AD平分∠BAC吗?
说说你的理由.
4、如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°。
求∠AGD
5.如图,已知FD∥BE,则∠1+∠2-∠3=()
A.90° B.135° C.150° D.180°
6.已知:
如图,AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
7、如图,已知:
AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠BED=360°。
(至少用三种方法)
8.如图,CD平分∠ACB,DE∥AC,EF∥CD,EF平分∠DEB吗?
请说明理由.
作业
1.已知:
如图,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,
∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数。
2、已知如图2-2,AB∥CD∥EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分∠MNP.
(1)若∠AMN=60°,∠EPN=80°,分别求∠MNP,∠DNQ的度数;
(2)探求∠DNQ与∠AMN,∠EPN的数量关系.
3.如图2-9,FG∥HI,则∠x的度数为()
A.60°B.72°C.90°D.100°
4.已知如图所示,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数.
5.已知:
如图,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.求证:
∠B=∠E.
6、如图,已知AB∥CD,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立,并说明理由.
7.如图,已知AB∥CD,∠ECD=125°,∠BEC=20°,求∠ABE的度数.
8、证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”.
9.如图,CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC,求证:
AB∥GF
10.如图,已知AB∥CD∥EF,PSGH于P,∠FRG=110°,则∠PSQ=。
11、如图:
已知∠1和∠D互余,CF⊥DF,试证明AB∥CD
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